最新高中數(shù)學(xué)教學(xué)論文-利用幾何畫板探索軌跡的教學(xué)-新人教版

PAGE8-用心愛心專心利用幾何畫板探索軌跡的教學(xué)研究性學(xué)習(xí)一得研究性學(xué)習(xí)是指學(xué)生在教師的指導(dǎo)下，從學(xué)生生活和社會(huì)經(jīng)驗(yàn)中，選擇和確定研究專題，仿照科學(xué)研究的方法和過程，主動(dòng)地獲取知識，并應(yīng)用知識來解決問題的學(xué)習(xí)活動(dòng)。研究性學(xué)習(xí)圍繞一個(gè)主題或問題，以小組學(xué)習(xí)為主要形式，學(xué)生自主進(jìn)行的探索性、實(shí)踐性、開放性課程。研究性學(xué)習(xí)是以問題的解決為主要形式的學(xué)習(xí)活動(dòng)，問題是它的重要載體，整個(gè)學(xué)習(xí)活動(dòng)以問題的自然形成序列。研究性學(xué)習(xí)更強(qiáng)調(diào)實(shí)踐，注重體驗(yàn)，關(guān)注結(jié)果。其特點(diǎn)是內(nèi)容強(qiáng)調(diào)開放性、學(xué)習(xí)強(qiáng)調(diào)主體性、注重學(xué)生之間合作學(xué)習(xí)、講求體驗(yàn)式、活動(dòng)化。下面通過對一個(gè)數(shù)學(xué)問題的探索，談?wù)勎业囊稽c(diǎn)體會(huì)。教師：求曲線的方程、通過方程研究曲線的性質(zhì)是解析幾何的兩大主要問題。今天與同學(xué)們討論一個(gè)問題：怎樣探索點(diǎn)的軌跡。問題是數(shù)學(xué)的心臟，思維從問題開始。我們先看一個(gè)具體的例子：如圖1，過橢圓()的左焦點(diǎn)F1作弦AB?，F(xiàn)在來研究焦點(diǎn)弦AB有關(guān)的問題。軌跡1過原點(diǎn)O作弦AB的垂線，垂足為M，求點(diǎn)M的軌跡方程。圖1圖2幾何畫板演示：拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A在橢圓上轉(zhuǎn)動(dòng)或制作點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)的動(dòng)畫按鈕，跟蹤點(diǎn)M，得到點(diǎn)M的軌跡是一個(gè)小圓。如圖2“怎樣求出這個(gè)小圓的方程？〞學(xué)生：按一般思路，假設(shè)弦AB所在直線的斜率為k，那么AB的垂線的斜率為，列出這兩條直線的方程，聯(lián)立這兩個(gè)方程解出交點(diǎn)(即垂足)M的坐標(biāo)，最后消去參數(shù)k就得到點(diǎn)M的軌跡方程。哇！好復(fù)雜。學(xué)生們埋頭進(jìn)行著復(fù)雜的運(yùn)算。其中一個(gè)學(xué)生望著投影大屏幕，既不動(dòng)手，也不說話。教師：“你為什么不動(dòng)手做？〞學(xué)生：“我在想……這個(gè)軌跡是一個(gè)圓，而且是以O(shè)F1為直徑的圓，是不是有什么簡單的方法做出來。噢，我知道了。一般的解題思路很容易想出來，但運(yùn)算也很復(fù)雜。我有一個(gè)很好也很簡單的方法：因?yàn)镺M⊥AB，所以|OM|2+|F1M|2=|OF1|2，假設(shè)設(shè)點(diǎn)M的坐標(biāo)為(x，y)，點(diǎn)F1的坐標(biāo)為(c，0)，那么x2+y2+(x－c)2+y2=c2，即。這就是所求的軌跡方程。〞“??！這么簡單？〞同學(xué)們都驚訝起來。馬上又有一個(gè)學(xué)生說：“大家都被橢圓這個(gè)外表給迷惑住了。其實(shí)這個(gè)問題只與原點(diǎn)和點(diǎn)F1的坐標(biāo)有關(guān)，而與橢圓的弦無任何聯(lián)系。就是‘給定兩點(diǎn)O與F1，過這兩點(diǎn)作兩條互相垂直的直線，求交點(diǎn)的軌跡方程?！@當(dāng)然很容易解得。〞教師：“很好。剛剛同學(xué)們討論得很不錯(cuò)。在探求點(diǎn)的軌跡時(shí)，一定要注意設(shè)法找出動(dòng)點(diǎn)所滿足的幾何條件，尋找動(dòng)點(diǎn)與不動(dòng)點(diǎn)之間的幾何關(guān)系。平面幾何的有關(guān)結(jié)論對求點(diǎn)的軌跡很有用處。下面我們將問題改變一下：軌跡2如圖3，求弦AB中點(diǎn)P的軌跡方程。〞“猜猜看，點(diǎn)P的軌跡是什么？