專(zhuān)題7從古典概率論到現(xiàn)代概率論課件

參考文獻(xiàn)：1.（美）H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史概論》，歐陽(yáng)絳譯，山西人民出版社，19862.（美）H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史上的里程碑》，歐陽(yáng)絳等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19903．吳文俊主編，《世界著名數(shù)學(xué)家傳記》（上下集），科學(xué)出版社，1995，20034.（美）E.T.貝爾，《數(shù)學(xué)精英》，徐源譯，商務(wù)印書(shū)館，19915.（美）M.克萊因，《西方文化中的數(shù)學(xué)》（1953），張祖貴譯，復(fù)旦大學(xué)出版社，20046．張堯庭，概率概念的發(fā)展和爭(zhēng)論─以及它對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)意義，鄧東皋等編《數(shù)學(xué)與文化》，北京大學(xué)出版社，19907．柳延延，《概率與決定論》，上海社會(huì)科學(xué)院出版社，19968.（美）J.L.福爾克斯，《統(tǒng)計(jì)思想》，魏宗舒、呂乃剛譯，上海翻譯出版公司，19879.（美）C.R.勞，《統(tǒng)計(jì)與真理——怎樣運(yùn)用偶然性》，科學(xué)出版社，200410．高慶豐，《歐美統(tǒng)計(jì)學(xué)史》，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，198711．周述岐，《數(shù)學(xué)思想史和數(shù)學(xué)哲學(xué)》，中國(guó)人民大學(xué)出版社，1993參考文獻(xiàn)：1.（美）H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史概論》，歐陽(yáng)絳譯，山1一、前史～～概率論的醞釀（16世紀(jì)前后的兩百余年間）

概率的數(shù)學(xué)理論是由于研究一些有關(guān)機(jī)遇現(xiàn)象而產(chǎn)生的，典型的例子是賭博、游戲中的問(wèn)題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動(dòng)中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門(mén)學(xué)科，則醞釀?dòng)?6世紀(jì)前后的兩百余年間。它產(chǎn)生的原因雖然是多方面的，但主要是由于當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)業(yè)的產(chǎn)生與發(fā)展以及賭博業(yè)的盛行。一、前史～～概率論的醞釀（16世紀(jì)前后的兩百余年間）概率的2

在這一時(shí)期，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對(duì)賭博中的問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣，其中以帕喬利、卡爾達(dá)諾為代表。

在這一時(shí)期，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對(duì)賭博中的問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣，3帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利）

1494年《算術(shù)，幾何，比及比例全書(shū)》——賭博中斷問(wèn)題：兩個(gè)賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數(shù)量的賭金，誰(shuí)先勝s局誰(shuí)就贏得全部賭金。但是，當(dāng)一個(gè)賭徒勝a局（a＜s），另一個(gè)勝b局（b＜s）時(shí)，賭博因故中斷，問(wèn)應(yīng)該如何分配賭金。

帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利4卡爾達(dá)諾(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《賭博之書(shū)》(1539，出版于1663)：對(duì)賭博中斷問(wèn)題的繼續(xù)討論；

點(diǎn)問(wèn)題：擲兩顆或三顆骰子時(shí)在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點(diǎn)數(shù)；大數(shù)定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)正面或反面雖屬偶然，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面（對(duì)稱(chēng)地，出現(xiàn)反面)的頻率卻必然地接近于定數(shù)1／2

；在n次獨(dú)立事件中，如果事件本身的概率是p，那么它連續(xù)發(fā)生n次的概率是p的n次方

卡爾達(dá)諾(G.Cardano，1501～1576，意大利5二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展～～古典概率論/組合概率時(shí)期（17－18世紀(jì)）從17世紀(jì)中期概率論的產(chǎn)生到18世紀(jì)末，約一個(gè)半世紀(jì)的時(shí)間里，概率論主要以計(jì)算各種古典概率問(wèn)題為中心發(fā)展著，因而將其稱(chēng)為古典概率時(shí)期；由于這個(gè)時(shí)期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱(chēng)為組合概率時(shí)期。

二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展～～古典概率論/組合概率時(shí)期（17－16

這一時(shí)期的代表人物有：帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗爾、貝葉斯

這一時(shí)期的代表人物有：帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯、雅各·伯努利7帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國(guó)）

費(fèi)爾馬（P.deFermat，1601～1665，法國(guó)）

二人關(guān)于賭博中斷問(wèn)題研究的通信，不僅有關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的不同解法，還從對(duì)一些特殊問(wèn)題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結(jié)論，并且在一定程度上揭示了一般方法，這些工作標(biāo)志著作為一門(mén)數(shù)學(xué)分支的概率論的誕生。帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國(guó)）

