二次函數(shù)絕對值的問題練習與答案

二次函數(shù)絕對值的問題練習及答案二次函數(shù)是最簡單的非線性函數(shù)之一，而且有著豐富的內(nèi)容，它對近代數(shù)仍至現(xiàn)代數(shù)學影響深遠，這部分內(nèi)容為歷年來高考數(shù)學考試的一項重點考查內(nèi)容，經(jīng)久不衰，以它為核心內(nèi)容的高考試題，形式上也年年有變化，此類試題常常有絕對值，充分運用絕對值不等式及二次函數(shù)、二次方程、二次不等式的聯(lián)系，往往采用直接法，利用絕對值不等式的性質(zhì)進行適當放縮，常用數(shù)形結(jié)合，分類討論等數(shù)學思想，以下舉例說明例1設(shè)a為實數(shù)，函數(shù)/(x)=x2+1x-a1+1,xeR(1)討論f(x)的奇偶性；(2)求f(x)的最小值f()解；(1)a=0時，fX為偶函數(shù)f()2)a豐0時，八廠為非奇非偶函數(shù)2)(1)x2+x-a+1=VI2丿(1)x2一x+a+1=x一―12)f(x)=x2+1x一aI+1=23+-+a,xva42+3一a,xAa4a<,f(x)=-a當2min42'f2'f(X)min=a2+1-2，f(XLn例2已知函數(shù)f(x)=x2一1，g(x)=a|x一1|.⑴若關(guān)于x的方程1f(x)l—g(x)只有一個實數(shù)解，求實數(shù)a的取值范圍；⑵若當xeR時，不等式f(x)-g(x)恒函數(shù)成立，求實數(shù)a的取值范圍；⑶求函數(shù)h(x)—lf(x)l+g(x)在區(qū)間卜2,2］上的最大值(直接寫出結(jié)果，不需給出演算步驟).解：(1)方程1f(x)|—g(x)，即1x2—11=a1x—11，變形得1x—11(|x+11—a)=0，顯然，x—1已是該方程的根，從而欲原方程只有一解，即要求方程|x+1|=a，有且僅有一個等于1的解或無解，結(jié)合圖形得a<0.（2）不等式f（x）三g（x）對xGR恒成立，即（x2—1）2a1x—11（*）對XGR恒成立,當x=1時，（*）顯然成立，此時aGR；x2—1/、x2—1fx+1,（X>1）,a<申（x）==$當x豐1時，（*）可變形為Ix—11，令1x—11l—（x+】），（x<1）.因為當x>1時，申（x）>2，當x<1時，?（x）>—2，所以W（x）>—2，故此時aW—2.x2+ax—a—1,(x21),<—x2—ax+a+1,(—1Wx<1),a>1,即a>2當2(3)因為h(x)=If(x)I+g(x)=Ix2一1I+aIx一II=、x2—ax+a—a>1,即a>2當2時，結(jié)合圖形可知h（x）在［—2,1］上遞減，在［1,2］上遞增,且h(-2)=3a+3,h(2)=a+3，經(jīng)比較，此時h(x)在［-2,2］上的最大值為3a+3.

當0<2◎即0Wa<2時，結(jié)合圖形可知h(x)在［_2,_1］，［_2,1］上遞減,「_1-a]h(_a)_1在[_1?_2」,[1,2]上遞增，且h(_2)_3a+3,h⑵_a+3,h(_2)_匚+°+\經(jīng)比較，知此時h(x)在-2,2］上的最大值為3a+3.當_1W2<0,即-2Wa<0時，結(jié)合圖形可知h(x)在［_2,_1］，［_2,1］上遞減,aaa2在―2」,[1,2]上遞增，且h(_2)_3a+3,h(2)_a+3,h(_2)_丁+a+\經(jīng)比較，知此時h(x)在-2,2］上的最大值為a+3._3Wa<_1,即-3Wa<_2-、[_2,a][1,_a]當22時，結(jié)合圖形可知h(x)在2，2上遞減,a3<當22在站,［予上遞增,且h(_2)_3a+3<0h(2)_a+3三0經(jīng)比較，知此時h(x)在［_2,2」上的最大值為a3<當22即3時，結(jié)合圖形可知h(x)在［_2,1］上遞增，在［1,2］上遞減,故此時h(x)在［_2,2」上的最大值為h(1)_0.綜上所述，當a>0時，h(x)在［_2,2］上的最大值為3a+3；當_3Wa<0時，h(x)在［_2,2」上的最大值為a+3；當a<_3時，h(x)在［_2,2］上的最大值為0.44練習：1.已知函數(shù)f（x）=x2+1x-a1+2.（1）討論函數(shù)f（x）的奇偶性；（2）求函數(shù)f（x）的最小值已知函數(shù)f（宀X2-2m+1（mGR）⑴若m=2，x山刃，求Q=/（xL-/（包"的值⑵若x血2］時，f（x怡8恒成立，求m的取值范圍f（x）=—x2+1x+1-2aI已知函數(shù)2，其中a是實數(shù).（1）判斷f（x）的奇偶性，并說明理由；1a2（2）當xe［j，l］時，f（x）的最小值為2，求a的值答案：（1）a=0函數(shù)為偶函數(shù)a豐0非奇非偶函數(shù)TOC\o"1-5"\h\z17x>a,f(x)=x2+x+2-a=(x+—)2+-a,⑵14,f(x),f(x)=x22x———I2丿71—a,aW—_42'(x)=<min11'(x)=<mina2+2,—<a<—22（1）4（2）分類討論二次函數(shù)對稱軸與區(qū)間的關(guān)系，尋找最大值的位置當m當m<0,/（x）在［°，2］上遞增,f(2)<8a-3<m<04當0<m<2,f當0<m<2,f（x）在［0,』上遞減,[m,2]上遞增、f(2)<8f(x)[021f(2)>—8a.2<m<—當m>2,f匕丿在L0，2」上遞減4綜上所述：—3<m綜上所述：—3<m<1341a=—3.(1)①當2時,，有f（-x）=f（x）,所以f（x）為偶函數(shù);②當a工2時，f（0）Ml-2a1工0，所以f（x）不是奇函數(shù);f(2a-1)=—(2a一l)2f(1-2a)=—(2a一l)2+211一2aI又因為2，而2即f(1-2a)豐f(2a-1)，所以f(x)不是偶函數(shù)；1綜上，當a圭2時，f（x）既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).2)3-(2)3-(x一1)2一-+2a,211—(x+1)2+2a,〔22x<2a一1x>2a一1①若2a-1<—1，即a<0，當xG[-1,1]時，f(x)=2x2+x+1-2a=2(x+1)2+2一2a1a22a，得a=-2-”5故1a22a，得a=-2-”5所以f(x)min=f(-1)=i-2a=②若2a-1>1，即a>1當x當xG[-1,1]時，f(x