奈奎斯特采樣率和稀疏采樣學(xué)習(xí)報(bào)告

奈奎斯特采樣率和稀疏采樣學(xué)習(xí)報(bào)告1?采樣定理數(shù)字信號(hào)處理系統(tǒng)的基本組成PrFADCDSPDACPoFPrFADCDSPDACPoF前置預(yù) ?A/D fc-數(shù)字信號(hào)D/A模擬j慮波器變換器處理器變換器 ?濾波器模擬模擬（1） 前置濾波器將輸入信號(hào)xa（t）中高于某一頻率（稱(chēng)折疊頻率，等于抽樣頻率的一半）的分量加以濾除。（2） A/D變換器在A/D變換器中每隔T秒（抽樣周期）取出一次x（t）的幅度，采樣后的信O號(hào)稱(chēng)為離散信號(hào)。在進(jìn)行A/D信號(hào)的轉(zhuǎn)換過(guò)程中，當(dāng)采樣頻率fs.max大于信號(hào)中最高頻率fmax的2倍時(shí)（fs.max〉2fmax），采樣之后的數(shù)字信號(hào)完整地保留了原始信號(hào)中的信息，一般實(shí)際應(yīng)用中保證采樣頻率為信號(hào)最高頻率的5?10倍；采樣定理又稱(chēng)奈奎斯特定理。1?1在時(shí)域頻帶為F的連續(xù)信號(hào)f（t）可用一系列離散的采樣值f（t1）,f（t1土At），f（t1土2At），...來(lái)表示，只要這些采樣點(diǎn)的時(shí)間間隔AtW1/2F，便可根據(jù)各采樣值完全恢復(fù)原始信號(hào)。1.2在頻域當(dāng)時(shí)間信號(hào)函數(shù)f(t)的最高頻率分量為fmax時(shí),f(t)的值可由一系列米樣間隔小于或等于l/2fo的米樣值來(lái)確定，即米樣點(diǎn)的重復(fù)頻率fs$2fmax。奈奎斯特采樣頻率2.1概述奈奎斯特采樣定理：要使連續(xù)信號(hào)采樣后能夠不失真還原，采樣頻率必須大于信號(hào)最高頻率的兩倍(即奈奎斯特頻率)。奈奎斯特頻率(Nyquistfrequency)是離散信號(hào)系統(tǒng)采樣頻率的一半，因哈里?奈奎斯特(HarryNyquist)或奈奎斯特一香農(nóng)采樣定理得名。采樣定理指出，只要離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于被采樣信號(hào)的最高頻率或帶寬，就可以真實(shí)的還原被測(cè)信號(hào)。反之，會(huì)因?yàn)轭l譜混疊而不能真實(shí)還原被測(cè)信號(hào)。采樣定理指出，只要離散系統(tǒng)的奈奎斯特頻率高于采樣信號(hào)的最高頻率或帶寬，就可以避免混疊現(xiàn)象。從理論上說(shuō)，即使奈奎斯特頻率恰好大于信號(hào)帶寬，也足以通過(guò)信號(hào)的采樣重建原信號(hào)。但是，重建信號(hào)的過(guò)程需要以一個(gè)低通濾波器或者帶通濾波器將在奈奎斯特頻率之上的高頻分量全部濾除，同時(shí)還要保證原信號(hào)中頻率在奈奎斯特頻率以下的分量不發(fā)生畸變,而這是不可能實(shí)現(xiàn)的。在實(shí)際應(yīng)用中，為了保證抗混疊濾波器的性能，接近奈奎斯特頻率的分量在采樣和信號(hào)重建的過(guò)程中可能會(huì)發(fā)生畸變。因此信號(hào)帶寬通常會(huì)略小于奈奎斯特頻率，具體的情況要看所使用的濾波器的性能。需要注意的是，奈奎斯特頻率必須嚴(yán)格大于信號(hào)包含的最高頻率。如果信號(hào)中包含的最高頻率恰好為奈奎斯特頻率，那么在這個(gè)頻率分量上的采樣會(huì)因?yàn)橄辔荒：袩o(wú)窮多種該頻率的正弦波對(duì)應(yīng)于離散采樣，因此不足以重建為原來(lái)的連續(xù)時(shí)間信號(hào)。奈奎斯特頻率的應(yīng)用除了奈奎斯特頻率之外，還有一個(gè)指標(biāo)非常重要，這個(gè)指標(biāo)就是測(cè)量裝置的帶寬。