費(fèi)爾馬8惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)

《論賭博中的推理》(1657)——第一篇關(guān)于概率論的正式論文數(shù)學(xué)期望：如果p表示一個(gè)人獲得一定金額s的概率，則sp稱(chēng)為他的數(shù)學(xué)期望。

惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)9雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）

《猜度術(shù)》（出版于1713年）——“把概率論建立在穩(wěn)固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的首次認(rèn)真的嘗試”：①關(guān)于惠更斯《論賭博中的推理》的一個(gè)精彩評(píng)注②對(duì)排列組合理論的深入研究③將排列組合理論運(yùn)用于概率論④概率論在法律和經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題上的應(yīng)用⑤伯努利大數(shù)定律(大數(shù)定律的最早形式)，這是占據(jù)《猜度術(shù)》全書(shū)中心位置的結(jié)果，被稱(chēng)為“主命題”，是概率論中的第一個(gè)極限定理。雅各·伯努利考慮的是最簡(jiǎn)單的情形，即在整個(gè)試驗(yàn)序列中，某個(gè)給定事件出現(xiàn)的概率始終保持為常數(shù)雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～110德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國(guó))

《論抽簽的原理》(1711年發(fā)表于《哲學(xué)學(xué)報(bào)》)；《機(jī)會(huì)論》(1718，1738，1756)：在對(duì)持續(xù)賭博問(wèn)題的研究上取得了明顯的進(jìn)步，給出了較清晰的組合公式，使用了不同的方程，用循環(huán)序列來(lái)解決問(wèn)題，并且在用正態(tài)逼近來(lái)說(shuō)明問(wèn)題時(shí)使用了函數(shù)，成為拉普拉斯用分析方法研究概率論的先導(dǎo)。；《分析雜論》(1730)：正態(tài)分布德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國(guó))11貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴將概率的概念和推理的方法、公式，擴(kuò)展和提高為處理一般科學(xué)問(wèn)題的原理；⑵給出了著名的貝葉斯公式；⑶提出了貝葉斯假設(shè)貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)112

在書(shū)中貝葉斯給出了概率的定義：“任一事件的概率是這樣的比值：一個(gè)是由于這一事件發(fā)生應(yīng)計(jì)算的期望的值，一個(gè)是會(huì)發(fā)生的事情的相應(yīng)的值。機(jī)會(huì)（chance）我認(rèn)為就是概率?！痹跁?shū)中貝葉斯給出了概率的定義：13幾個(gè)重要的問(wèn)題逆概率（inverseprobability）彼得堡悖論Bernoulli-Euler關(guān)于裝錯(cuò)信封的問(wèn)題秘書(shū)問(wèn)題布豐（Buffon）投針問(wèn)題（1777）

幾個(gè)重要的問(wèn)題逆概率（inverseprobability14

今天看來(lái)，概率論最初考慮的問(wèn)題，其樣本空間(這一概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家馮·米澤斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限個(gè)元素構(gòu)成的。隨著概率論的發(fā)展，這種樣本空間的局限性越來(lái)越明顯。把等可能性思想發(fā)展到包含無(wú)窮多個(gè)元素的樣本空間，就產(chǎn)生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在古典定義里，只有不可能事件的概率才是０，而在幾何定義中，概率０的事件未必是不可能的今天看來(lái)，概率論最初考慮的問(wèn)題，其樣本空間(這一概念是德15三、概率論的發(fā)展～～分析概率論（18世紀(jì)末——19世紀(jì)末）從18世紀(jì)末到19世紀(jì)末的約一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，在概率論的研究中引入了母函數(shù)與特征函數(shù)的概念，并逐漸引進(jìn)了已經(jīng)成熟的分析工具，特別是高斯和拉普拉斯等人建立的關(guān)于“正態(tài)分布”以及“最小二乘法”的理論對(duì)于用概率論研究天文觀測(cè)、大地測(cè)量和物理觀測(cè)的結(jié)果起了重大作用，使概率論的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期——分析概率時(shí)期。三、概率論的發(fā)展～～分析概率論（18世紀(jì)末——19世紀(jì)末）從16

這一時(shí)期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國(guó)彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）等人這一時(shí)期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國(guó)彼得堡17高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的誤差理論的基礎(chǔ)》：對(duì)觀測(cè)天體及進(jìn)行大地測(cè)量時(shí)的誤差問(wèn)題進(jìn)行了研究，導(dǎo)出了誤差函數(shù)。設(shè)誤差為X，則誤差的分布就是今天所說(shuō)的正態(tài)分布。因此，后人又稱(chēng)正態(tài)分布為高斯分布高斯(Gauss，1777-1855)《最小二乘法的誤差18拉普拉斯(Laplace，1749－1827）

