2022年普通高等學(xué)校理數(shù)統(tǒng)一模擬招生考試新未來(lái)4月聯(lián)考試卷

2022年普通高等學(xué)校理數(shù)統(tǒng)一模擬招生考試新未來(lái)4月聯(lián)考試卷閱卷入一、單選題(共12題；共24分)得分(2分)復(fù)數(shù)Z滿足/022?=昌，則復(fù)數(shù)z=( )A4t3. R43. r4,3. n43-f■十fI d?—尸一=?十l*?一號(hào)>一"?■[【答案】D【解析】【解答】由?2=一1,i4=1可得j2022="505+2=(產(chǎn)/5.田=_],則一z=7r、/ J3-53-5+4-53-5-4-5故答案為：D.【分析】利用復(fù)數(shù)的幾何意義，以及復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，即可求解.（2分）已知全集U=R,集合4={訓(xùn)、=2工，x>1},B=（x\-2<x<4},則圖中陰影部分表示的集合為（ ）A.[—2,2] B.(—2,2) C.(—2,2] D-[—2,2)【答案】C【解析】【解答】因?yàn)锳={y|y=2X,x>1},所以A=(2.+oo),又B={x|-2<x<4],全集U=R,所以圖中陰影部分表示的集合為Bn(GM)=(-2,2].故答案為：c.【分析】由已知求出集合A,B,以及B的補(bǔ)集，根據(jù)韋恩圖可得答案.（2分）新能源汽車的核心部件是動(dòng)力電池，電池占了新能源整車成本的大頭，而其中的原材料碳酸鋰又是電池的主要成分.從2020年底開(kāi)始，碳酸鋰的價(jià)格一路水漲船高，下表是2021年我國(guó)江西某企業(yè)的前5個(gè)月碳酸鋰價(jià)格與月份的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù):月份代碼X12345碳酸鋰價(jià)格y(萬(wàn)元/kg)0.50.611.41.5由上表可知其線性回歸方程為y= +0,16,則( )A.0.28 B.0.29 C.0.30 D.0.31【答案】A【解析】【解答】由表中數(shù)據(jù)可得元=1+2+：+4+5=3, 0.5+0.6+1+1.4+1.5=1)TOC\o"1-5"\h\z5 z 5代入線性回歸方程1=方x3+0.16,得5=0.28.故答案為：A.【分析】根據(jù)表格求出元=3,歹=1,代入計(jì)算即可(2分)已知亍出絲_=1,則tana=( )1—cosza3D.3A.-3 B.-1 C.D.3【答案】D【解析】【解答】2sinacosa_cosa_]

