2022-2023學(xué)年福建省廈門市檳榔中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

2022-2023學(xué)年福建省廈門市檳榔中學(xué)高三數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.在△ABC中，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，若AB=，AC=3，則?=（） A．1 B． 2 C． 3 D． 4參考答案：B2.已知函數(shù)f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，則函數(shù)y=f（x）的大致圖象為(

) A． B． C． D．參考答案：C考點(diǎn)：函數(shù)的圖象．專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用．分析：利用排除法，根據(jù)定義域排除A，B，根據(jù)f（1）=1排除D，問題得以解決解答： 解：∵f（x）=e|lnx|﹣|x﹣|，∴函數(shù)的定義域?yàn)椋?，+∞），故排除A，B，當(dāng)x=1時(shí)，f（1）=1﹣0=1，故排除D故選：C點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)圖象的識(shí)別，排除法時(shí)做選擇題的一種常用方法，屬于基礎(chǔ)題3.等比數(shù)列

（

）

A．

B．

C．2

D．4參考答案：答案：C4.已知函數(shù)是定義在(0,+∞)上的單調(diào)函數(shù),若對(duì)任意,都有,則的值是(

)A.5 B.6 C.7 D.8參考答案：B略5.下列命題中，真命題是

(A)

(B)

(C)的充要條件是

(D)若為假，則為假參考答案：A6.若()是所在的平面內(nèi)的點(diǎn)，且.給出下列說法：①；②的最小值一定是；③點(diǎn)、在一條直線上；④向量及在向量的方向上的投影必相等.其中正確的個(gè)數(shù)是…………（

）個(gè).

個(gè).

個(gè).

個(gè).參考答案：B略7.某幾何體的三視圖如圖所示，圖中的四邊形都是邊長為4的正方形，兩條虛線互相垂直且相等，則該幾何體的體積是（

）A. B. C. D.32參考答案：B該幾何體為一個(gè)正方體去掉一個(gè)倒四棱錐，其中正方體棱長為4，倒四棱錐頂點(diǎn)為正方體中心，底面為正方體上底面，因此體積是，選B.點(diǎn)睛：1.解答此類題目的關(guān)鍵是由多面體的三視圖想象出空間幾何體的形狀并畫出其直觀圖．2．三視圖中“正側(cè)一樣高、正俯一樣長、俯側(cè)一樣寬”，因此，可以根據(jù)三視圖的形狀及相關(guān)數(shù)據(jù)推斷出原幾何圖形中的點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系及相關(guān)數(shù)據(jù)．8.設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，下列命題正確的是（

）A．B．C．D．參考答案：D根據(jù)線面垂直的性質(zhì)可知選項(xiàng)D正確。9.設(shè)集合A＝{1，2}，則滿足A∪B＝{1，2，3}的集合B的個(gè)數(shù)是A.1

B.3

C.4

D.8參考答案：C10.雙曲線C的實(shí)軸和虛軸分別是雙曲線16x2-9y2=144的虛軸和實(shí)軸，則C的離心率為(

)A.

B.

C.

D.參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在“家電下鄉(xiāng)”活動(dòng)中，某廠要將100臺(tái)洗衣機(jī)運(yùn)往臨近的鄉(xiāng)鎮(zhèn)，現(xiàn)有4輛甲型貨車和8輛乙型貨車可供使用，每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用400元，可裝洗衣機(jī)20臺(tái)；每輛甲型貨車運(yùn)輸費(fèi)用300元，可裝洗衣機(jī)10臺(tái)，若每輛至多只運(yùn)一次，則該廠所花的最少運(yùn)輸費(fèi)用為

元.參考答案：略12.對(duì)于☉A：x2+y2-2x=0，以點(diǎn)（，）為中點(diǎn)的弦所在的直線方程是___________。參考答案：y=x13.對(duì)于函數(shù)，下列5個(gè)結(jié)論正確的是__________（把你認(rèn)為正確的答案全部寫上）．(1)任取，,都有；(2)函數(shù)在[4,5]上單調(diào)遞增；(3)，對(duì)一切恒成立；(4)函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)；(5)若關(guān)于的方程有且只有兩個(gè)不同的實(shí)根,，則.參考答案：（1）（4）（5）14.若等比數(shù)列滿足,則_________.參考答案：15.已知橢圓的方程為，是它的一條傾斜角為的弦，且是弦的中點(diǎn)，則橢圓的離心率為_________參考答案：16.某中學(xué)為了解學(xué)生數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)情況，在3000名學(xué)生中隨機(jī)抽取200名，并統(tǒng)計(jì)這200名學(xué)生的某次數(shù)學(xué)考試成績，得到了樣本的頻率分布直方圖（如圖）．根據(jù)頻率分布直方圖推測，這3000名學(xué)生在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是．參考答案：600【考點(diǎn)】頻率分布直方圖．【分析】根據(jù)頻率分布直方圖，求出在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的頻率，再求成績小于60分的學(xué)生數(shù)．【解答】解：根據(jù)頻率分布直方圖，得在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的頻率是（0.002+0.006+0.012）×10=0.20∴在該次數(shù)學(xué)考試中成績小于60分的學(xué)生數(shù)是3000×0.20=600．故答案為：600．17.已知平面向量與垂直，則=