《概率的分析理論》（1812）：對(duì)概率論早期成果的系統(tǒng)總結(jié)；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數(shù)等強(qiáng)有力的分析工具，從而實(shí)現(xiàn)了概率論由單純的組合計(jì)算到分析方法的過(guò)渡。拉普拉斯(Laplace，1749－1827）《概率的19

概率的古典定義：在某組條件(S)下進(jìn)行試驗(yàn)，一共有N個(gè)兩兩互不相容而等可能的結(jié)果(基本事件）發(fā)生，其中M個(gè)是適合事件A的結(jié)果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.這個(gè)定義實(shí)際上是把概率概念化為事件的等可能性，而把計(jì)算概率的問(wèn)題歸結(jié)為組合問(wèn)題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個(gè)定義，但可以認(rèn)為，早在概率論的初創(chuàng)階段其基本思想已經(jīng)以某種形式為人們所默認(rèn)。概率的古典定義：在某組條件(S)下進(jìn)行試驗(yàn)，一共有N個(gè)20

從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀(jì)，“等可能性”一直是一個(gè)基本而核心的概念，它指的是每個(gè)簡(jiǎn)單事件具有相同的概率。人們對(duì)這一性質(zhì)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了相當(dāng)曲折的過(guò)程，最終用概率測(cè)度概念取代了它。

從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀(jì)，“等可能性”一直是一個(gè)基本21

概率的古典定義有著不可克服的缺點(diǎn)，首先，“等可能性”并不總是容易判斷的；其次，當(dāng)基本事件的總數(shù)不是有限的時(shí)，古典定義也無(wú)法適用。為了克服第二個(gè)缺點(diǎn)，18世紀(jì)時(shí)引入了概率的幾何定義，但這一定義仍然依賴(lài)于等可能性，從而不能克服第一個(gè)缺點(diǎn)。

概率的古典定義有著不可克服的缺點(diǎn)，首先，“等可能性”并不總22泊松(Poisson，1781——1840)

《關(guān)于刑事案件和民事案件審判概率的研究》(1837)引入泊松分布推廣大數(shù)定律泊松(Poisson，1781——1840)23彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的隨機(jī)變量概念，后來(lái)成為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明了泊松形式大數(shù)定律，建立了有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律并對(duì)隨機(jī)變量和收斂到正態(tài)分布的條件，即中心極限定理進(jìn)行討論。

彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫24

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨(dú)立隨機(jī)變量和古典極值理論的研究，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理，對(duì)相依隨機(jī)變量序列的研究，創(chuàng)立了以他命名的著名的概率模型—馬爾科夫鏈。李雅普諾夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函數(shù)方法，對(duì)一類(lèi)相當(dāng)廣泛的獨(dú)立隨機(jī)變量序列證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布。

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨(dú)25貝特朗(Bertrand)悖論(1889)

在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產(chǎn)生悖論，是由于在這一問(wèn)題中未給出“任意作一弦”這個(gè)概念明確的定義。最本質(zhì)的，是對(duì)“等可能性”的概念的不同規(guī)定，從而造成了計(jì)算結(jié)果的不同。實(shí)際上，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)窮多個(gè)可能的結(jié)果時(shí)，有時(shí)很難客觀地規(guī)定“等可能”這一直觀概念。

貝特朗(Bertrand)悖論(1889)在圓內(nèi)任作26

拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎(chǔ)十分脆弱，對(duì)于事件的概率定義及運(yùn)算都要用到“等可能性”概念，而在一個(gè)具體問(wèn)題上還需要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現(xiàn)表明了直觀的、經(jīng)驗(yàn)性的概率概念的本質(zhì)缺陷，對(duì)建立概率論的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)提出了要求。拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎(chǔ)十分脆弱，對(duì)于事件的27四、概率論的公理化～～現(xiàn)代概率時(shí)期（20世紀(jì)）

拉普拉斯(Laplace)所給出的古典先驗(yàn)概率定義雖然在整個(gè)19世紀(jì)被廣泛接受，但是由于他未能進(jìn)一步探討這一理論及其應(yīng)用的基礎(chǔ)從而缺少數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當(dāng)混亂的，甚至象龐加萊（Poincare)和波萊爾(EmileBorel，1871～1956）這樣的大數(shù)學(xué)家也沒(méi)能在令人滿意的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的嚴(yán)密理論。四、概率論的公理化～～現(xiàn)代概率時(shí)期（20世紀(jì)）拉普拉斯(28