2sin2a—sina-【解析】【解答】??tana=3?故答案為：D【分析】利用三角形的恒等變換及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系可得結(jié)論.(2分)在等比數(shù)列5｝中，“四>。2”是>。6”的( )A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】C【解析】【解答】設(shè)公比為q,由a1>a2%-a2>0Q?1(1—q)>0,由ci3>。6o—。6>0oaicl2~a】q5>00a1q2(l—q3')>0>所以aiq2(l—q)(l+q+q2)>0.由l+q+q2=(q+引之+彳〉。，qHO,可得：Q3>。6 。1(1—q)>。，所以“即>。2”是七3>。6”的充要條件.故答案為：C【分析】由>。2o%(1-q)>0,由。3>%oa1q2(l-/)>0,即aiq2(i一q)(i+q+q2)>0,結(jié)合1+q+q?=(q+32+*>0,所以“%>a?”是“。3>a6”的充要條件.(2分)為了貫徹落實(shí)中央新疆工作座談會(huì)和全國(guó)對(duì)口支援新疆工作會(huì)議精神，促進(jìn)邊疆少數(shù)民族地區(qū)教育事業(yè)發(fā)展，我市教育系統(tǒng)選派了6名教師支援新疆4個(gè)不同的地區(qū)，要求A,B兩個(gè)地區(qū)各安排一人，剩下兩個(gè)地區(qū)各安排兩人，則不同的分派方法有( )A.90種 B.180種 C.270種 D.360種【答案】B【解析】【解答】根據(jù)題意，分4步進(jìn)行分析：①在6人中選出1人，安排在A地區(qū)，有6種選法；②在剩下5人中選出1人，安排在B地區(qū)，有5種選法；③在剩下的4人中選出2人，安排在C地區(qū)，有或=6(種)選法；④最后2人安排在D地區(qū)，有1種選法；則有6X5X6X1=180(種)安排方法.故答案為：B【分析】根據(jù)分布乘法求解即可.(2分)在高一入學(xué)時(shí)，統(tǒng)計(jì)高一(1)班所有同學(xué)中考數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為m(m>0),后來(lái)又轉(zhuǎn)學(xué)來(lái)一位同學(xué)，若該同學(xué)中考數(shù)學(xué)成績(jī)恰好等于這個(gè)班級(jí)原來(lái)的平均分，且現(xiàn)在這個(gè)班級(jí)數(shù)學(xué)成績(jī)的方差為則這個(gè)班級(jí)現(xiàn)在的學(xué)生人數(shù)為()A.51 B.52 C.53 D.54【答案】B【解析】【解答】設(shè)高一(1)班原來(lái)的人數(shù)為n,這n個(gè)人的成績(jī)分別為小，*2，…，&，有元=11-(X1+x2+—+xn)?m=-[(%1-x)2+(x2-X)2+…+(xn-x)2]?可得mn=(%!-元)2+(x2-元)2+…+(xn-x)2,故簽=磊[(Xi-x)2+(x2-x)2+…+&一元)2+(元一五)2]=罌,解得n=51,可知這個(gè)班級(jí)現(xiàn)在的學(xué)生人數(shù)為52.故答案為：B【分析】設(shè)高一(1)班原來(lái)的人數(shù)為n,根據(jù)平均數(shù)與方差的定義得m= -無(wú)產(chǎn)+(*2一云)2+…+(xn-元)2],多個(gè)平均數(shù)后耳啰=島山勺-X)2+(x2-元)2+-+(x?-%)2+(x-元)2]=器，解得n=51,可得班級(jí)現(xiàn)在的學(xué)生人數(shù)?(2分)己知函數(shù)/(x)=/elx|,a=/(log23),b=f(-logs8),c=/(-21001)?則a,b,c的大小關(guān)系為( )A.a>c>b B.a>b>c C.c>b>a D.c>a>b【答案】D【解析】【解答】顯然，定義域?yàn)镽,由/(一切=f(x)可知函數(shù)/。)為偶函數(shù)，又當(dāng)x>0時(shí)，/(%)=x2ex,有f'(x)=(7+2x)e*>0，可知函數(shù)/(x)的減區(qū)間為(一8,0),增區(qū)間為[0,+00),又由log23=Wlog29>*log28=2'1唯3<log24=2.Q Q Qlog58=31og52=^log54<^log55=J,21001>2,由b=/(log58),c=/(21001).可得c>a>b.故答案為：D.【分析】先判斷出/(x)為偶函數(shù)，再求導(dǎo)確定單調(diào)性，借助指數(shù)、對(duì)數(shù)運(yùn)算比較log23,log58,21°°1的大小，再由單調(diào)性即可求解.(2分)某四棱錐的三視圖如圖所示，如果方格紙上小正方形的邊長(zhǎng)為1,那么該四棱錐的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為( )

