略談添加輔助線的原理和技巧

略談輔助線的添加原理與技巧幾何問題是困擾學(xué)生的一大難題，尤其是需要添加輔助線的幾何問題.科學(xué)、準(zhǔn)確地引導(dǎo)學(xué)生添加每一條輔助線，能幫助學(xué)生揭開輔線線的神秘面紗，攻克幾何難題.1.把握基本圖形是科學(xué)添加輔助線的前提（1）把握基本圖形的特征.初中幾何問題是由有限的幾種基本圖形演繹而來.學(xué)生只有熟悉了基本圖形組成的線條及其條件和結(jié)論的特征，把握了基本圖形的總體輪廓，就能在解決幾何問題時聯(lián)想到科學(xué)合理的輔助線.一個定理、概念就有一個基本圖形.在概念和定理的教學(xué)中教師不必過于追究文字的描述，而應(yīng)突出其基本圖形的特征，把定理的條件和結(jié)論直觀地表述在圖形中，使之成為一個整體，成為基本圖形的符號標(biāo)志，通過觀察圖形，培養(yǎng)學(xué)生的視覺美感.教師還可以給基本圖形取一個直觀的名字，便于學(xué)生記憶，如雙垂圖（如圖 1）、角平分線圖（如圖2）、垂直平分線圖（如圖3）等等，也有利于學(xué)生把握基本圖形的特征.（2）關(guān)注基本圖形的變形幾何定理和概念描述的是具有某些共同屬性的幾何圖形所具有的共同的性質(zhì).組成這些圖形的線條和基本條件相同，但線條的位置和長度卻千變?nèi)f化.在概念和定理教學(xué)中，圖圖圖5教師要對基本圖形的位置和形狀進行各種變式訓(xùn)練.如遇到涉及角的圖形要畫出銳角、直角、鈍角的各種變式讓學(xué)生辨認，不斷變換角度大小、幾何元素間的相互位置，對一個基本圖形作翻折、旋轉(zhuǎn)等變化，讓學(xué)生從各個角度去認識圖形，提高學(xué)生對圖形的欣賞、鑒別能力.如圖4就是三合一圖的三種不同形狀，各種形狀還可以變化出各種不同位置的圖形.(3)學(xué)會幾何圖形的分解.幾何圖形由若干基本圖形組成.把一個幾何圖形分解為基本圖形是解決幾何問題的關(guān)鍵.在分析過程中，可用不同顏色的筆勾畫出基本圖形，也可把基本圖形從復(fù)雜圖形中抽出來，如圖5可分解為角平分線圖(圖6(1))、等腰三角形圖(圖6(2))、雙垂圖(圖6(3))三個基本圖形.

(1)(3)圖6(3)2.捕捉輔助線的信號是快捷添加輔助線的思維起點學(xué)生添加輔助線往往是盲目的、試探性的.究竟從哪里入手添加輔助線才既快捷又準(zhǔn)確？(1)從題設(shè)入手添加輔助線題設(shè)是添加輔助線的第一信號來源.為了應(yīng)用已知條件，必須把條件涉及的幾何元素歸到基本圖形中，如果基本圖形不全，就要添加輔助線，構(gòu)成完整的基本圖形.例1如圖7,AABCJ^,M是BCW中點，AD是/A的平分線,BDLAQ垂足為D,AB=12,AG=18,求DM勺長.分析：本題有非常明顯的圖形特征：AD是/A的平分線，BDLAD自然聯(lián)想起三合一圖，從而延長BDD與AC相交于點N.這條輔助線的思維起點就是題目中的題設(shè)條件.從題設(shè)出發(fā)添加輔助線的情況很多，如在梯形中已知兩腰的關(guān)系,可以平移腰；在圓中已知直徑，可以作出直徑所對的圓周角等.(2)從結(jié)論入手添加輔助線結(jié)論是添加輔助線的第二信號來源.通過添加輔助線可以把結(jié)論涉及的幾何元素還原到基本圖形中，或者讓基本圖形顯現(xiàn)出來.例2如圖8,△ABGt\/B=2/C,AD為BC邊上的高，點E12(2)12(2)分析：本題常用的輔助線有兩種：取AC的中點G點，連結(jié)EGDG(如圖9(1));取AB的中點F,連結(jié)EFDF(如圖9(2)),添加這兩種輔助線的出發(fā)點都來自題目的結(jié)論.例3例3如圖10,E、F分別為正方形ABCD］邊BCCD上的點,/EA=45,求證：EF=BEfDF圖11圖10圖11圖10分析：本題的常規(guī)輔助線是延長CB到點G,使BGFQ這樣添加的出發(fā)點就是題目的結(jié)論：EF=BEhDF根據(jù)題目結(jié)論涉及的線段或角尋找基本圖形，通過添加輔助線讓這些幾何元素歸位“回家”是一般的思考模式.(3)兩者兼顧，才是科學(xué)的選擇從題設(shè)入手添加輔助線方便進行綜合推理，但不一定就能完成推理；從結(jié)論入手添加輔助線易于進行逆向分析，但不一定就能完成證明.二者兼顧，才是科學(xué)的選擇.例4如圖11,在梯形ABC葉，AB//CD/A+/B=90,MN分別是DCAB的中點.求證：MN=1(AB-CD).(1) (2)(3)圖12分析：本題若從已知條件出發(fā)，第一方案就是延長A/口BC構(gòu)建直角三角形(如圖12(1)),可是這樣對處理MN=1(AB-CD)是不明朗的；第二個方案就是平移梯形的腰(如圖12(2)),集中聚攏/A和/B,也形成了AB-CD,可是此方案沒有聯(lián)系題目中的中點條件.所以需要同時平移梯形的腰ADBC(如圖12(3)),這樣既能考慮題設(shè)條件，也能兼顧結(jié)論.例5如圖13,M為正方形ABCD邊AB的中點，E是AB延長線上的一點，MN_LDM,且交NCBE的平分線于N.求證：MD=MN.圖13