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個(gè)公理化體系。***

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個(gè)公理化體29主觀學(xué)派英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家凱恩斯(J.M.Keynes)：《概率論》（完成于1911年，出版于1921年)英國(guó)的萊姆賽(F.Ramsey，1926)意大利的菲納特(B.DeFinnetti，1937)賽維奇(L.J.Savage，1954)主觀學(xué)派英國(guó)經(jīng)濟(jì)學(xué)家、數(shù)學(xué)家凱恩斯(J.M.Keynes)30主觀學(xué)派主觀學(xué)派的人認(rèn)為，貝葉斯陳述概率是兩個(gè)數(shù)之比的說(shuō)法，只是告訴人們應(yīng)該去猜測(cè)，重點(diǎn)不是他猜測(cè)的是多少。主觀學(xué)派認(rèn)為猜測(cè)不是隨便亂說(shuō)，一個(gè)人的猜測(cè)一定要前后一致，不能自相矛盾。從凱恩斯起，對(duì)主觀概率提出了幾種公理體系，但沒(méi)有一種堪稱(chēng)權(quán)威。也許，主觀概率的最大影響不在概率論自身，而在于數(shù)理統(tǒng)計(jì)學(xué)近年來(lái)出現(xiàn)的貝葉斯統(tǒng)計(jì)學(xué)派

主觀學(xué)派主觀學(xué)派的人認(rèn)為，貝葉斯陳述概率是兩個(gè)數(shù)之比的說(shuō)法，31頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計(jì)學(xué)派）德國(guó)數(shù)學(xué)家馮·米澤斯(vonMises)：1919年，運(yùn)用公理方法給出了在統(tǒng)計(jì)頻率比的性質(zhì)的基礎(chǔ)上的概率定義；

1928年，在《概率，統(tǒng)計(jì)和真理》一書(shū)中建立了頻率的極限理論。

1931年，提出了樣本空間的概念。這個(gè)概念使得有可能把概率的嚴(yán)格的數(shù)學(xué)理論建立在測(cè)度論的基礎(chǔ)上。

頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計(jì)學(xué)派）德國(guó)數(shù)學(xué)家馮·米澤斯(vonMi32頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計(jì)學(xué)派）德國(guó)哲學(xué)家賴(lài)欣巴赫(HansReichenbach，1891─1953）：1935年發(fā)表在專(zhuān)著《概率論》，試圖建立概率理論的令人滿意的公理體系；是為概率的頻率解釋作辯護(hù)頻率理論學(xué)派（統(tǒng)計(jì)學(xué)派）德國(guó)哲學(xué)家賴(lài)欣巴赫(HansRe33

20世紀(jì)初，勒貝格(Lebesgue)創(chuàng)立的測(cè)度論和積分論以及隨后發(fā)展起來(lái)的抽象測(cè)度和積分理論為概率論的公理化發(fā)展提供了新的手段。20世紀(jì)初，勒貝格(Lebesgue)創(chuàng)立的測(cè)度論和34柯?tīng)柲缏宸?Kolmogoroff，1903-1987，前蘇聯(lián)）

1929《一般測(cè)度論和概率計(jì)算》以測(cè)度論和實(shí)變函數(shù)論為基礎(chǔ)對(duì)概率論公理作了初步論述；1933《概率論的基本概念》提出了概率論的公理化結(jié)構(gòu)，明確了概率的定義和概率論的基本概念柯?tīng)柲缏宸?Kolmogoroff，1903-198735

柯?tīng)柲缏宸虻姆椒ㄊ菑母怕实囊恍┲饕再|(zhì)入手，這些性質(zhì)無(wú)論是建立在古典的定義上還是建立在統(tǒng)計(jì)的定義上都有效，他不僅開(kāi)始了把概率論發(fā)展成為一門(mén)數(shù)學(xué)科學(xué)的新階段，而且對(duì)后來(lái)建立隨機(jī)過(guò)程論也提供了必要的基礎(chǔ)。他的工作對(duì)測(cè)度論的發(fā)展也產(chǎn)生了重要影響。過(guò)去作為具體的測(cè)度一般僅考慮Lebesgue-Stieltjes測(cè)度和Lie群上的不變測(cè)度，由于他的工作，新型的概率測(cè)度及有關(guān)的新問(wèn)題在對(duì)偶然現(xiàn)象的數(shù)學(xué)研究中不斷地產(chǎn)生出來(lái)，概率論也逐漸地由一個(gè)很窄小的主題發(fā)展成為一個(gè)寬廣并與數(shù)學(xué)中許多其他領(lǐng)域有重要聯(lián)系的分支。