〞不少學(xué)生已經(jīng)利用幾何畫板演示了出來：幾何畫板演示：拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A，得到點(diǎn)P的軌跡是一個(gè)小橢圓，并且這個(gè)小橢圓的長軸是線段OF1即半焦距。如圖4。“真是橢圓。〞學(xué)生的興趣被調(diào)動(dòng)起來?！霸鯓忧筮@個(gè)小橢圓的方程？〞教師在下面觀察學(xué)生的解法，卻發(fā)現(xiàn)不少學(xué)生圖3對這類問題無從下手。教師：“根據(jù)求軌跡方程的一般步驟，求哪一點(diǎn)的軌跡方程，就應(yīng)該假設(shè)該點(diǎn)的坐標(biāo)為(x，y)，因此先設(shè)P點(diǎn)坐標(biāo)為(x，y)。要建立點(diǎn)P的坐標(biāo)(x，y)滿足的方程，觀察圖形，這里有四個(gè)點(diǎn)A(x1，y1)、B(x2，y2)、P、F1，其中點(diǎn)F1是定點(diǎn)，A、B、P都是動(dòng)點(diǎn)，但點(diǎn)A是主動(dòng)點(diǎn)，引起點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的原因是由于點(diǎn)A在橢圓上運(yùn)動(dòng)。因此要找到點(diǎn)P與A、B、F這三個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系。這是解決問題的關(guān)鍵。〞“點(diǎn)P與A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)的關(guān)系怎樣？〞學(xué)生：“根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式得到，。〞“如何將A、B、P、F1這四點(diǎn)的坐標(biāo)聯(lián)系起來？〞“利用直線的斜率。〞“直線AB的斜率怎樣表示？〞“有，還有。〞“如何得到？〞“……〞“A、B兩點(diǎn)在哪？滿足什么方程？〞圖4“在橢圓上。滿足，。〞“知道怎樣求了嗎？〞學(xué)生很快得到以下解法(經(jīng)過整理)：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，，那么，，因?yàn)辄c(diǎn)A、B都在橢圓上，那么，，兩式相減得，于是有，化簡得，此即為所求的軌跡方程。教師：“以上解法是很典型的。這里設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)，但并不需要求出，只是利用A、B的坐標(biāo)進(jìn)行過渡。這是解析幾何中常用的一種求軌跡方法——設(shè)而不求。尋找動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系是求軌跡問題的關(guān)鍵。還有其它解法沒有？〞一學(xué)生：“因?yàn)橹本€AB經(jīng)過點(diǎn)F1，可以設(shè)直線AB的方程為y=k(x+c)，與橢圓方程聯(lián)立解方程組得出A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)……〞另一學(xué)生：“不必解出A、B的坐標(biāo)，將直線AB的方程為y=k(x+c)代入橢圓方程得到的一元二次方程的兩根就是點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)x1，x2，正好可以利用韋達(dá)定理得到，，將點(diǎn)A、B的橫坐標(biāo)都表示為直線AB的斜率k的函數(shù)，消去參數(shù)k就行了。〞教師：“很好。請同學(xué)們將解法寫出來。〞以下是學(xué)生的另一種解法(經(jīng)整理)：解法二：假設(shè)直線AB的斜率為k，那么直線AB的方程為y=k(x+c)，代入橢圓方程得設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，P(x，y)，那么，①=，②由①②得，代入y=k(x+c)得，整理得，即為所求的方程。學(xué)生：“我改變原橢圓的長軸或短軸的長，所求軌跡的形狀也隨著改變了，但這兩個(gè)橢圓的形狀仍然十分‘相似’，也不知有沒有必然的聯(lián)系？〞學(xué)生：“與的比例正好等于，哇！我發(fā)現(xiàn)這兩個(gè)橢圓的離心率是一樣的！因此它們的形狀相同。〞教師：“很好。看來大家已經(jīng)掌握了求軌跡的關(guān)鍵——尋找被動(dòng)點(diǎn)與主動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系。剛剛所探索的都是弦AB上特殊點(diǎn)的軌跡。