新課標(biāo)2023版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)第8章平面解析幾何第4節(jié)直線與圓圓與圓的位置關(guān)系教師用書(shū)

歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！歡迎閱讀本文檔，希望本文檔能對(duì)您有所幫助！第四節(jié)直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系考試要求：能判斷直線與圓、圓與圓的位置關(guān)系．一、教材概念·結(jié)論·性質(zhì)重現(xiàn)1．直線與圓的位置關(guān)系的判斷(1)幾何法：利用圓心到直線的距離d和圓的半徑r的大小關(guān)系進(jìn)行判斷．d<r?相交；d＝r?相切；d>r?相離．(2)代數(shù)法：聯(lián)立直線與圓的方程，求聯(lián)立后所得方程的判別式Δ，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ>0?相交，,Δ＝0?相切，,Δ<0?相離.))直線與圓的位置關(guān)系體現(xiàn)了圓的幾何性質(zhì)和代數(shù)方法的結(jié)合，代數(shù)法與幾何法是不同的方法和思路，解題時(shí)要根據(jù)題目特點(diǎn)靈活選擇．2．圓與圓的位置關(guān)系設(shè)圓O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝req\o\al(2,1)(r1>0)，圓O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝req\o\al(2,2)(r2>0)．方法位置關(guān)系幾何法：圓心距d與r1，r2的關(guān)系代數(shù)法：兩圓方程聯(lián)立組成方程組的解的情況相離d>r1＋r2無(wú)解外切d＝r1＋r2一組實(shí)數(shù)解相交|r1－r2|<d<r1＋r2兩組不同的實(shí)數(shù)解內(nèi)切d＝|r1－r2|(r1≠r2)一組實(shí)數(shù)解內(nèi)含0≤d<|r1－r2|(r1≠r2)無(wú)解(1)用代數(shù)法判斷兩圓的位置關(guān)系時(shí)，要準(zhǔn)確區(qū)分兩圓內(nèi)切、外切或相離、內(nèi)含．(2)兩圓的位置關(guān)系與公切線的條數(shù)：①內(nèi)含：0條．②內(nèi)切：1條．③相交：2條．④外切：3條．⑤外離：4條．3．重要結(jié)論(1)當(dāng)兩圓相交(切)時(shí)，兩圓方程(x2，y2項(xiàng)的系數(shù)相同)相減便可得公共弦(內(nèi)公切線)所在的直線方程．兩圓相交時(shí)，兩圓連心線垂直平分公共弦；兩圓相切時(shí)，兩圓連心線必過(guò)切點(diǎn)．(2)過(guò)圓x2＋y2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為x0x＋y0y＝r2．過(guò)圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一點(diǎn)P(x0，y0)的圓的切線方程為(x0－a)(x－a)＋(y0－b)·(y－b)＝r2．(3)過(guò)圓x2＋y2＝r2外一點(diǎn)M(x0，y0)作圓的兩條切線，則兩切點(diǎn)所在的直線方程為x0x＋y0y＝r2．(4)直線與圓相交時(shí)，弦心距d、半徑r、弦長(zhǎng)的一半eq\f(1,2)l滿(mǎn)足關(guān)系式r2＝d2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)l))eq\s\up12(2)．(5)過(guò)圓內(nèi)一點(diǎn)的最長(zhǎng)的弦是直徑，最短的是垂直這點(diǎn)與圓心連線的弦．二、基本技能·思想·活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)1．判斷下列說(shuō)法的正誤，對(duì)的打“√”，錯(cuò)的打“×”．