柯?tīng)柲缏宸虻姆椒ㄊ菑母怕实囊恍┲饕再|(zhì)入手，這些性質(zhì)無(wú)36概率論公理化結(jié)構(gòu)的建立，在很大程度上是以下幾個(gè)因素影響的結(jié)果：古典概率論中悖論的出現(xiàn)；現(xiàn)代測(cè)度論的建立；概率論一般成果的積累；19世紀(jì)以來(lái)數(shù)學(xué)中的公理化運(yùn)動(dòng)的發(fā)展與深化概率論公理化結(jié)構(gòu)的建立，在很大程度上是以下幾個(gè)因素影響的結(jié)果37參考文獻(xiàn)：1.（美）H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史概論》，歐陽(yáng)絳譯，山西人民出版社，19862.（美）H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史上的里程碑》，歐陽(yáng)絳等譯，上?？茖W(xué)技術(shù)出版社，19903．吳文俊主編，《世界著名數(shù)學(xué)家傳記》（上下集），科學(xué)出版社，1995，20034.（美）E.T.貝爾，《數(shù)學(xué)精英》，徐源譯，商務(wù)印書(shū)館，19915.（美）M.克萊因，《西方文化中的數(shù)學(xué)》（1953），張祖貴譯，復(fù)旦大學(xué)出版社，20046．張堯庭，概率概念的發(fā)展和爭(zhēng)論─以及它對(duì)實(shí)踐的指導(dǎo)意義，鄧東皋等編《數(shù)學(xué)與文化》，北京大學(xué)出版社，19907．柳延延，《概率與決定論》，上海社會(huì)科學(xué)院出版社，19968.（美）J.L.福爾克斯，《統(tǒng)計(jì)思想》，魏宗舒、呂乃剛譯，上海翻譯出版公司，19879.（美）C.R.勞，《統(tǒng)計(jì)與真理——怎樣運(yùn)用偶然性》，科學(xué)出版社，200410．高慶豐，《歐美統(tǒng)計(jì)學(xué)史》，中國(guó)統(tǒng)計(jì)出版社，198711．周述岐，《數(shù)學(xué)思想史和數(shù)學(xué)哲學(xué)》，中國(guó)人民大學(xué)出版社，1993參考文獻(xiàn)：1.（美）H.伊夫斯，《數(shù)學(xué)史概論》，歐陽(yáng)絳譯，山38一、前史～～概率論的醞釀（16世紀(jì)前后的兩百余年間）

概率的數(shù)學(xué)理論是由于研究一些有關(guān)機(jī)遇現(xiàn)象而產(chǎn)生的，典型的例子是賭博、游戲中的問(wèn)題。在公元前2000年的埃及古墓中，已有正立方體的骰子，在古代的游戲與賭博活動(dòng)中就有概率思想的雛形。但概率論作為一門(mén)學(xué)科，則醞釀?dòng)?6世紀(jì)前后的兩百余年間。它產(chǎn)生的原因雖然是多方面的，但主要是由于當(dāng)時(shí)保險(xiǎn)業(yè)的產(chǎn)生與發(fā)展以及賭博業(yè)的盛行。一、前史～～概率論的醞釀（16世紀(jì)前后的兩百余年間）概率的39

在這一時(shí)期，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對(duì)賭博中的問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣，其中以帕喬利、卡爾達(dá)諾為代表。

在這一時(shí)期，相當(dāng)多的數(shù)學(xué)家對(duì)賭博中的問(wèn)題產(chǎn)生濃厚的興趣，40帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利）

1494年《算術(shù)，幾何，比及比例全書(shū)》——賭博中斷問(wèn)題：兩個(gè)賭徒相約賭若干局，雙方各拿出相同數(shù)量的賭金，誰(shuí)先勝s局誰(shuí)就贏得全部賭金。但是，當(dāng)一個(gè)賭徒勝a局（a＜s），另一個(gè)勝b局（b＜s）時(shí)，賭博因故中斷，問(wèn)應(yīng)該如何分配賭金。