【答案】C【解析】【解答】根據(jù)四棱錐的三視圖可得四棱錐P-4BCD,如下圖示,.,?該四棱錐的最長(zhǎng)棱長(zhǎng)為PB=Vl2+22+32=V14-故答案為：C【分析】根據(jù)三視圖畫(huà)出立體圖，應(yīng)用長(zhǎng)方體結(jié)構(gòu)特征計(jì)算最長(zhǎng)棱長(zhǎng)即可.(2分)若函數(shù)/(%)過(guò)點(diǎn)(0,V2)，其導(dǎo)函數(shù)/(x)=Acos(2x+@)(4>0,0<<p<￡)的部分圖象如圖所示，則/(兀)=( )A.0 B.1 C.4 D.V2【答案】D【解析】【解答】因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)(看,0),所以Acos(4+9)=0,所以孚cos0—孕sin</>=0,即tan<p=1,又。<0〈自，所以少=$所以/1(x)=Acos(2x+?根據(jù)圖像易知/'(%)過(guò)點(diǎn)(0,V2),代入得4=2,所以f'(x)=2cos(2x+9,所以設(shè)/(%)=sin(2x+/)+九，因?yàn)楹瘮?shù)/(x)過(guò)點(diǎn)(0,V2).所以si吟+h=/，所以h=￥，所以/(x)=sin(2x+今)+冬所以/(兀)=sin今+?故答案為：D.【分析】因?yàn)閷?dǎo)函數(shù)過(guò)點(diǎn)G，0),代數(shù)求值得tanw=l,所以w=全根據(jù)圖像易知f'(x)過(guò)點(diǎn)(0,V2),代入得4=2,所以f'(x)=2cos(2x+9,設(shè)/1(X)=sin(2x+/)+以過(guò)點(diǎn)(0,&)求得h=多所以/'(%)=sin(2x+/)+冬從而求得/(兀)的值?(2分)對(duì)任意x>0,不等式e*-ln(ax)+(1—a)x20恒成立，則正數(shù)a的最大值為( )A.疵 B.白 C.1 D.e【答案】D【解析】【解答】???解-ln(ax)+(1-d)x>0,.,.x+ex>ln(ax)+ax=In(ax)+/“2).令/(x)=x+ex,則不等式化為/(x)>f(ln(ax)).V/(x)=x+ex[x>0)為增函數(shù)，'.x>ln(ax),即a<%.令g(x)=g，則g'Q)=a要”，當(dāng)0<x<l時(shí)，g(x)<0>即g(x)遞減；當(dāng)x>l時(shí)，g\x)>0.即g(x)遞增；所以g(x)min=g(l)=e=>a<e.；?實(shí)數(shù)a的最大值為e.故答案為：D

【分析】由題意得％+e"2ln(ax)+qx=ln(ax)+?皿。幻，令/(x)=x+e%,則不等式化為f(x)N/(ln(ax)).令g(x)=更，則9'。)=七尹，根據(jù)導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)g(x)的單調(diào)性，得到所以X Xg(x)min=g⑴=e^a<e.(2分)已知Fi，尸2分別為雙曲線3一/=1Q>。，b>0)的左焦點(diǎn)和右焦點(diǎn)，過(guò)尸2的直線1與雙曲線的右支交于A,B兩點(diǎn)，△A&F?的內(nèi)切圓半徑為勺，△BaF2的內(nèi)切圓半徑為上,若勺>r2,且直線1的傾斜角為60。，則會(huì)的值為( )A.2 B.3 C.V3 D.2^3【答案】B【解析】【解答】記AAFiB的內(nèi)切圓圓心為C,邊AF],AF2,F/2上的切點(diǎn)分別為M,N,E,則C,E橫坐標(biāo)相等，則|AM|=|AN|,|FiM|=舊用，|尸2川=舊用,由-MF2I=2a,即|4M|+IMF/-(|AN|+INF2。=2a,得|MF/-|NFz|=2a,即|&E|-\F2E\=2a,記C的橫坐標(biāo)為劭，則EQ。，0).于是%o+c-(c-Xo)=2a,得X。=a,同理△BF1F2的內(nèi)心D的橫坐標(biāo)也為a,則有CD1x軸，由直線的傾斜角為60。，則/OF2。=30°,zCF2O=60°,在△CEF2中，tanzTFz。=tan60。= 可得門=V5|EF2l，在△DEF2中，tanzDF2O=tan30°= 可得屯=乎區(qū)尸2卜一麗2人陰E."故答案為：B【分析】根據(jù)內(nèi)切圓的性質(zhì)及雙曲線的定義求出兩內(nèi)切圓圓心的橫坐標(biāo)，由正切函數(shù)求解即可.閱卷入二、填空題（共4題；共4分）得分（1分）己知非零向量?jī)?yōu)方的夾角為9\a\=V3,a1（a-6）.貝響=.【答案】2（解析】【解答】由五1（3—石）得d（a-b）=\a\2-ab=\a\2-|a|■|b|cos^=3—浙|=0,解得向=2.故答案為：2【分析】根據(jù)題意，由數(shù)量積的計(jì)算公式可得：|中2-2）=|“一面.|&COS親，解出|山=2.{2x—y—1<0.x+y-2<0,,貝Uz=x+3y的取值范圍3x-y>0,為.【答案】[-10,5]【解析】【解答】由線性約束條件作出可行域，如圖所示