同學(xué)們能否利用幾何畫板探索其它點(diǎn)的軌跡？請大家根據(jù)這個(gè)橢圓及弦AB，自行發(fā)現(xiàn)問題，提出問題和解決問題。〞學(xué)生們立即投入到探索中。一位學(xué)生：軌跡3“在弦AB上任意取一點(diǎn)Q，跟蹤點(diǎn)Q，動(dòng)畫……哇！怎么點(diǎn)Q的軌跡是這樣的？〞不少學(xué)生也發(fā)現(xiàn)了同樣的問題。教師將這位學(xué)生計(jì)算機(jī)上的畫面切換到大屏幕，幾何畫板演示：在弦AB上任取一點(diǎn)Q，跟蹤點(diǎn)Q，拖動(dòng)主動(dòng)點(diǎn)A，取到如下幾何圖形(如圖5～7所示)：圖5圖6圖7“呀！這是什么圖形？〞“怎么會(huì)有這樣的圖形？〞“自學(xué)習(xí)解析幾何以來還從沒見過這樣的圖形。〞“該給這個(gè)軌跡起個(gè)什么名字呢？〞學(xué)生們發(fā)出驚嘆。拖動(dòng)點(diǎn)Q，發(fā)現(xiàn)點(diǎn)Q的軌跡也發(fā)生變化。當(dāng)點(diǎn)Q接近中點(diǎn)P時(shí)，點(diǎn)Q的軌跡圖形接近于中點(diǎn)P的軌跡——小橢圓(如圖6)，而當(dāng)點(diǎn)Q接近于點(diǎn)A或B時(shí)，軌跡圖形就接近于大橢圓(如圖7)。軌跡4“老師，我發(fā)現(xiàn)，如果將弦AB的兩端A、B分別與橢圓長軸兩個(gè)端點(diǎn)A1、A2連起來，那么這兩條直線A2A與A1B的交點(diǎn)C好象在橢圓的準(zhǔn)線上。〞另一個(gè)學(xué)生叫起來。“老師，點(diǎn)Q的軌跡不是我們所熟悉的圓、橢圓、雙曲線或拋物線，其軌跡方程一定很復(fù)雜。點(diǎn)C的軌跡這么簡單，那么應(yīng)該可以求出其方程吧。〞教師：“試試看吧。〞采取常規(guī)方法“交軌法〞求解：設(shè)直線AA2、BA1的方程分別為y=k1(x－a)，y=k2(x+a)，將AA2的方程代入橢圓方程整理得,此方程的兩根是A、A2的橫坐標(biāo)x1與a，故可求得A(x1，y1)點(diǎn)坐標(biāo)為,圖8同理可求得B(x2，y2)點(diǎn)坐標(biāo)為。由A、F1、B三點(diǎn)共線可得，即，將A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)代入并整理得a2(a+c)k12k2+a2(c-a)k1k22+b2(a+c)k1+b2(c-a)k2=0，將，代入上式得，分解因式得，因?yàn)橹本€AA2、BA1的交點(diǎn)在橢圓外，所以，故，即。即為直線AA2、BA1的交點(diǎn)的軌跡方程，而這就是橢圓的準(zhǔn)線方程。“同樣的道理，直線A2B與A1A的交點(diǎn)D也在準(zhǔn)線上。〞“老師，不管C、D兩點(diǎn)在左準(zhǔn)線上怎樣運(yùn)動(dòng)，∠CF1D是一個(gè)定值。如圖9所示。〞又一個(gè)學(xué)生發(fā)現(xiàn)了一個(gè)結(jié)論。同學(xué)們利用上個(gè)問題的解決方法，很快證明了出來。教師：“很快樂看到你們能探索出這么多圖9結(jié)論出來。利用幾何畫板，你們還能探索出什么結(jié)論嗎？如果是圓、橢圓等常見軌跡，請同學(xué)們課后盡量給出證明。〞軌跡5“老師，如圖10作ΔOAB的重心G，其軌跡也是一個(gè)橢圓。〞一位學(xué)生說。(以下是學(xué)生課后提供的解答過程：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，AB中點(diǎn)為M(x0，y0)，那么，，，，，，由，，得，此即為直線AB的斜率k，圖10又，∴，整理得.故ΔOAB重心G的軌跡方程為：。)下面是學(xué)生們得到的幾條奇形怪狀的曲線：軌跡6“ΔOAB的內(nèi)心的軌跡是一條‘雞蛋形’曲線(如圖11所示)。〞軌跡7“ΔOAB的垂心的軌跡是一條‘’形狀的曲線(如圖12所示)。〞圖11圖12軌跡8“ΔOAB的外心的軌跡是一條‘反’形狀的曲線(如圖13所示)。〞軌跡9“ΔOAB中，過點(diǎn)A作OB的垂線，垂足的軌跡是‘兩葉花卉形’(如圖14所示)。〞圖13圖14軌跡10“老師，如圖15作ΔABF2的重心G，其軌跡也是一個(gè)橢圓。〞(以下是學(xué)生課后的解答：設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，G(x，y)，那么由F2(c，0)與G(x，y)可得AB中點(diǎn)M的坐標(biāo)為，因?yàn)椋?，整理得，即。此即為ΔABF2的重心G的軌跡方程。)