(1)如果兩圓的圓心距小于兩圓的半徑之和，則兩圓相交． (×)(2)“k＝1”是“直線x－y＋k＝0與圓x2＋y2＝1相交”的必要不充分條件． (×)(3)過(guò)圓O：x2＋y2＝r2外一點(diǎn)P(x0，y0)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則O，P，A，B四點(diǎn)共圓且直線AB的方程是x0x＋y0y＝r2． (√)(4)圓C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0與圓C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切線有且僅有2條． (√)2．“k＝0”是“直線y＝kx－eq\r(2)與圓x2＋y2＝2相切”的()A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件C解析：直線與圓相切?eq\f(\r(2),\r(1＋k2))＝eq\r(2)?k＝0．3．圓C1：x2＋(y－1)2＝1與圓C2：(x＋4)2＋(y－1)2＝4的公切線的條數(shù)為()A．4 B．3C．2 D．1A解析：兩圓的圓心距|C1C2|＝4>2＋1，所以?xún)蓤A外離，兩圓的公切線有4條．4．(2021·長(zhǎng)春質(zhì)檢)圓x2＋y2＝4與圓x2＋y2－4x＋4y－12＝0的公共弦所在直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為()A．1 B．2C．4 D．8B解析：由(x2＋y2－4)－(x2＋y2－4x＋4y－12)＝0得公共弦所在直線的方程為x－y＋2＝0，它與兩坐標(biāo)軸分別交于(－2,0)，(0,2)，所以直線和兩坐標(biāo)軸所圍成圖形的面積為eq\f(1,2)×2×2＝2．5．直線l：3x－y－6＝0與圓x2＋y2－2x－4y＝0相交于A，B兩點(diǎn)，則|AB|＝_______．eq\r(10)解析：圓的方程可化為(x－1)2＋(y－2)2＝(eq\r(5))2，又圓心(1,2)到直線l的距離為eq\f(\r(10),2)，所以|AB|＝2eq\r(5－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(10),2)))eq\s\up12(2))＝eq\r(10)．考點(diǎn)1直線與圓的位置關(guān)系——基礎(chǔ)性1．(2021·江西上饒模擬)直線ax－by＝0與圓x2＋y2－ax＋by＝0的位置關(guān)系是()A．相交 B．相切C．相離 D．不能確定B解析：將圓的方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程得eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a,2)))eq\s\up12(2)＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(b,2)))eq\s\up12(2)＝eq\f(a2＋b2,4)，所以圓心坐標(biāo)為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,2)，－\f(b,2)))，半徑r＝eq\r(\f(a2＋b2,4))＝eq\f(\r(a2＋b2),2)．因?yàn)閳A心到直線ax－by＝0的距離d＝eq\f(eq\f(a2,2)＋eq\f(b2,2),eq\r(a2＋b2))＝eq\f(\r(a2＋b2),2)＝r，所以直線與圓相切．故選B．2．圓x2＋y2－2x＋4y＝0與直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置關(guān)系為()A．相離 B．相切C．相交 D．以上都有可能C解析：由2tx－y－2－2t＝0(t∈R)得：(2x－2)t－(y＋2)＝0，所以直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)恒過(guò)點(diǎn)(1，－2)．因?yàn)?＋4－2－8＝－5<0，所以(1，－2)在圓x2＋y2－2x＋4y＝0內(nèi)部，所以直線2tx－y－2－2t＝0(t∈R)與圓x2＋y2－2x＋4y＝0相交．故選C．3．若過(guò)點(diǎn)A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，則直線l的斜率的取值范圍為()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)] B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C．eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D．eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))C解析：設(shè)直線方程為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離小于等于半徑，即d＝eq\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\co1(\f(2k－4k,\r(k2＋1))))≤1，得4k2≤k2＋1，k2≤eq\f(1,3)，即－eq\f(\r(3),3)≤k≤eq\f(\r(3),3)．故選C．1．注意常用方法：判斷直線與圓的位置關(guān)系一般用幾何法，即d與r的關(guān)系進(jìn)行判斷．2．注意直線上定點(diǎn)的作用：若直線恒過(guò)定點(diǎn)且定點(diǎn)在圓內(nèi)，可判斷直線與圓相交．考點(diǎn)2圓與圓的位置關(guān)系——綜合性(1)若圓(x＋1)2＋y2＝m與圓x2＋y2－4x＋8y－16＝0內(nèi)切，則實(shí)數(shù)m的值為()A．1 B．11C．121 D．1或121D解析：對(duì)x2＋y2－4x＋8y－16＝0進(jìn)行整理，可得(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故兩圓的圓心坐標(biāo)為(－1,0)，(2，－4)，半徑分別為eq\r(m)，6．因?yàn)閳A(x＋1)2＋y2＝m與圓x2＋y2－4x＋8y－16＝0內(nèi)切，所以圓心距d滿(mǎn)足d＝|r2－r1|，即eq\r((2＋1)2＋(－4)2)＝|eq\r(m)－6|，解得m＝1或121．(2)已知兩圓C1：x2＋y2－2x－6y－1＝0和C2：x2＋y2－10x－12y＋45＝0．①求證：圓C1和圓C2相交；②求圓C1和圓C2的公共弦所在直線的方程和公共弦長(zhǎng)．①證明：由題意可知，圓C1的圓心為C1(1,3)，半徑r1＝eq\r(11)，圓C2的圓心為C2(5,6)，半徑r2＝4，兩圓的圓心距d＝|C1C2|＝5，r1＋r2＝eq\r(11)＋4，|r1－r2|＝4－eq\r(11)，所以|r1－r2|＜d＜r1＋r2，所以圓C1和C2相交．②解：圓C1和圓C2的方程左右兩邊分別相減，整理得4x＋3y－23＝0，所以?xún)蓤A的公共弦所在直線的方程為4x＋3y－23＝0．圓心C2(5,6)到直線4x＋3y－23＝0的距離d＝eq\f(|20＋18－23|,\r(16＋9))＝3，故公共弦長(zhǎng)為2eq\r(16－9)＝2eq\r(7)．本例(1)中若兩圓內(nèi)含，求實(shí)數(shù)m的取值范圍．解：圓(x＋1)2＋y2＝m的圓心為(－1,0)，半徑為eq\r(m)；圓x2＋y2－4x＋8y－16＝0，即(x－2)2＋(y＋4)2＝36，故圓心為(2，－4)，半徑為6．由兩圓內(nèi)含得eq\r(32＋42)<|eq\r(m)－6|，解得m<1或m>121．(1)判斷兩圓位置關(guān)系常用幾何法，即用兩圓圓心距與兩圓半徑和及差的絕對(duì)值的大小關(guān)系判斷，一般不用代數(shù)法．注意兩圓相切時(shí)，應(yīng)分外切、內(nèi)切兩種情況．(2)兩圓相交時(shí)，兩圓的公共弦所在直線的方程，可由兩圓的方程作差消去x2，y2項(xiàng)得到．(3)求兩圓公共弦長(zhǎng)，常選其中一圓，由弦心距d、半弦長(zhǎng)eq\f(l,2)、半徑r構(gòu)成直角三角形，利用勾股定理求解．1．(2022·安徽黃山五校聯(lián)考)已知圓M：x2＋y2－2ay＝0(a>0)截直線x＋y＝0所得線段的長(zhǎng)度是2eq\r(2)，則圓M與圓N：(x－1)2＋(y－1)2＝1的位置關(guān)系是()A．內(nèi)切 B．相交C．外切 D．相離B解析：將圓M的方程化為x2＋(y－a)2＝a2，則圓心M(0，a)，半徑r1＝a．點(diǎn)M到直線x＋y＝0的距離d＝eq\f(a,\r(2))，則eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(a,\r(2))))eq\s\up12(2)＋2＝a2，得a＝2，故M(0,2)，r1＝2．