作出直線x+3y=0并平移使它經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)4時(shí),O，所以,?■).\,y=2此時(shí)Z取得最大值，即Zmax=/+3x|=5.作出直線x+3y=0并平移使它經(jīng)過(guò)可行域的點(diǎn)，經(jīng)過(guò)8時(shí),小渭口解瞰：二；，所如(T-3).此時(shí)Z取得最小值，即Zmm="1+3X(-3)=-10.所以可知z的取值范圍為[-10,5].故答案為：[-10,5].【分析】由線性約束條件作出可行域，根據(jù)z=x+3y的幾何意義求解即可.1(1分)已知數(shù)列｛a九｝滿足刖=2,即+i-2=+2九(九€N)則數(shù)列｛；；-｝的前2022項(xiàng)的和Lt?！窘馕觥俊窘獯稹坑深}意可知，滿足臼=2,%+i—冊(cè)=2幾+2,當(dāng)n>2時(shí)，—an_j=2(n—1)+2=2n,

???g—=4,%—=6,a4—a3=8,…，an—an_i=2n,以上各式累加得，=Q1+（。2-。1）+（。3-。2）+（。4—03）+…+Qn—^n—1）=2+4+6+8+…+2n._（_（2+2n）n=n（n+1），1 1 11當(dāng)n=l時(shí)，即=2,也滿足上式，...即=〃5+1)，則遍=而而=同一行!?二數(shù)歹見(jiàn)今｝的前n項(xiàng)和為Sn=/+/+…+/=l_：+/_g+…+:一/1=1_21=信，?c_2022???>2022=2023,故答案為：需I【分析】由題意可知，滿足勺=2,當(dāng)nN2時(shí)，an- =2(n-1)+2=2n,所以即=國(guó)+1111(a2~al)+(a3~a2)+(a4~a3)+…+(an~an-l)=n(n+1),—="計(jì)］)=元一根據(jù)裂項(xiàng)相消求得前2022項(xiàng)的和.(1分)已知點(diǎn)F為橢圓C：^+￡=l(a>b>0)的左焦點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過(guò)橢圓的右頂點(diǎn)作垂直于x軸的直線1,若直線1上存在點(diǎn)P滿足cosnOPF=%^，則橢圓C的離心率的取值范圍為.【答案】［2+浮,D【解析】【解答】如圖

., 一,, s 1設(shè)F(c,0),P(a,m),其中?n>0,右頂點(diǎn)為A,由cos/OPF=商，貝Ijsin/OPF=面,1tanzOPF=子，又由tan"0A=又由tan"0A=募,tan^PFA= 有tanZOPF=tan(zP04-/.PFA)=m_m萬(wàn)q+c71+^—