嚴(yán)格講，帶寬包含上限和下限兩個(gè)數(shù)值，但是，由于許多寬頻帶的測(cè)量設(shè)備，比如說(shuō)變頻功率分析儀，其帶寬的頻率上限遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于頻率下限，或者頻率下限為零，因此，一般以頻率上限作為該儀器的帶寬。一般而言，帶寬指-3db帶寬。-3db帶寬并不表明高于帶寬上限頻率的信號(hào)不能通過(guò)測(cè)量?jī)x器。舉例而言，某功率分析儀的帶寬上限為100kHz，那么，100kHz的正弦波通過(guò)測(cè)量?jī)x器的AD轉(zhuǎn)換器之前的電路時(shí)，幅值衰減為原信號(hào)幅值的70.7%，功率衰減為原信號(hào)的50%。此外，對(duì)于非正弦波形，其含有的諧波頻率高于信號(hào)頻率（基波頻率）。因此，不能簡(jiǎn)單的認(rèn)為，100kHz帶寬的儀器可以用于測(cè)量100kHz的正弦波，更不能認(rèn)為100kHz帶寬的儀器可以用于測(cè)量100kHz的方波或畸變波形。要讓采樣過(guò)程符合奈奎斯特采樣定理，測(cè)量?jī)x器的帶寬應(yīng)該小于奈奎斯特頻率。若測(cè)量?jī)x器的電路固有帶寬高于奈奎斯特頻率，應(yīng)該在AD轉(zhuǎn)換器之間加上截至頻率小于奈奎斯特頻率的防混疊濾波器。對(duì)于后者，防混疊濾波器的截至頻率就是儀器的帶寬。稀疏采樣3.1稀疏采樣概述壓縮感知(Compressedsensing)，也被稱(chēng)為壓縮采樣(Compressivesampling)，稀疏采樣(Sparsesampling)，壓縮傳感。它作為一個(gè)新的采樣理論，它通過(guò)開(kāi)發(fā)信號(hào)的稀疏特性，在遠(yuǎn)小于Nyquist采樣率的條件下，用隨機(jī)采樣獲取信號(hào)的離散樣本，然后通過(guò)非線性重建算法完美的重建信號(hào)。壓縮感知理論一經(jīng)提出，就引起學(xué)術(shù)界和工業(yè)界的廣泛關(guān)注。他在信息論、圖像處理、地球科學(xué)、光學(xué)/微波成像、模式識(shí)別、無(wú)線通信、大氣、地質(zhì)等領(lǐng)域受到高度關(guān)注，并被美國(guó)科技評(píng)論評(píng)為2007年度十大科技進(jìn)展。眾所周知，在奈奎斯特(Nyquist)采樣定理為基礎(chǔ)的傳統(tǒng)數(shù)字信號(hào)處理框架下，若要從采樣得到的離散信號(hào)中無(wú)失真地恢復(fù)模擬信號(hào)，采樣速率必須至少是信號(hào)帶寬的兩倍．然而，隨著當(dāng)前信息需求量的日益增加，信號(hào)帶寬越來(lái)越寬，在信息獲取中對(duì)采樣速率和處理速度等提出越來(lái)越高的要求.最近由DDonoho、ECandbs及華裔科學(xué)家TTao等人提出的壓縮感知(CompressiveSens—ing，cs)理論llJ指出了一條將模擬信號(hào)“經(jīng)濟(jì)地”轉(zhuǎn)化為數(shù)字形式的壓縮信號(hào)的有效途徑：利用變換空間描述信號(hào)，通過(guò)直接采集得到少數(shù)“精挑細(xì)選”的線性觀測(cè)數(shù)據(jù)（這些數(shù)據(jù)是包含了信號(hào)全部信息的壓縮數(shù)據(jù)），將信號(hào)的采樣轉(zhuǎn)變成信息的采樣，通過(guò)解一個(gè)優(yōu)化問(wèn)題就可以從壓縮觀測(cè)的數(shù)據(jù)中恢復(fù)原始信號(hào)。在該理論下，信號(hào)的采樣速率不再取決于信號(hào)的帶寬，而是取決于信息在信號(hào)中的結(jié)構(gòu)與內(nèi)容。