帕喬利(L.Pacioli，約1445～1517，意大利41卡爾達(dá)諾(G.Cardano，1501～1576，意大利)。

《賭博之書(shū)》(1539，出版于1663)：對(duì)賭博中斷問(wèn)題的繼續(xù)討論；

點(diǎn)問(wèn)題：擲兩顆或三顆骰子時(shí)在一切可能的方法中有多少種方法得到某一總點(diǎn)數(shù)；大數(shù)定律的雛形：在拋擲硬幣的試驗(yàn)中，每次出現(xiàn)正面或反面雖屬偶然，但在大量重復(fù)試驗(yàn)中，出現(xiàn)正面（對(duì)稱(chēng)地，出現(xiàn)反面)的頻率卻必然地接近于定數(shù)1／2

；在n次獨(dú)立事件中，如果事件本身的概率是p，那么它連續(xù)發(fā)生n次的概率是p的n次方

卡爾達(dá)諾(G.Cardano，1501～1576，意大利42二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展～～古典概率論/組合概率時(shí)期（17－18世紀(jì)）從17世紀(jì)中期概率論的產(chǎn)生到18世紀(jì)末，約一個(gè)半世紀(jì)的時(shí)間里，概率論主要以計(jì)算各種古典概率問(wèn)題為中心發(fā)展著，因而將其稱(chēng)為古典概率時(shí)期；由于這個(gè)時(shí)期的概率論主要以組合論為工具，所以也稱(chēng)為組合概率時(shí)期。

二、概率論的創(chuàng)立與發(fā)展～～古典概率論/組合概率時(shí)期（17－143

這一時(shí)期的代表人物有：帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯、雅各·伯努利、德·莫弗爾、貝葉斯

這一時(shí)期的代表人物有：帕斯卡、費(fèi)爾馬、惠更斯、雅各·伯努利44帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國(guó)）

費(fèi)爾馬（P.deFermat，1601～1665，法國(guó)）

二人關(guān)于賭博中斷問(wèn)題研究的通信，不僅有關(guān)于這個(gè)問(wèn)題的不同解法，還從對(duì)一些特殊問(wèn)題的解答中歸納出了一批范圍廣泛的結(jié)論，并且在一定程度上揭示了一般方法，這些工作標(biāo)志著作為一門(mén)數(shù)學(xué)分支的概率論的誕生。帕斯卡（B.Pascal，1623～1662，法國(guó)）

費(fèi)爾馬45惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)

《論賭博中的推理》(1657)——第一篇關(guān)于概率論的正式論文數(shù)學(xué)期望：如果p表示一個(gè)人獲得一定金額s的概率，則sp稱(chēng)為他的數(shù)學(xué)期望。

惠更斯(C.Huygens，1629～1695，荷蘭)46雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～1705，瑞士）

《猜度術(shù)》（出版于1713年）——“把概率論建立在穩(wěn)固數(shù)學(xué)基礎(chǔ)上的首次認(rèn)真的嘗試”：①關(guān)于惠更斯《論賭博中的推理》的一個(gè)精彩評(píng)注②對(duì)排列組合理論的深入研究③將排列組合理論運(yùn)用于概率論④概率論在法律和經(jīng)濟(jì)等問(wèn)題上的應(yīng)用⑤伯努利大數(shù)定律(大數(shù)定律的最早形式)，這是占據(jù)《猜度術(shù)》全書(shū)中心位置的結(jié)果，被稱(chēng)為“主命題”，是概率論中的第一個(gè)極限定理。雅各·伯努利考慮的是最簡(jiǎn)單的情形，即在整個(gè)試驗(yàn)序列中，某個(gè)給定事件出現(xiàn)的概率始終保持為常數(shù)雅各·伯努利（JacobBernoulli，1654～147德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國(guó))

《論抽簽的原理》(1711年發(fā)表于《哲學(xué)學(xué)報(bào)》)；《機(jī)會(huì)論》(1718，1738，1756)：在對(duì)持續(xù)賭博問(wèn)題的研究上取得了明顯的進(jìn)步，給出了較清晰的組合公式，使用了不同的方程，用循環(huán)序列來(lái)解決問(wèn)題，并且在用正態(tài)逼近來(lái)說(shuō)明問(wèn)題時(shí)使用了函數(shù)，成為拉普拉斯用分析方法研究概率論的先導(dǎo)。；《分析雜論》(1730)：正態(tài)分布德·莫弗爾(DeMoivre，1667～1754，法國(guó))48貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)

1763Anessaytowardssolvingaprobleminthedoctrineofchances：⑴將概率的概念和推理的方法、公式，擴(kuò)展和提高為處理一般科學(xué)問(wèn)題的原理；⑵給出了著名的貝葉斯公式；⑶提出了貝葉斯假設(shè)貝葉斯(ThomasBayes，1702～1761)149

