奈奎斯特采樣率和稀疏采樣學(xué)習(xí)報告

奈奎斯特采樣率和稀疏采樣學(xué)習(xí)報告1?采樣定理數(shù)字信號處理系統(tǒng)的基本組成PrFADCDSPDACPoFPrFADCDSPDACPoF前置預(yù) ?A/D fc-數(shù)字信號D/A模擬j慮波器變換器處理器變換器 ?濾波器模擬模擬（1） 前置濾波器將輸入信號xa（t）中高于某一頻率（稱折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2） A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次x（t）的幅度，采樣后的信O號稱為離散信號。在進行A/D信號的轉(zhuǎn)換過程中，當采樣頻率fs.max大于信號中最高頻率fmax的2倍時（fs.max〉2fmax），采樣之后的數(shù)字信號完整地保留了原始信號中的信息，一般實際應(yīng)用中保證采樣頻率為信號最高頻率的5?10倍；采樣定理又稱奈奎斯特定理。1?1在時域頻帶為F的連續(xù)信號f（t）可用一系列離散的采樣值f（t1）,f（t1土At），f（t1土2At），...來表示，只要這些采樣點的時間間隔AtW1/2F，便可根據(jù)各采樣值完全恢復(fù)原始信號。1.2在頻域當時間信號函數(shù)f(t)的最高頻率分量為fmax時,f(t)的值可由一系列米樣間隔小于或等于l/2fo的米樣值來確定，即米樣點的重復(fù)頻率fs$2fmax。奈奎斯特采樣頻率2.1概述奈奎斯特采樣定理：要使連續(xù)信號采樣后能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號最高頻率的兩倍(即奈奎斯特頻率)。奈奎斯特頻率(Nyquistfrequency)是離散信號系統(tǒng)采樣頻率的一半，因哈里?奈奎斯特(HarryNyquist)或奈奎斯特一香農(nóng)采樣定理得名。采樣定理指出，只要離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于被采樣信號的最高頻率或帶寬，就可以真實的還原被測信號。反之，會因為頻譜混疊而不能真實還原被測信號。采樣定理指出，只要離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于采樣信號的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊現(xiàn)象。從理論上說，即使奈奎斯特頻率恰好大于信號帶寬，也足以通過信號的采樣重建原信號。但是，重建信號的過程需要以一個低通濾波器或者帶通濾波器將在奈奎斯特頻率之上的高頻分量全部濾除，同時還要保證原信號中頻率在奈奎斯特頻率以下的分量不發(fā)生畸變,而這是不可能實現(xiàn)的。在實際應(yīng)用中，為了保證抗混疊濾波器的性能，接近奈奎斯特頻率的分量在采樣和信號重建的過程中可能會發(fā)生畸變。因此信號帶寬通常會略小于奈奎斯特頻率，具體的情況要看所使用的濾波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特頻率必須嚴格大于信號包含的最高頻率。如果信號中包含的最高頻率恰好為奈奎斯特頻率，那么在這個頻率分量上的采樣會因為相位模糊而有無窮多種該頻率的正弦波對應(yīng)于離散采樣，因此不足以重建為原來的連續(xù)時間信號。奈奎斯特頻率的應(yīng)用除了奈奎斯特頻率之外，還有一個指標非常重要，這個指標就是測量裝置的帶寬。嚴格講，帶寬包含上限和下限兩個數(shù)值，但是，由于許多寬頻帶的測量設(shè)備，比如說變頻功率分析儀，其帶寬的頻率上限遠遠大于頻率下限，或者頻率下限為零，因此，一般以頻率上限作為該儀器的帶寬。一般而言，帶寬指-3db帶寬。-3db帶寬并不表明高于帶寬上限頻率的信號不能通過測量儀器。舉例而言，某功率分析儀的帶寬上限為100kHz，那么，100kHz的正弦波通過測量儀器的AD轉(zhuǎn)換器之前的電路時，幅值衰減為原信號幅值的70.7%，功率衰減為原信號的50%。此外，對于非正弦波形，其含有的諧波頻率高于信號頻率（基波頻率）。因此，不能簡單的認為，100kHz帶寬的儀器可以用于測量100kHz的正弦波，更不能認為100kHz帶寬的儀器可以用于測量100kHz的方波或畸變波形。要讓采樣過程符合奈奎斯特采樣定理，測量儀器的帶寬應(yīng)該小于奈奎斯特頻率。若測量儀器的電路固有帶寬高于奈奎斯特頻率，應(yīng)該在AD轉(zhuǎn)換器之間加上截至頻率小于奈奎斯特頻率的防混疊濾波器。對于后者，防混疊濾波器的截至頻率就是儀器的帶寬。稀疏采樣3.1稀疏采樣概述壓縮感知(Compressedsensing)，也被稱為壓縮采樣(Compressivesampling)，稀疏采樣(Sparsesampling)，壓縮傳感。它作為一個新的采樣理論，它通過開發(fā)信號的稀疏特性，在遠小于Nyquist采樣率的條件下，用隨機采樣獲取信號的離散樣本，然后通過非線性重建算法完美的重建信號。壓縮感知理論一經(jīng)提出，就引起學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。