又圓N的圓心N(1,1)，半徑r2＝1，所以|MN|＝eq\r(2)，而|r1－r2|<|MN|<|r1＋r2|，所以?xún)蓤A相交．故選B．2．若圓O1：x2＋y2＝5與圓O2：(x＋m)2＋y2＝20相交于A，B兩點(diǎn)，且兩圓在點(diǎn)A處的切線互相垂直，則線段AB的長(zhǎng)度是()A．3 B．4C．2eq\r(3) D．8B解析：如圖，連接O1A，O2A，由于⊙O1與⊙O2在點(diǎn)A處的切線互相垂直，因此O1A⊥O2A，所以O(shè)1Oeq\o\al(2,2)＝O1A2＋O2A2，即m2＝5＋20＝25．設(shè)AB交x軸于點(diǎn)C．在Rt△O1AO2中，sin∠AO2O1＝eq\f(\r(5),5)，所以在Rt△ACO2中，AC＝AO2·sin∠AO2O1＝2eq\r(5)×eq\f(\r(5),5)＝2，所以AB＝2AC＝4．故選B．考點(diǎn)3直線與圓的綜合問(wèn)題——應(yīng)用性考向1弦長(zhǎng)問(wèn)題已知圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y軸所得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，過(guò)點(diǎn)(0,4)且斜率為k的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝2eq\r(2)，則k的值為()A．－eq\f(1,4) B．eq\f(1,4)C．－eq\f(3,4) D．eq\f(3,4)D解析：已知圓C：(x－4)2＋(y－2)2＝r2截y軸所得的弦長(zhǎng)為2eq\r(2)，所以圓心坐標(biāo)為(4,2)，半徑為r，則42＋(eq\r(2))2＝r2，解得r＝3eq\r(2)．由于過(guò)點(diǎn)(0,4)且斜率為k的直線l與圓C交于A，B兩點(diǎn)，|AB|＝2eq\r(2)，則設(shè)直線l的方程為y＝kx＋4，由點(diǎn)到直線的距離公式可得：eq\f(|4k－2＋4|,\r(1＋k2))＝eq\r((3\r(2))2－(\r(2))2)，解得k＝eq\f(3,4)．求弦長(zhǎng)的兩種求法(1)代數(shù)方法：將直線和圓的方程聯(lián)立，消元后得到一個(gè)一元二次方程．在判別式Δ＞0的前提下，利用根與系數(shù)的關(guān)系，根據(jù)弦長(zhǎng)公式求弦長(zhǎng)．(2)幾何方法：若弦心距為d，圓的半徑長(zhǎng)為r，則弦長(zhǎng)l＝2eq\r(r2－d2)．考向2圓的切線問(wèn)題若過(guò)直線3x＋4y－2＝0上一點(diǎn)M向圓C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4作一條切線切于點(diǎn)T，則|MT|的最小值為()A．eq\r(10) B．4C．2eq\r(2) D．2eq\r(3)D解析：根據(jù)題意，圓C：(x＋2)2＋(y＋3)2＝4，其圓心為(－2，－3)，半徑r＝2，過(guò)點(diǎn)M向圓C作一條切線切于點(diǎn)T，則|MT|＝eq\r(|MC|2－r2)＝eq\r(|MC|2－4)．當(dāng)|MC|取得最小值時(shí)，|MT|的值最小，而|MC|的最小值為點(diǎn)C到直線3x＋4y－2＝0的距離，則|MC|min＝eq\f(|－6－12－2|,\r(9＋16))＝4，則|MT|的最小值為eq\r(16－4)＝2eq\r(3)．故選D．(1)處理圓的切線問(wèn)題要抓住圓心到直線的距離等于半徑這一關(guān)系，從而建立方程解決問(wèn)題．(2)過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線有且只有一條；過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線有且只有兩條，若僅求得一條，除了考慮運(yùn)算過(guò)程是否正確外，還要考慮斜率不存在的情況，以防漏解．1．(2020·全國(guó)Ⅲ卷)若直線l與曲線y＝eq\r(x)和圓x2＋y2＝eq\f(1,5)都相切，則l的方程為()A．y＝2x＋1 B．y＝2x＋eq\f(1,2)C．y＝eq\f(1,2)x＋1 D．