.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知橢圓過點(diǎn)，右焦點(diǎn)F是拋物線的焦點(diǎn).（1）求橢圓C的方程；（2）已知?jiǎng)又本€過右焦點(diǎn)F，且與橢圓C分別交于M，N兩點(diǎn).試問x軸上是否存在定點(diǎn)Q，使得恒成立?若存在求出點(diǎn)Q的坐標(biāo):若不存在，說明理由.參考答案：(1)(2)見解析【分析】(1)由橢圓過點(diǎn)，得，由拋物線的焦點(diǎn)為，得，利用即可求解a則方程可求；（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，由，解得或；當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，由，解得或，可得，得點(diǎn)的坐標(biāo)為.再證明當(dāng)時(shí)恒成立.設(shè)直線的斜率存在且不為0時(shí)，其方程為，與橢圓聯(lián)立消去y得韋達(dá)定理,向量坐標(biāo)化得整理代入韋達(dá)定理即可【詳解】（1）因?yàn)闄E圓過點(diǎn)，所以，又拋物線的焦點(diǎn)為，所以.所以，解得（舍去）或.所以橢圓的方程為.（2）假設(shè)在軸上存在定點(diǎn)，使得.①當(dāng)直線的斜率不存在時(shí)，則，，，，由，解得或；②當(dāng)直線的斜率為0時(shí)，則，，，，由，解得或.由①②可得，即點(diǎn)的坐標(biāo)為.下面證明當(dāng)時(shí)，恒成立.當(dāng)直線的斜率不存在或斜率為0時(shí)，由①②知結(jié)論成立.當(dāng)直線的斜率存在且不為0時(shí)，設(shè)其方程為，，.直線與橢圓聯(lián)立得，直線經(jīng)過橢圓內(nèi)一點(diǎn)，一定與橢圓有兩個(gè)交點(diǎn)，且，.，所以恒成立綜上所述，在軸上存在點(diǎn)，使得恒成立.【點(diǎn)睛】本題考查橢圓方程，直線與橢圓的位置關(guān)系，定值問題，向量運(yùn)算，利用特殊位置得定點(diǎn)再證明一般情況成立是解決定點(diǎn)問題的基本方法，準(zhǔn)確計(jì)算是關(guān)鍵，是中檔題19.已知函數(shù)．（Ⅰ）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（Ⅱ）設(shè)，若對(duì)任意，，不等式

恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．

參考答案：解：（I）的定義域是

．．．．．．．．．．．1分

．．．．．．．．．．．．．．．2分由及

得；由及得，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是；單調(diào)遞減區(qū)間是

．．．．．．．．4分

（II）若對(duì)任意，，不等式恒成立，問題等價(jià)于，

．．．．．．．．．5分由（I）可知，在上，是函數(shù)極小值點(diǎn)，這個(gè)極小值是唯一的極值點(diǎn)，故也是最小值點(diǎn)，所以；

．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；

．．．．．．．．．．．．8分問題等價(jià)于

或

或

．．．．．．．．11分

解得

或

或

即，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是

．．．．．．．．．．．．．．．．．12分

20.（本小題滿分14分）設(shè)對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，函數(shù)，滿足，且，，（Ⅰ）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和參考答案：（Ⅰ）取，得，取，故數(shù)列是首項(xiàng)是1，公比為的等比數(shù)列，所以取，，得，即，故數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，又，所以（Ⅱ），兩式相減得所以21.已知首項(xiàng)都是1的數(shù)列{an}，{bn}（bn≠0，n∈N*）滿足bn+1=（Ⅰ）令cn=，求數(shù)列{cn}的通項(xiàng)公式；（Ⅱ）若數(shù)列{bn}為各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且b32=4b2?b6，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．參考答案：考點(diǎn)：數(shù)列遞推式；數(shù)列的求和．專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列．分析：（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，從而，由此推導(dǎo)出數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，進(jìn)而求出cn=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N*．（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，由已知得，n∈N*，從而an=cnbn=，由此利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn．解答： 解：（Ⅰ）由題意得an+1bn=an?bn+1+3bn?bn+1，兩邊同時(shí)除以bnbn+1，得，又cn=，∴cn+1﹣cn=3，又，∴數(shù)列{cn}是首項(xiàng)為1，公差為3的等差數(shù)列，∴cn=1+3（n﹣1）=3n﹣2，n∈N*．

（Ⅱ）設(shè)數(shù)列{bn}的公比為q，q＞0，∵，∴，整理，得，∴q=，又b1=1，∴，n∈N*，an=cnbn=，∴Sn=1×…+，①∴=+…+，②①﹣②，得：+…+﹣（3n﹣2）×=1+3[]﹣（3n﹣2）×==4﹣（6+3n﹣2）×=4﹣（3n+4）×（）n，∴Sn=8﹣（6n+8）×．點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．22.（12分）已知函數(shù)的定義域?yàn)镮，導(dǎo)數(shù)滿足0＜＜2

且≠1，常數(shù)c1為方程的實(shí)數(shù)根，常數(shù)c2為方程的實(shí)數(shù)根．（I）求證：當(dāng)時(shí)，總有成立；（II）若對(duì)任意，存在，使等式

成立．試問：方程有幾個(gè)實(shí)數(shù)根，并說明理由；（Ⅲ）（理科生答文科生不答）對(duì)任意，若滿足，求證：．

參考答案：解析:答：（I）令，∴函數(shù)為減函數(shù)．又，∴當(dāng)時(shí)，，即成立．．．．．．．．．4分（II）假設(shè)方程有異于的實(shí)根m，即．則有成立．因?yàn)?，所以必有，但這與≠1矛盾，因此方程不存在異于c1的實(shí)數(shù)根．∴方程只有一個(gè)實(shí)數(shù)根．．．．．．