壓縮感知理論在信號(hào)獲取的同時(shí)，就對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行適當(dāng)?shù)貕嚎s，而傳統(tǒng)的信號(hào)獲取和處理過(guò)程主要包括采樣、壓縮、傳輸和解壓縮四個(gè)部分，其采樣過(guò)程必須遵循奈奎斯特采樣定率，這種方式采樣數(shù)據(jù)量大，先采樣后壓縮，浪費(fèi)了大量的傳感元、時(shí)間和存儲(chǔ)空間，相較之下，壓縮傳感理論針對(duì)可稀疏表示的信號(hào)，能夠?qū)?shù)據(jù)采集和數(shù)據(jù)壓縮合二為一，這使其在信號(hào)處理領(lǐng)域有著突出的優(yōu)點(diǎn)和廣闊的應(yīng)用前景。稀疏采樣理論概述（壓縮感知）壓縮感知理論最初的提出是為了克服傳統(tǒng)信號(hào)處理中對(duì)于奈奎斯特采樣要求的限制，但是它與傳統(tǒng)采樣定理有所不同．首先，傳統(tǒng)采樣定理關(guān)注的對(duì)象是無(wú)限長(zhǎng)的連續(xù)信號(hào)，而壓縮感知理論描述的是有限維觀測(cè)向量空間的向量；其次，傳統(tǒng)采樣理論是通過(guò)均勻采樣（在很少情況下也采用非均勻采樣）獲取數(shù)據(jù)，壓縮感知?jiǎng)t通過(guò)計(jì)算信號(hào)與一個(gè)觀測(cè)函數(shù)之間的內(nèi)積獲得觀測(cè)數(shù)據(jù)；再次，傳統(tǒng)采樣恢復(fù)是

通過(guò)對(duì)采樣數(shù)據(jù)的Sinc函數(shù)線性?xún)?nèi)插獲得（在不均勻采樣下不再是線性?xún)?nèi)插，而是非線性的插值恢復(fù)），壓縮感知采用的則是從線性觀測(cè)數(shù)據(jù)中通過(guò)求解一個(gè)高度非線性的優(yōu)化問(wèn)題恢復(fù)信號(hào)的方法．壓縮感知的核心思想是壓縮和采樣合并進(jìn)行，并且測(cè)量值遠(yuǎn)小于傳統(tǒng)采樣方法的數(shù)據(jù)量，突破了香農(nóng)采樣定理的瓶頸，使高分辨率的信號(hào)采集成為可能。稀疏采樣處理的數(shù)學(xué)模型設(shè)x為長(zhǎng)度N的一維信號(hào)，稀疏度為k（即含有k個(gè)非零值），A為MXN的二維矩陣（M<N）,y=Ox為長(zhǎng)度M的一維測(cè)量值。壓縮感知問(wèn)題就是已知測(cè)量值y和測(cè)量矩陣①的基礎(chǔ)上，求解欠定方程組y=Ox得到原信號(hào)X。需要求解如下最優(yōu)化問(wèn)題：x=x=argmm”X||這個(gè)過(guò)程稱(chēng)之為重構(gòu)，其中的0范數(shù)指的就是0元素的個(gè)數(shù)。Candes等指出，要精確重構(gòu)k稀疏信號(hào)x,測(cè)量次數(shù)M（即y的維數(shù)）必須滿(mǎn)足y=O（k?logN），并且矩陣①必須滿(mǎn)足約束等距性條件（RestrictedIsometryPrinciple）。然而最小0范數(shù)是一個(gè)NP問(wèn)題，通常需要對(duì)該問(wèn)題加以轉(zhuǎn)換，如將0范數(shù)轉(zhuǎn)化為1范數(shù)問(wèn)題。一般的自然信號(hào)x本身并不是稀疏的，需要在某種稀疏基上進(jìn)行稀疏表示，x=Ws,W為稀疏基矩陣，s為的稀疏系數(shù)。壓縮感知方程為y=Qx=OWs=0So將原來(lái)的測(cè)量矩陣①變換為?二①屮(稱(chēng)之為傳感矩陣)，解出s的逼近值:，則原信號(hào)o稀疏采樣的應(yīng)用前景壓縮感知理論帶來(lái)了信號(hào)采樣理論的變革，具有廣闊的應(yīng)用前景，包括壓縮成像、模擬信息轉(zhuǎn)換、生物傳感等。壓縮感知應(yīng)用于光學(xué)成像的首個(gè)實(shí)際系統(tǒng)是Rice大學(xué)的“單像素相機(jī)”國(guó)防科技大學(xué)從壓縮感知的角度對(duì)熱光源關(guān)聯(lián)成像進(jìn)行了研究。Duke大學(xué)的DISP小組開(kāi)發(fā)了一種新的多光譜成像器：CodedApertureSnap