y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)D解析：圓x2＋y2＝eq\f(1,5)的圓心為原點(diǎn)，半徑為eq\f(\r(5),5)，經(jīng)檢驗(yàn)原點(diǎn)與選項(xiàng)A，D中的直線y＝2x＋1，y＝eq\f(1,2)x＋eq\f(1,2)的距離均為eq\f(\r(5),5)，即兩直線與圓x2＋y2＝eq\f(1,5)均相切，原點(diǎn)與選項(xiàng)B，C中的直線y＝2x＋eq\f(1,2)，y＝eq\f(1,2)x＋1的距離均不是eq\f(\r(5),5)，即兩直線與圓x2＋y2＝eq\f(1,5)均不相切，所以排除選項(xiàng)BC．將直線方程y＝2x＋1代入y＝eq\r(x)，得2(eq\r(x))2－eq\r(x)＋1＝0，判別式Δ＜0，所以直線y＝2x＋1與曲線y＝eq\r(x)不相切，所以排除選項(xiàng)A．故選D．2．已知直線x－eq\r(3)y＋8＝0和圓x2＋y2＝r2(r>0)相交于A，B兩點(diǎn)．若|AB|＝6，則r的值為_(kāi)_______．5解析：設(shè)圓心為O(0,0)，圓心到直線的距離d＝eq\f(|0－\r(3)×0＋8|,\r(1＋3))＝4．取AB的中點(diǎn)M，連接OM(圖略)，則OM⊥AB．在Rt△OMA中，r＝eq\r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))eq\s\up12(2)＋d2)＝5．一個(gè)圓與y軸相切，圓心在直線x－3y＝0上，且在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，求此圓的方程．[四字程序]讀想算思求圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程如何求圓的方程？1．圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是什么？2．圓的一般方程是什么數(shù)形結(jié)合1．圓的圓心在直線上．2．圓與直線相切．3．圓在直線上截得的弦長(zhǎng)為eq\r(6)根據(jù)題目條件設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程或一般方程，利用待定系數(shù)法求解1．(x－a)2＋(y－b)2＝r2．2．x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0借助于圓的幾何性質(zhì)求解思路參考：根據(jù)圓心在直線上，設(shè)出圓心．由圓與直線相切，表示出半徑，結(jié)合弦長(zhǎng)求出圓的方程．解：因?yàn)樗髨A的圓心在直線x－3y＝0上，且與y軸相切，所以設(shè)所求圓的圓心為C(3a，a)，半徑為r＝3|a|．又圓在直線y＝x上截得的弦長(zhǎng)為2eq\r(7)，圓心C(3a，a)到直線y＝x的距離為d＝eq\f(|3a－a|,\r(12＋(－1)2))，所以有d2＋(eq\r(7))2＝r2，即2a2＋7＝9a2，所以a＝±1．故所求圓的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．思路參考：設(shè)出圓的標(biāo)準(zhǔn)方程．利用圓心到直線的距離公式表示出半徑，結(jié)合弦長(zhǎng)求出圓的方程．解：設(shè)所求的圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2，則圓心(a，b)到直線x－y＝0的距離為eq\f(|a－b|,\r(2))，所以r2＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－b|,\r(2))))eq\s\up12(2)＋(eq\r(7))2，即2r2＝(a－b)2＋14．①由于所求的圓與y軸相切，所以r2＝a2．②又因?yàn)樗髨A心在直線x－3y＝0上，所以a－3b＝0．③聯(lián)立①②③，解得a＝3，b＝1，r2＝9或a＝－3，b＝－1，r2＝9．故所求的圓的方程是(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9．思路參考：設(shè)出圓的一般方程，用待定系數(shù)法求解．解：設(shè)所求的圓的方程是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，圓心為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\a