他在信息論、圖像處理、地球科學(xué)、光學(xué)/微波成像、模式識別、無線通信、大氣、地質(zhì)等領(lǐng)域受到高度關(guān)注，并被美國科技評論評為2007年度十大科技進展。眾所周知，在奈奎斯特(Nyquist)采樣定理為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)數(shù)字信號處理框架下，若要從采樣得到的離散信號中無失真地恢復(fù)模擬信號，采樣速率必須至少是信號帶寬的兩倍．然而，隨著當前信息需求量的日益增加，信號帶寬越來越寬，在信息獲取中對采樣速率和處理速度等提出越來越高的要求.最近由DDonoho、ECandbs及華裔科學(xué)家TTao等人提出的壓縮感知(CompressiveSens—ing，cs)理論llJ指出了一條將模擬信號“經(jīng)濟地”轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式的壓縮信號的有效途徑：利用變換空間描述信號，通過直接采集得到少數(shù)“精挑細選”的線性觀測數(shù)據(jù)（這些數(shù)據(jù)是包含了信號全部信息的壓縮數(shù)據(jù)），將信號的采樣轉(zhuǎn)變成信息的采樣，通過解一個優(yōu)化問題就可以從壓縮觀測的數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始信號。在該理論下，信號的采樣速率不再取決于信號的帶寬，而是取決于信息在信號中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容。壓縮感知理論在信號獲取的同時，就對數(shù)據(jù)進行適當?shù)貕嚎s，而傳統(tǒng)的信號獲取和處理過程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓縮四個部分，其采樣過程必須遵循奈奎斯特采樣定率，這種方式采樣數(shù)據(jù)量大，先采樣后壓縮，浪費了大量的傳感元、時間和存儲空間，相較之下，壓縮傳感理論針對可稀疏表示的信號，能夠?qū)?shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)壓縮合二為一，這使其在信號處理領(lǐng)域有著突出的優(yōu)點和廣闊的應(yīng)用前景。稀疏采樣理論概述（壓縮感知）壓縮感知理論最初的提出是為了克服傳統(tǒng)信號處理中對于奈奎斯特采樣要求的限制，但是它與傳統(tǒng)采樣定理有所不同．首先，傳統(tǒng)采樣定理關(guān)注的對象是無限長的連續(xù)信號，而壓縮感知理論描述的是有限維觀測向量空間的向量；其次，傳統(tǒng)采樣理論是通過均勻采樣（在很少情況下也采用非均勻采樣）獲取數(shù)據(jù)，壓縮感知則通過計算信號與一個觀測函數(shù)之間的內(nèi)積獲得觀測數(shù)據(jù)；再次，傳統(tǒng)采樣恢復(fù)是

通過對采樣數(shù)據(jù)的Sinc函數(shù)線性內(nèi)插獲得（在不均勻采樣下不再是線性內(nèi)插，而是非線性的插值恢復(fù)），壓縮感知采用的則是從線性觀測數(shù)據(jù)中通過求解一個高度非線性的優(yōu)化問題恢復(fù)信號的方法．壓縮感知的核心思想是壓縮和采樣合并進行，并且測量值遠小于傳統(tǒng)采樣方法的數(shù)據(jù)量，突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸，使高分辨率的信號采集成為可能。稀疏采樣處理的數(shù)學(xué)模型設(shè)x為長度N的一維信號，稀疏度為k（即含有k個非零值），A為MXN的二維矩陣（M<N）,y=Ox為長度M的一維測量值。壓縮感知問題就是已知測量值y和測量矩陣①的基礎(chǔ)上，求解欠定方程組y=Ox得到原信號X。需要求解如下最優(yōu)化問題：x=x=argmm”X||這個過程稱之為重構(gòu)，其中的0范數(shù)指的就是0元素的個數(shù)。Candes等指出，要精確重構(gòu)k稀疏信號x,測量次數(shù)M（即y的維數(shù)）必須滿足y=O（k?logN），并且矩陣①必須滿足約束等距性條件（RestrictedIsometryPrinciple）。然而最小0范數(shù)是一個NP問題，通常需要對該問題加以轉(zhuǎn)換，如將0范數(shù)轉(zhuǎn)化為1范數(shù)問題。一般的自然信號x本身并不是稀疏的，需要在某種稀疏基上進行稀疏表示，x=Ws,W為稀疏基矩陣，s為的稀疏系數(shù)。壓縮感知方程為y=Qx=OWs=0So將原來的測量矩陣①變換為?二①屮(稱之為傳感矩陣)，解出s的逼近值:，則原信號o稀疏采樣的應(yīng)用前景壓縮感知理論帶來了信號采樣理論的變革，具有廣闊的應(yīng)用前景，包括壓縮成像、模擬信息轉(zhuǎn)換、生物傳感等。壓縮感知應(yīng)用于光學(xué)成像的首個實際系統(tǒng)是Rice大學(xué)的“單像素相機”國防科技大學(xué)從壓縮感知的角度對熱光源關(guān)聯(lián)成像進行了研究。Duke大學(xué)的DISP小組開發(fā)了一種新的多光譜成像器：CodedApertureSnap