在書(shū)中貝葉斯給出了概率的定義：“任一事件的概率是這樣的比值：一個(gè)是由于這一事件發(fā)生應(yīng)計(jì)算的期望的值，一個(gè)是會(huì)發(fā)生的事情的相應(yīng)的值。機(jī)會(huì)（chance）我認(rèn)為就是概率。”在書(shū)中貝葉斯給出了概率的定義：50幾個(gè)重要的問(wèn)題逆概率（inverseprobability）彼得堡悖論Bernoulli-Euler關(guān)于裝錯(cuò)信封的問(wèn)題秘書(shū)問(wèn)題布豐（Buffon）投針問(wèn)題（1777）

幾個(gè)重要的問(wèn)題逆概率（inverseprobability51

今天看來(lái)，概率論最初考慮的問(wèn)題，其樣本空間(這一概念是德國(guó)數(shù)學(xué)家馮·米澤斯(vonMisses)于1931年提出的。)都是由有限個(gè)元素構(gòu)成的。隨著概率論的發(fā)展，這種樣本空間的局限性越來(lái)越明顯。把等可能性思想發(fā)展到包含無(wú)窮多個(gè)元素的樣本空間，就產(chǎn)生了幾何概率。將概率的古典定義與幾何定義稍作比較就會(huì)發(fā)現(xiàn)，在古典定義里，只有不可能事件的概率才是０，而在幾何定義中，概率０的事件未必是不可能的今天看來(lái)，概率論最初考慮的問(wèn)題，其樣本空間(這一概念是德52三、概率論的發(fā)展～～分析概率論（18世紀(jì)末——19世紀(jì)末）從18世紀(jì)末到19世紀(jì)末的約一個(gè)世紀(jì)的時(shí)間里，在概率論的研究中引入了母函數(shù)與特征函數(shù)的概念，并逐漸引進(jìn)了已經(jīng)成熟的分析工具，特別是高斯和拉普拉斯等人建立的關(guān)于“正態(tài)分布”以及“最小二乘法”的理論對(duì)于用概率論研究天文觀測(cè)、大地測(cè)量和物理觀測(cè)的結(jié)果起了重大作用，使概率論的發(fā)展進(jìn)入了一個(gè)新的時(shí)期——分析概率時(shí)期。三、概率論的發(fā)展～～分析概率論（18世紀(jì)末——19世紀(jì)末）從53

這一時(shí)期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國(guó)彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）等人這一時(shí)期代表人物有：高斯、拉普拉斯、泊松、俄國(guó)彼得堡54高斯(Gauss，1777-1855)

《最小二乘法的誤差理論的基礎(chǔ)》：對(duì)觀測(cè)天體及進(jìn)行大地測(cè)量時(shí)的誤差問(wèn)題進(jìn)行了研究，導(dǎo)出了誤差函數(shù)。設(shè)誤差為X，則誤差的分布就是今天所說(shuō)的正態(tài)分布。因此，后人又稱(chēng)正態(tài)分布為高斯分布高斯(Gauss，1777-1855)《最小二乘法的誤差55拉普拉斯(Laplace，1749－1827）

《概率的分析理論》（1812）：對(duì)概率論早期成果的系統(tǒng)總結(jié)；首次明確給出了概率的古典定義；在概率論中引入了差分方程、母函數(shù)等強(qiáng)有力的分析工具，從而實(shí)現(xiàn)了概率論由單純的組合計(jì)算到分析方法的過(guò)渡。拉普拉斯(Laplace，1749－1827）《概率的56

概率的古典定義：在某組條件(S)下進(jìn)行試驗(yàn)，一共有N個(gè)兩兩互不相容而等可能的結(jié)果(基本事件）發(fā)生，其中M個(gè)是適合事件A的結(jié)果，那么A的[古典]概率是P(A)＝M／N.這個(gè)定義實(shí)際上是把概率概念化為事件的等可能性，而把計(jì)算概率的問(wèn)題歸結(jié)為組合問(wèn)題。雖然直到拉普拉斯才明確給出了這個(gè)定義，但可以認(rèn)為，早在概率論的初創(chuàng)階段其基本思想已經(jīng)以某種形式為人們所默認(rèn)。概率的古典定義：在某組條件(S)下進(jìn)行試驗(yàn)，一共有N個(gè)57

從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀(jì)，“等可能性”一直是一個(gè)基本而核心的概念，它指的是每個(gè)簡(jiǎn)單事件具有相同的概率。人們對(duì)這一性質(zhì)的認(rèn)識(shí)經(jīng)歷了相當(dāng)曲折的過(guò)程，最終用概率測(cè)度概念取代了它。

