三角函數(shù)的應(yīng)用論文Word版

整理為word格式整理為word格式整理為word格式三角函數(shù)的廣泛應(yīng)用摘要：三角函數(shù)在歷史長(zhǎng)河的沉淀中，不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中得重點(diǎn)難點(diǎn)，更是我們實(shí)際生活中不可缺少的元素。我從三角函數(shù)的發(fā)展以及生活實(shí)際應(yīng)用舉例兩方面來(lái)研究三角函數(shù)與實(shí)際生活的緊密聯(lián)系，突出三角函數(shù)應(yīng)用的廣泛性。關(guān)鍵詞：三角函數(shù)三角函數(shù)的應(yīng)用經(jīng)過(guò)數(shù)學(xué)歷史的長(zhǎng)河的沉淀，科學(xué)研究的進(jìn)步，實(shí)際生活的操作。三角函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用在生活中有著不可取代的地位。三角函數(shù)可以計(jì)算三角形（通常為直角三角形）中未知長(zhǎng)度的邊和未知的角度，在導(dǎo)航系統(tǒng)，工程學(xué)以及物理學(xué)方面都有廣泛的用途；有許多周期現(xiàn)象可以用三角函數(shù)來(lái)模擬如物理中簡(jiǎn)諧振動(dòng)、交流電中的電流、潮汐等，都可以建立三角函數(shù)的模型利用三角函數(shù)的性質(zhì)解決有關(guān)問(wèn)題；很多最值問(wèn)題都可以轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)來(lái)解決，如天氣預(yù)報(bào)、建筑設(shè)計(jì)、航海、測(cè)量、國(guó)防中都能找到神奇的三角函數(shù)的影子。三角函數(shù)的形成與發(fā)展三角學(xué)由起源迄今差不多經(jīng)歷了三﹑四千年之久的發(fā)展，現(xiàn)今使用的三角函數(shù)發(fā)展于歐洲的中世紀(jì)時(shí)期。在古代，由于古代天文學(xué)的需要，為了計(jì)算某些天體的運(yùn)行行程問(wèn)題，需要解一些球面三角形，在解球面三角形時(shí)，往往把解球面三角形的問(wèn)題歸結(jié)成解平面三角形，這些問(wèn)題的積累便形成了所謂古代球面三角學(xué)﹑古代平面三角學(xué)。隨著認(rèn)識(shí)到相似三角形在它們的邊之間保持相同的比率，就有了在三角形的邊的長(zhǎng)度和三角形的角之間應(yīng)當(dāng)有某種標(biāo)準(zhǔn)的對(duì)應(yīng)的想法。就是說(shuō)對(duì)于任何相似三角形，（比如）斜邊和剩下的兩個(gè)邊的比率都是相同的。如果斜邊變?yōu)閮杀堕L(zhǎng)，其他邊也要變?yōu)閮杀堕L(zhǎng)。三角函數(shù)表達(dá)的就是這些比率。三角函數(shù)在數(shù)學(xué)中屬于初等函數(shù)里的超越函數(shù)的一類(lèi)函數(shù)。它們本質(zhì)上是任意角的集合與一個(gè)比值的集合的變量之間的映射。由于三角函數(shù)具有周期性，所以并不具有單射函數(shù)意義上的反函數(shù)。歐拉的《無(wú)窮微量解析入門(mén)》（IntroductioninAnalysisInfinite）（1748年）對(duì)建立三角函數(shù)在歐洲的分析處理做了最主要的貢獻(xiàn)，他定義三角函數(shù)為無(wú)窮級(jí)數(shù)，并表述了歐拉公式，還有使用接近現(xiàn)代的簡(jiǎn)寫(xiě)sin、cos.、tang.、cot.、sec.和cosec.。三角函數(shù)與生活通訊電纜鋪設(shè)問(wèn)題ACDBθ如圖，一條河寬km，兩岸各有一座城市的直線(xiàn)距離是4km，今需鋪設(shè)一條電纜連與ACDBθ整理為word格式整理為word格式整理為word格式分析：設(shè)電纜為時(shí)費(fèi)用最少，因?yàn)楹訉挒槎ㄖ?，為了表示的長(zhǎng)，不妨設(shè)解：設(shè)，則,∴總費(fèi)用為=問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求的最小值及相應(yīng)的θ值，而表示點(diǎn)與點(diǎn)斜率的－2倍，有圖可得在單位圓周上運(yùn)動(dòng)，當(dāng)直線(xiàn)與圓弧切于點(diǎn)時(shí)，u取到最小值。此時(shí)，∴，。即水下電纜應(yīng)從距B城（－）km處向城鋪設(shè)，圖三因此此時(shí)總費(fèi)用達(dá)最小值2+2（萬(wàn)元）。注：本題在求u的最小值時(shí)，除了利用數(shù)結(jié)合的方法外，還可以利用三角函數(shù)的有界性等方法。測(cè)量問(wèn)題情景一：如圖，設(shè)A、B兩點(diǎn)在河的兩岸，要測(cè)量?jī)牲c(diǎn)之間的距離，測(cè)量者在A的同側(cè)，在所在的河岸邊選定一點(diǎn)C測(cè)出A、C的距離是55m,∠BAC=51°∠ACB=75°，球A、B兩點(diǎn)的距離。分析：這是關(guān)于測(cè)量從一個(gè)可到達(dá)的點(diǎn)到一個(gè)不可到達(dá)的點(diǎn)之間的距離的情景問(wèn)題，情景中條件告訴了邊AB的對(duì)角AC為已知邊，再根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理很容易根據(jù)兩個(gè)已知角算出AC的對(duì)角，應(yīng)用正弦定理算出AB邊。