考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))模擬試卷141

考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))模擬試卷141考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))模擬試卷141考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))模擬試卷141資料僅供參考文件編號(hào)：2022年4月考研數(shù)學(xué)三(線性代數(shù))模擬試卷141版本號(hào)：A修改號(hào)：1頁(yè)次：1.0審核：批準(zhǔn):發(fā)布日期：考研數(shù)學(xué)三（線性代數(shù)）模擬試卷141(總分：，做題時(shí)間：90分鐘)一、選擇題(總題數(shù)：4，分?jǐn)?shù)：1.選擇題下列每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)符合題目要求。（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________解析：2.設(shè)A、B均為n階非零矩陣，且AB=O，則A與B的秩()

（分?jǐn)?shù)：）

A.必有一個(gè)為零

B.均小于n

√

C.一個(gè)小于n，一個(gè)等于n

D.均等于n解析：解析：因A≠O，B≠O，故r(A)≥1，r(B)≥1．又AB=Or(A)＜n，否則r(A)=n，則A可逆，有A－1AB=O，即B=O，這與B≠O矛盾，故必有r(A)＜n，同理有r(B)＜n，故只有B正確．3.設(shè)有向量組α1=(1，－1，2，4)，α2=(0，3，1，2)，α3=(3，0，7，14)，α4=(1，－2，2，0)，α5=(2，－1，5，10)．則該向量組的極大無(wú)關(guān)組是()

（分?jǐn)?shù)：）

A.α1，α2，α3

B.α1，α2，α4

√

C.α1，α2，α5

D.α1，α2，α4，α5解析：解析：由下列矩陣的初等行變換：A=[α1T…α5T]知α1，α2，α4是一個(gè)極大無(wú)關(guān)組．或用排除法：因α3=3α1+α2．α5=2α1+α2，故A、C、D組都是線性相關(guān)的，因而只有B正確．4.設(shè)α1=(a1，a2，a3)T，α2=(b1，b2，b3)T，α3=(c1，c2，c3)T．則3條平面直線a1x+b1y+c1=0，a2x+b2y+c2=0，a3x+b3y+c3=0(其中ai2+bi2≠0，i=1，2，3)交于一點(diǎn)的充分必要條件是()

（分?jǐn)?shù)：）

A.α1，α2，α3線性相關(guān)

B.α1，α2，α3線性無(wú)關(guān)

C.秩r(α1，α2，α3)=秩r(α1，α2)

D.α1，α2，α3線性相關(guān)，而α1，α2線性無(wú)關(guān)

√解析：解析：題設(shè)3條直線交于一點(diǎn)聯(lián)立線性方程組xα1+yα2+α3=0有唯一解(x，y)T．由該非齊次線性方程組有唯一解(α1，α2)=r(α1，α2，－α3)=2α1，α2線性無(wú)關(guān)，而α1，α2，α3線性相關(guān)，即知D正確．注意C中的條件只保證了方程組有解，但不能保證解是唯一的，故C不對(duì)．二、填空題(總題數(shù)：5，分?jǐn)?shù)：5.

（分?jǐn)?shù)：）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：an+(－1)n+1+bn．）解析：6.設(shè)A=，B為3階非零矩陣，且AB=O，則t=1．

（分?jǐn)?shù)：）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：-3．）解析：解析：在條件下必有|A|=0(否則|A|≠0，則A可逆，用A－1左乘AB=O兩端，得B=O，這與B≠O矛盾)，t=－3．7.設(shè)矩陣B=，已知矩陣A相似于B，則秩(A－2E)與秩(A－E)之和等于1．

（分?jǐn)?shù)：）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：4．）解析：解析：由條件知存在可逆矩陣P，使P－1AP=B，P－1(A－2E)P=P－1AP－2E=B－2E，即A－2E與B－2E相似，故有r(A－2E)=r(B－2E)同理得r(A－E)=r(B－E)故r(A－2E)+r(A－E)=3+1=4．8.若向量組α1=(1，1，λ)T，α2=(1，λ，1)T，α3=(λ，1，1)T線性相關(guān)，則λ=1．