q"+qcmea24-ac4-m2'me me_me_c c1又由砂+成+路-2k2：c)m2-2m商+a12商+砒'有25n當(dāng)且僅當(dāng)a?+ac=時(shí)取等，整理為25c2-4此一4a2NO,可得25e2-4e-4N0,解得組舞ge<L故答案為：［2+,浮,1）.【分析】設(shè)F（c,0）,P（q,巾），其中m>0,由coszOPF=卷求出taniOPF=g結(jié)合正切的差VZo 5C角公式及基本不等式求得tanQ°PF）W/ ,解不等式即可求得離心率的取值范圍.閱卷人三、解答題（共7題；共70分）得分（10分）在△ABC中，角A,B,C所對(duì)的邊分別為a,b,c,且bsin與C=asinB.（1）（5分）求角A的大?。唬?分）若D為8C邊中點(diǎn)，且40=2,求a的最小值.【答案】（1）解：?.?bsin且擾=QsinB,=asinB,即bcos?=asinB.由正弦定理得sinB?cos^=sinA-sinfi.A AAVsinBH0, cos=sinA=2sin2cos?M.A1cos2。0，??sin2^=2*TOC\o"1-5"\h\z又,.?o<2<3,-'4=^ =?2 2 2 6 J（2）解：：D為BC邊中點(diǎn)，，2亞=萬(wàn)+而，即4|而產(chǎn)=（同+而產(chǎn)，AD=2,.*.16=c2+b2+2bccosA,.,.b24-c2=16—bc>：.2bc<b2+c2=16-bc,即beW苧，當(dāng)且僅當(dāng)b=c=隼時(shí)取等號(hào)，J 3,**a2=b2+c2-2bccosA=h24-c2—he=16—2bc，.*.a2>16-2x^=^即aN攀A的最小值為竽.【解析】【分析】⑴根據(jù)誘導(dǎo)公式及正弦定理得sinB-cos^=sinA-sinB，進(jìn)而化簡(jiǎn)得sin^另，從而求得4=J；(2)根據(jù)D為BC邊中點(diǎn)，可得2而=而+而，即4|而產(chǎn)=(而+/)2,根據(jù)余弦定理得16=c2+b2+26ccosA即。2+c2=16-be，根據(jù)基本不等式即可求出a的最小值.(10分)靈活就業(yè)的崗位主要集中在近些年興起的主播、自媒體、配音，還有電競(jìng)、電商這些新興產(chǎn)業(yè)上.只要有網(wǎng)絡(luò)、有電腦，隨時(shí)隨地都可以辦公.這些崗位出現(xiàn)的背后都離不開(kāi)互聯(lián)網(wǎng)的加速發(fā)展和短視頻時(shí)代的大背景.甲、乙兩人同時(shí)競(jìng)聘某公司的主播崗位，采取三局兩勝制進(jìn)行比賽，假設(shè)甲每局比賽獲勝的概率為常且每局比賽都分出了勝負(fù).(5分)求比賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率；(5分)比賽結(jié)束時(shí)，記甲獲勝的局?jǐn)?shù)為隨機(jī)變量X,求隨機(jī)變量X的分布列.【答案】(1)解：比賽結(jié)束時(shí)，乙獲勝有三種情況：①第一局甲勝，第二局乙勝，第三局乙勝，②第一局乙勝，第二局甲勝，第三局乙勝，③第一局，第二局2勝，TOC\o"1-5"\h\z比賽結(jié)束時(shí)乙獲勝的概率P= + + = + =(2)解：由題意可得，X的所有可能取值為0,1,2,P(X=0)=(1-鏟=券八八7V、2 3 3,3 2 3 36P(X=1)=耳*耳*耳+耳乂耳乂耳=Y25?44P(X=2)=1—P(X=0)—P(X=1)=市..?.X的分布列為X012P(X)9253612544125【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，分別求出乙兩場(chǎng)獲勝和三場(chǎng)獲勝的概率，并對(duì)所求得結(jié)果求和，即可求解；

（2）由題意得，X的所有可能取值為0,1,2,分別求出對(duì)應(yīng)的概率，即可求解.（10分）如圖，在三棱錐P-ABC中，D,E分別為AC,PB的中點(diǎn)，且AD=DB,EC_L平面ABC.（1）（1）（5分）證明：AB1PC；（5分）若AC=2BC=26EC，求銳二面角8-4P-C的大小.,jr【答案】⑴證明：:D為AC中點(diǎn)，且?,?乙48C=會(huì)即481BC._L平面4BC,4Bu平面ABC,：.EC1AB.'：BCQEC=C,."BJ"平面EBC.又u平面BCE,：.AB1PC（2）解：由（1）可知，以BC為x軸，8/為y軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.設(shè)EC=a,<AC=2BC=2^EC，；.B(0,0,0),E(百a,0,a)，P(2島，0,2a),4(0,3a,0).C(V3a,0,0),nBA=0,

.n-FP=0nBA=0,

.n-FP=0.設(shè)平面PAB的法向量為五=（xi，y1（zi）,有3ay1=0, 人 9 「,—1,得7i—(1>0,—V3).2a/3q%i+2azi=0,