從概率論的初創(chuàng)階段直到19世紀(jì)，“等可能性”一直是一個(gè)基本58

概率的古典定義有著不可克服的缺點(diǎn)，首先，“等可能性”并不總是容易判斷的；其次，當(dāng)基本事件的總數(shù)不是有限的時(shí)，古典定義也無(wú)法適用。為了克服第二個(gè)缺點(diǎn)，18世紀(jì)時(shí)引入了概率的幾何定義，但這一定義仍然依賴(lài)于等可能性，從而不能克服第一個(gè)缺點(diǎn)。

概率的古典定義有著不可克服的缺點(diǎn)，首先，“等可能性”并不總59泊松(Poisson，1781——1840)

《關(guān)于刑事案件和民事案件審判概率的研究》(1837)引入泊松分布推廣大數(shù)定律泊松(Poisson，1781——1840)60彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫(Tschebyscheff，1821-1894）：在一系列研究中切比雪夫首先引入并提倡使用的隨機(jī)變量概念，后來(lái)成為概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)中最重要的概念。建立了切比雪夫不等式，證明了泊松形式大數(shù)定律，建立了有關(guān)獨(dú)立隨機(jī)變量序列的大數(shù)定律并對(duì)隨機(jī)變量和收斂到正態(tài)分布的條件，即中心極限定理進(jìn)行討論。

彼得堡學(xué)派（切比雪夫、馬爾科夫、李雅普諾夫）切比雪夫61

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨(dú)立隨機(jī)變量和古典極值理論的研究，從而改進(jìn)和完善了大數(shù)定律和中心極限定理，對(duì)相依隨機(jī)變量序列的研究，創(chuàng)立了以他命名的著名的概率模型—馬爾科夫鏈。李雅普諾夫(A.Liapounoff，1857～1918)利用特征函數(shù)方法，對(duì)一類(lèi)相當(dāng)廣泛的獨(dú)立隨機(jī)變量序列證明了中心極限定理。他還利用這一定理第一次科學(xué)地解釋了實(shí)際中遇到的許多隨機(jī)變量近似地服從正態(tài)分布。

馬爾科夫(Markov，1856～1922)：致力于獨(dú)62貝特朗(Bertrand)悖論(1889)

在圓內(nèi)任作一弦，求其長(zhǎng)度超過(guò)圓內(nèi)接正三角形邊長(zhǎng)的概率，按不同的解法可得1/2、1/3、1/4。其所以產(chǎn)生悖論，是由于在這一問(wèn)題中未給出“任意作一弦”這個(gè)概念明確的定義。最本質(zhì)的，是對(duì)“等可能性”的概念的不同規(guī)定，從而造成了計(jì)算結(jié)果的不同。實(shí)際上，當(dāng)一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有無(wú)窮多個(gè)可能的結(jié)果時(shí)，有時(shí)很難客觀地規(guī)定“等可能”這一直觀概念。

貝特朗(Bertrand)悖論(1889)在圓內(nèi)任作63

拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎(chǔ)十分脆弱，對(duì)于事件的概率定義及運(yùn)算都要用到“等可能性”概念，而在一個(gè)具體問(wèn)題上還需要考察有多少等可能的情形。貝特朗悖論的出現(xiàn)表明了直觀的、經(jīng)驗(yàn)性的概率概念的本質(zhì)缺陷，對(duì)建立概率論的嚴(yán)密邏輯基礎(chǔ)提出了要求。拉普拉斯建立的古典概率理論的邏輯基礎(chǔ)十分脆弱，對(duì)于事件的64四、概率論的公理化～～現(xiàn)代概率時(shí)期（20世紀(jì)）

拉普拉斯(Laplace)所給出的古典先驗(yàn)概率定義雖然在整個(gè)19世紀(jì)被廣泛接受，但是由于他未能進(jìn)一步探討這一理論及其應(yīng)用的基礎(chǔ)從而缺少數(shù)學(xué)的嚴(yán)密性，所以1920年以前的概率論從整體上看是相當(dāng)混亂的，甚至象龐加萊（Poincare)和波萊爾(EmileBorel，1871～1956）這樣的大數(shù)學(xué)家也沒(méi)能在令人滿意的基礎(chǔ)上給出相應(yīng)的嚴(yán)密理論。四、概率論的公理化～～現(xiàn)代概率時(shí)期（20世紀(jì)）拉普拉斯(65

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個(gè)公理化體系。***

1917年，С.Н.伯恩斯坦提出了概率論的第一個(gè)公理化體66主觀學(xué)派英