（分?jǐn)?shù)：）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：1或－2．）解析：解析：由行列式|α1α2α3|=－(λ－1)2(λ+2)=0，λ=1或λ=－2．9.設(shè)λ1，λ2為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣A的兩個(gè)不同特征值，x1為對(duì)應(yīng)于λ1的一個(gè)單位特征向量，則矩陣B=A－λ1x1x1T有兩個(gè)特征值為1．

（分?jǐn)?shù)：）填空項(xiàng)1:__________________

（正確答案：正確答案：0，λ2．）解析：解析：Bx1=Ax1－λ1x1(x1Tx1)=λ1x1－λ1x1=0=0x1，設(shè)x2是A屬于λ2的特征向量，則Bx2=Ax2－λ1x1(x1Tx2)=Ax2－λ1x10=Ax2=λ2x2，故B有特征值0和λ2．三、解答題(總題數(shù)：16，分?jǐn)?shù)：10.解答題解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。__________________________________________________________________________________________解析：11.設(shè)行列式已知1703，3159，975，10959都能被13整除，不計(jì)算行列式D，試證明D能被13整除．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：將D的第1列的1000倍、第2列的100倍、第3列的10倍都加到第4列，則所得行列式第4列每個(gè)元素都有公因子13．)解析：12.設(shè)矩陣A、B滿(mǎn)足關(guān)系式AB=A+2B，其中A=，求B．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：B=(A－2E)－1A)解析：設(shè)n階方陣A、B滿(mǎn)足A+B=AB．（分?jǐn)?shù)：）(1).證明：A－E為可逆矩陣；（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由AB－B－A=O，(A－E)B－(A－E)=E，(A－E)(B－E)=E，即知A－E可逆；)解析：(2).當(dāng)B=時(shí)，求A．（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：A=E+(B+E)－1(或A=B(B－E)－1))解析：13.已知3階方陣A=(aij)3×3的第1行元素為：a11=1，a12=2，a13=－1．(A*)T其中A*為A的伴隨矩陣．求矩陣A．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由(A*)T知A11=－7，A12=5，A13=4，|A|=a11A11+a12A12+a13A13=－1，又由AA*=|A|E=－E，A=－(A*)－1)解析：14.設(shè)向量組(Ⅰ)：α1，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)，且(Ⅰ)可由(Ⅱ)：β1，β2，…，βs線性表示．證明：在(Ⅱ)中至少存在一個(gè)向量βj，使得向量組βj，α2，…，αr線性無(wú)關(guān)．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：用反證法．否則對(duì)(Ⅱ)中每個(gè)向量βj，向量組βj，α2，…，αr都線性相關(guān)βj可由α2，…，αr線性表出(Ⅱ)可由α2，…，αr線性表出(Ⅰ)可由α2，…，αr線性表出α1可由α2，…，αr線性表出，這與(Ⅰ)線性無(wú)關(guān)矛盾．)解析：15.若齊次線性方程組Ax=0的解都是齊次線性方程組Bx=0的解，則有r(A)≥r(B)．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：設(shè)方程組Ax=0及Bx=0都是n元方程組，則由題設(shè)條件有n－r(A)≤n－r(B)，所以有r(A)≥r(B)．)解析：已知α1=(1，0，2，3)，α2=(1，1，3，5)，α3=(1，－1，a+2，1)，α4=(1，2，4，a+8)，β=(1，1，b+3，5)．（分?jǐn)?shù)：）(1).a、b為何值時(shí)，β不能表示成α1，α2，α3，α4的線性組合（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________正確答案：(正確答案：a=－1且b≠0．)解析：(2).a、b為何值時(shí)，β可表示成α1，α2，α3，α4的線性組合并寫(xiě)出該表示式．（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：當(dāng)a≠－1時(shí)，β可由α1，α2，α3，α4唯一地線性表示為：β=α3+0α4；當(dāng)a=－1且b=0時(shí)，β可由α1，α2，α3，α4線性表示為：β=(－2c1+c2)α1+(1+c1－2c2)α2+c1α3+c2α4(c1，c2為任意常數(shù))．)