圖15又是幾條奇妙的曲線：軌跡11“ΔABF2的內(nèi)心的軌跡是與橢圓相似的一條曲線(如圖16所示)。〞軌跡12“ΔABF2的垂心的軌跡是一條形狀的曲線(如圖17所示)。〞軌跡13“ΔABF2的外心的軌跡是一條‘反’形狀的曲線(如圖18所示)。〞軌跡14“ΔABF2中，過點(diǎn)A作BF2的垂線，垂足的軌跡是兩葉花卉形(如圖19所示)。〞圖16圖17圖18圖19軌跡15—18“延長AF2交橢圓于另一點(diǎn)C，聯(lián)BF2，ΔABC的重心、內(nèi)心、垂心、外心的軌跡都是一不知名的曲線(如圖20～23所示)。〞圖20圖21圖22圖23“老師，橢圓與雙曲線、拋物線都是圓錐曲線，它們有很多相似的性質(zhì)。以上問題在雙曲線與拋物線中是不是也具有相似的結(jié)論？〞“問得好。同學(xué)們探討一下這位同學(xué)提出的問題。〞以下是學(xué)生經(jīng)過探索得出下面的結(jié)論(限于篇幅，本文略去解題過程)：軌跡19如圖24，過雙曲線的右焦點(diǎn)F2作弦AB，那么弦AB的中點(diǎn)M的軌圖24跡是以O(shè)F2為實(shí)軸即實(shí)半軸長為的雙曲線，其方程為，其解答過程與橢圓相似，這里略去。并且此雙曲線與原雙曲線的離心率相同。假設(shè)在弦AB上任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的軌跡圖形如圖25～26，并且當(dāng)點(diǎn)P圖25接近中點(diǎn)M時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近中點(diǎn)M的軌跡——雙曲線；當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A或B時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近原雙曲線。軌跡20如圖27，ΔOAB的重心G的軌跡是一雙曲線，其方程為。軌跡21如圖28，ΔABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為圖26圖27圖28軌跡21如圖28，ΔABF1的重心的軌跡是一雙曲線，其方程為。軌跡22如圖29，過拋物線的焦點(diǎn)F作弦AB，那么弦AB的中點(diǎn)M的軌跡是以F為頂點(diǎn)的拋物線，其方程為.圖29圖30圖31如圖30～31，假設(shè)在弦AB上任取一點(diǎn)P，那么點(diǎn)P的軌跡并且當(dāng)點(diǎn)P接近中點(diǎn)M時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近中點(diǎn)M的軌跡——拋物線，當(dāng)點(diǎn)P接近點(diǎn)A或B時(shí)，P點(diǎn)軌跡接近原拋物線軌跡23如圖32，ΔOAB的重心G的軌跡是一條拋物線，其方程為。軌跡24如圖33，K是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，ΔKAB的重心的軌跡是一條拋物圖32圖33圖34線，其方程為。如圖34，通過探索還可得到拋物線有關(guān)的一些性質(zhì)：如①以AB為直徑的圓與準(zhǔn)線相切；②連接OA、OB兩條直線，分別交拋物線的準(zhǔn)線于M、N兩點(diǎn)，那么∠MFN=,并且AM、BN都垂直于準(zhǔn)線。教師：“今天的問題同學(xué)們研究得很好。幾何畫板可以稱這數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室。通過這個(gè)實(shí)驗(yàn)室，同學(xué)們可以學(xué)會(huì)怎樣去探索、發(fā)現(xiàn)問題和解決問題。象上面的軌跡問題，找到了主動(dòng)點(diǎn)與被動(dòng)點(diǎn)之間的關(guān)系，問題就不難解。下面的這個(gè)問題，同學(xué)們課后去加以研究，下周將你們研究的結(jié)果展示出來：問題如圖35所示，過橢圓的左頂點(diǎn)A1作兩條互相垂直的弦A1A、A1B。對于弦AB提出一些問題并加以解決。例如：弦AB是否經(jīng)過一個(gè)定點(diǎn)；弦AB上中點(diǎn)的軌跡問題；過A1或O點(diǎn)作弦AB的垂線，垂足的軌跡問題；ΔA1AB的重心、外心、內(nèi)心、垂心等的軌跡問題；ΔA2AB的重心、外心、內(nèi)心、垂心等的軌跡問題……更一般的問題：如果在橢圓上取其它點(diǎn)M，過點(diǎn)M作兩條互相垂直的弦MA、MB。對弦AB提出一些問題并加以解決。同樣，對雙曲線、拋物線也提出類似的問題。有關(guān)結(jié)果在