分析：在本題的解答過程中，大部分學(xué)生過點 N作NF,BE,然后證明△DAMPz\MFN最終沒能成功.原因是這條輔助線沒有利用題設(shè)中的中點條件.如果取AD的中點G連接MG這樣就能兩者兼顧,從而順利解決問題..掌握輔助線的添加原則是合理添加輔助線的依據(jù)(1)難點優(yōu)先添加輔助線可以化繁為簡，化難為易，所以優(yōu)先處理題中繁難的式子，可以將其抽象出基本圖形.例6如圖14(1),△AB8,AB=AQD為AABC#一點，且/ABD60,AB=B?CD圖14(1) 圖14(2)/ABD60,AB=B?CD圖14(1) 圖14(2)圖15(1)圖15(2)分析：本題添加輔助線有兩個難點：一是NADB去gBDC,二是AB=BC+CD基于“難點優(yōu)先”的原則，想到了作這樣的輔助線:延長ADffi延長BD至點E,使DEC說樣的輔助線(如圖14(2)).(2)結(jié)論優(yōu)先添加輔助線的最終目的是證明結(jié)論，從題設(shè)出發(fā)添加輔助線往往有多種可能，并不是每一條都能很快得到命題的結(jié)論，故通常優(yōu)先考慮根據(jù)結(jié)論添加輔助線.例7如圖15(1),BC為半圓。的直徑，F(xiàn)是半圓上異于BC的一點，A是BF的中點，ADLBC垂足為D,與BF相交于點E.求證：BE-BF=BD?BC分析：本題若從題設(shè)出發(fā)，考慮添加的輔助線就是由直徑構(gòu)建直徑所對的圓周角，可連結(jié)ABAC或連結(jié)FG但是選擇連結(jié)ABAC并不能出現(xiàn)與結(jié)論有關(guān)的線段.考慮到構(gòu)造與結(jié)論 BE-BF=BD-BC有關(guān)的線段比例關(guān)系，我們可選擇連結(jié)FC(如圖15(2)).(3)能不分就不分有些輔助線添加后，會把圖中的線段或角分割成幾部分，這樣對線段或角的處理就比較麻煩，一般的原則是“能不分就不分”.再談前面例3的輔助線作法，一些學(xué)生會試作AGLEF如圖16),然后試圖證明BE=EGDF=GF看上去這是個不錯的選擇，可是難以證明.這是因為輔助線AG把/EAF分成了兩部分，不便于應(yīng)用條件/EAF=45.

圖16圖16圖17圖18再看例4中圖12(2)的輔助線，正是因為把線段MN^成了兩條線段，而這兩條線段又不能獨立處理，所以證明就難以進行.(4)能“天然”不“人為”輔助線具有構(gòu)造圖形的功能，常見的有構(gòu)造線段或角的和差倍分、新的三角形、直角三角形、等腰三角形等.這些構(gòu)造有些是人為得，有些是通過作平行線、作垂線或直接延長相交而得(姑且稱之為“天然”).通常情況下，我們能“天然”不“人為”.例8如圖17,梯形ABC沖，AD//BC點E、F分別為腰AB和腰CD勺中點，求證：EF//BCEF/(BC+AD).2分析：本題的難點是對BC+AD的處理，若延長BC到點G,使得CGAD“人為”形成BC+AD,也是可以證明的.但這時候必須證明A、F、G三點共線，學(xué)生要么不會證明，要么就不證明.所以本題還是延長ARBC相交于點G“天然”形成BC+AD,比較易于問題的解決..吃透輔助線的靈魂實質(zhì)，應(yīng)對千變?nèi)f化的幾何問題例9如圖18,△ABC勺角平分線AD交BC邊于D,E為BC上一點，且DE=DC過E點作EF//AB交ADT點F,求證：EF=AC本題輔助線的作法：延長AD到點G使DGAQ連結(jié)EG或延長AD8U點H,使DHDF,連結(jié)CH

圖21BGCA DA圖21BGCA DA20例10如圖19,MN分別為正方形ABCD］邊A/口AB例10連結(jié)CMDNf交于點P,連結(jié)BP；求證：BP=BC本題輔助線的作法：延長DN交CBW延長線于點Q例11如圖20,梯形ABC碑，AD//BC點E、F分別為對角線ACBD的中點，求證：EF//BCef=-（bc-ad2本題輔助線的作法：連結(jié)DF并延長，與BC相交于G點.這幾個問題的圖形各不相同，添加的線條和添加的方式也不一樣,研究發(fā)現(xiàn)所構(gòu)建的基本圖形一樣（如圖21）.從本質(zhì)上來說屬于“倍長中線”.“倍長中線”是一種較為常見的添加輔助線的方法，其作法是遇到中線就延長.可是這幾個問題中，沒有涉及中線，甚至沒有三角形，學(xué)生根本想不到“倍長中線”.其實，“倍長中線”的實質(zhì)是利用中點構(gòu)建全等三角形.這幾個幾何