解析：16.設(shè)矩陣A、B的行數(shù)都是m，證明：矩陣方程AX=B有解的充分必要條件是r(A)=r(AB)．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：設(shè)B、X按列分塊分別為B=[b1b2…bp]．X=[x1x2…xp]，則AX=B，[Ax1Ax2…Axp]=[b1b2…bp]Axj=bj(j=1，2，…，p)，故AX=B有解Axj=bj(j=1，2，…，p)有解，故由非齊次線性方程組Axj=bj有解的充要條件可知，AX=B有解r(A)=r(Abj)(j=1，2，…，p)r(A)=r[Ab1b2…bp]=r[AB]．)解析：17.設(shè)α1，α2，…，αk(k＜n)是Rn中k個(gè)線性無(wú)關(guān)的列向量．證明：存在n階滿(mǎn)秩方陣P，使得P以α1，α2，…，αk為其前k列．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：取齊次線性方程組的基礎(chǔ)解系ξ1，…，ξn－k，則可證明α1，…，αk，ξ1，…，ξn－k線性無(wú)關(guān)：設(shè)λ1α1+…+λkαk+μ1ξ1+…+μn－kξn－k=0，兩端左乘(λ1α1+…+λkαk)T，并利用αiTξj=0(i=1，…，k；j=1，…，n－k)，得(λ1α1+…+λkαk)T(λ1α1+…+λkαk)=0，即‖λ1α1+…λkαk‖=0，λ1α1+…+λkαk=0，而α1，…，αk線性無(wú)關(guān)，λ1=…=λk=0，μ1ξ1+…+μn－kξn－k=0，又ξ1，…，ξn－k線性無(wú)關(guān)，μ1=…=μn－k=0，于是證得α1，…，αk，ξ1，…，ξn－k線性無(wú)關(guān)，令矩陣P=[α1…αkξ1…ξn－k]，則P為滿(mǎn)秩方陣，且以α1，…，αk為其前k列．)解析：設(shè)矩陣A=與矩陣B=相似．（分?jǐn)?shù)：）(1).求a，b的值；（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：A的特征值為2，2，b，由2+2+b=1+4+a，2×2×b=|A|=6(a－1)，a=5，b=6；)解析：(2).求一個(gè)可逆矩陣P，使P－1AP=B．（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：)解析：18.設(shè)A=，問(wèn)當(dāng)k為何值時(shí)，存在可逆矩陣P，使得P－1AP為對(duì)角矩陣并求出P和相應(yīng)的對(duì)角矩陣．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：由|λE－A|=(λ+1)2(λ－1)一0，得A的全部特征值為λ1=λ2=－1，λ3=1．故A可對(duì)角化A的屬于2重特征值λ1=λ2=－1的線性無(wú)關(guān)特征向量有2個(gè)方程組(－E－A)X=0的基礎(chǔ)解系含2個(gè)向量3－r(－E－A)=2r(－E－A)=0．當(dāng)k=0時(shí)，可求出A的對(duì)應(yīng)于特征值－1，－1；1的線性無(wú)關(guān)特征向量分別可取為α1=(－1，2，0)T，α2=(1，0，2)T；α3=(1，0，1)T，故得)解析：19.設(shè)矩陣A=，B=P－1A*P，求B+2E的特征值和特征向量，其中A*為A的伴隨矩陣，E為3階單位矩陣．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：B+2E的特征值為λ1=λ2=9，λ3=3．對(duì)應(yīng)于特征值9的全部特征向量為k1(－1，1，0)T+k2(－2，0，1)T；對(duì)應(yīng)于特征值3的全部特征向量為k3(0，1，1)T．)解析：20.求一個(gè)正交變換，化二次型f(x1，x2，x3)=x12+4x22+4x32－4x1x2+4x1x3－8x2x3成標(biāo)準(zhǔn)形．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：化f成f=9y32．)解析：21.設(shè)λ1、λn分別為n階實(shí)對(duì)稱(chēng)矩陣的最小、最大特征值，X1，Xn分別為對(duì)應(yīng)于λ1、λn的特征向量，記f(X)=XTAX／XTX，X∈Rn，X≠0證明：λ1≤f(X)≤λn，maxf(X)=λn=f(Xn)，minf(X)=λ1=f(X1)．

（分?jǐn)?shù)：）__________________________________________________________________________________________

正確答案：(正確答案：存在正交變換X=PY(P為正交矩陣，Y=(y1，y2…，yn)T)，使得XTAXλ1y12+…+λnyn2≤λn(y12