解：根據(jù)正弦定理，得整理為word格式整理為word格式整理為word格式所以A,B兩點(diǎn)間的距離為65.7米。情景二：某學(xué)校宏志班的同學(xué)們五一期間去雙塔寺觀賞牡丹，同時(shí)對(duì)文宣塔的高度進(jìn)行了測(cè)量，如圖2，他們先在A處測(cè)得塔頂C的仰角為30°；再向塔的方向直行80步到達(dá)B處，又測(cè)得塔頂C的仰角為60°，請(qǐng)用以上數(shù)據(jù)計(jì)算塔高。（學(xué)生的身高忽略不計(jì)，1步=0.8m，結(jié)果精確到1m）C圖2DABC圖2DAB分析：要求塔高CD，在Rt△BDC中求，∠CBD=60°，需求BD或BC，因?yàn)椤螪BC=∠A+∠BCA,所以∠BCA=30°，所以BC=AB=80解：過(guò)C作CD⊥AB于點(diǎn)D則∠CDA=90°，∠A=30°，∠CBD=60°∵∠CBD=∠A+∠ACB∴∠A=∠ACB=30°∵AB=80步，1步=0.8m∴BC=AB=80步=64m在Rt△BCD中，CD=BC×sin∠CBD=64×≈54（m）所以，文宣塔高約為54m。航海危險(xiǎn)區(qū)域預(yù)測(cè)問(wèn)題一艘漁船正以30海里／小時(shí)的速度由西向東追趕魚(yú)群，在A處看見(jiàn)小島C在船的北偏東600方向，40分鐘后，漁船行至B處，此時(shí)看見(jiàn)小島C在船的北偏東300方向，已知以小島C為中心周?chē)?0海里以?xún)?nèi)為我軍導(dǎo)彈部隊(duì)軍事演習(xí)的著彈危險(xiǎn)區(qū)，問(wèn)這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群，是否有進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域的可能？分析：此情景如圖例3可先找出小島C與航向(直線(xiàn)AB)的距離，再與10海里進(jìn)行比較得出結(jié)論．解：過(guò)C作AB的垂線(xiàn)CD交AB的延長(zhǎng)線(xiàn)于點(diǎn)D∵，∴，∴整理為word格式整理為word格式整理為word格式∴∵＞10∴這艘漁船繼續(xù)向東追趕魚(yú)群不會(huì)進(jìn)入危險(xiǎn)區(qū)域．足球射門(mén)問(wèn)題GEPCFBAD在訓(xùn)練課上，教練問(wèn)左前鋒，若你得球后，沿平行于邊線(xiàn)的直線(xiàn)助攻到前場(chǎng)（如圖，設(shè)球門(mén)寬米，球門(mén)柱到的距離米），那么你推進(jìn)到距底線(xiàn)多少米時(shí)，為射門(mén)的最佳位置？（即射門(mén)角最大時(shí)為射門(mén)的最佳位置）？請(qǐng)你幫助左前鋒回答上述問(wèn)題。GEPCFBAD分析：情景中要求射門(mén)的最佳位置，即只要當(dāng)射門(mén)角最大時(shí)為最佳位置。所以設(shè)角后“求解角”的過(guò)程是本題的關(guān)鍵。若直接在非特殊中利用邊來(lái)求的最值，顯得比較繁瑣，注意到，而后兩者都在中，故可應(yīng)用直角三角形的性質(zhì)求解。解：如圖，設(shè)，,,=。若令，則=，當(dāng),即時(shí)，取到最小值，從而可知時(shí)，取得最大值，即時(shí)，有最大值。故當(dāng)點(diǎn)距底線(xiàn)為米時(shí)，為射門(mén)的最佳位置。依圖像知，在白天的9—15時(shí)這個(gè)時(shí)間段可供沖浪愛(ài)好者進(jìn)行沖浪運(yùn)動(dòng)。通過(guò)生活中的例子我們可以體會(huì)到三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大。歷經(jīng)歷史長(zhǎng)河的沉淀，三角函數(shù)不僅是科學(xué)研究的重要組成部分，還是實(shí)際生活應(yīng)用中不可缺少的。通過(guò)我們的研究，我們深深地體會(huì)到，身邊就有數(shù)學(xué)，數(shù)學(xué)就在身邊，也可以體會(huì)到三角函數(shù)在生活中應(yīng)用之大。在設(shè)“角”求解的生活情景中一般涉及到角與邊之間的相互關(guān)系，對(duì)這類(lèi)問(wèn)題，一般可以利用三角函數(shù)的相關(guān)知識(shí)，如正弦、余弦定理、數(shù)形結(jié)合、三角函數(shù)的有界性、基本不等式、函數(shù)單調(diào)性等。整理為word格式整理為word格式整理為word格式參考文獻(xiàn)：[1].陳上太.三角函數(shù)最小正周期的求法.數(shù)學(xué)教學(xué)研究[J],1999,(1):26-28.[2].董志立.三角函數(shù)求最值問(wèn)題類(lèi)型解法透析.希望月報(bào)[J],2007,(8):110-111.[3].劉麗英.三角形中一類(lèi)極值問(wèn)題的解題基本思路及方法.中國(guó)科教創(chuàng)新導(dǎo)刊[J],2009,(15):80-85.[4].曾廣述.三角形中的三角函數(shù)問(wèn)題求解策略.中等職業(yè)教育[J],2007,(35):56-58.[5].祝全力.\t