設(shè)平面APC的法向量為隹=(必，z2)-由前=(Via,-3a,0),CP=(V3a,0,2a),wfZc.m=V3ax2-3ay2=0 =則力=?,,2=-3(CP?m=V3ax2+2az2=0可得鉆=(2百，2,-3),有正?方=275+375=56，|fn|=V12+4+9=5,|n|=2,...二面角B-AP-C的余弦值為|cos<m,n>\=犀豆=繆=孚,故銳二面角B-AP-C的大小為專.【解析】【分析】D為AC的中點(diǎn)，且AD=CB,推出AB1BC,根據(jù)直線與平面垂直的性質(zhì)，可推出EC_LAB,從而得到結(jié)論;(2)以BC為x軸，BA為y軸，建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)EC=a,設(shè)平面PAB的法向量為元=Qi，yvQi，yvZ。，有n-~BA=0,.n-BP=0.推出劉=(1,0,-V3)，設(shè)平面APC的法向量為記=(r，y2,Z2),(2國(guó)，2,-3),根據(jù)向量的夾角運(yùn)算公式即可求解.(10分)已知函數(shù)/(x)=Inx+詈廠*其中aeR.(5分)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；(5分)討論函數(shù)f(x)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).【答案】(1)解：函數(shù)/(*)的定義域?yàn)?0,+00),八乃=；在一元二次方程%2+(2—a)x+1=0中，4=(2—a)2—4=a2-4a=a(a—4),①當(dāng)a<0時(shí)，/(x)>0.此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，增區(qū)間為(0,+8),沒(méi)有減區(qū)間;②當(dāng)0WaW4時(shí)，/(%)>0，此時(shí)函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，增區(qū)間為(0,+oo),沒(méi)有減區(qū)間;③當(dāng)a>4時(shí)，一元二次方程*2+(2-a)x+1=0有兩個(gè)不相等的根，分別記為打，x2(x2>Xi),有Xi+X2=a-2,xrx2=1>0,可得也>打>0,有 a-2-Ja2—4a_a-2+Ja」-4a,%]= 2 ，亞= 2可得此時(shí)函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(0,Xi),(x2,+8)減區(qū)間為x2),綜上可知，當(dāng)aW4時(shí)，函數(shù)f(x)的增區(qū)間為(0,+00),沒(méi)有減區(qū)間；當(dāng)a>4時(shí)，函數(shù)/(%)的增區(qū)間為(0,。一2-#2-4與(―+產(chǎn)―4a,+減區(qū)間為尸-2- 4aa-2+Ja2-4a( 2 ' 2 )(2)解：由(1)可知：①當(dāng)aw4時(shí)，函數(shù)/(外單調(diào)遞增，又由/(1)=0,可得此時(shí)函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)為x=1；②當(dāng)a>4時(shí)，由％1%2=1>0，x2>xv可得0<X1<1<0，又由/⑴=0,由函數(shù)的單調(diào)性可知/Qi)>f(l)=0,f(x2)</(l)=0.當(dāng)0<x<1且0<*<e-躺，可得lnx<lneW有3+拼<0,可得/(*)<Inx+a—胃=Inx+^<0,當(dāng)x>e2時(shí)?/(x)>Inx—^>lne2—一3=0可知此時(shí)函數(shù)/(x)有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，由上知，當(dāng)aW4時(shí)，函數(shù)f(x)有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)a>4時(shí)，函數(shù)/(%)有且僅有3個(gè)零點(diǎn).【解析】【分析】(1)對(duì)函數(shù)/(x)求導(dǎo)，分類討論a<0,0<a<4,a>4時(shí)，函數(shù)/(x)的單調(diào)性；(2)通過(guò)分類討論當(dāng)aW4時(shí)和a>4時(shí)，分析函數(shù)f(%)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)即可..2L(10分)已知直線，：x-ky+k-1=0與拋物線C：y2=2px(p>0)交于A,B兩點(diǎn)，過(guò)A,B兩點(diǎn)且與拋物線C相切的兩條直線相交于點(diǎn)D,當(dāng)直線l_Lx軸時(shí)，\AB\=4.(5分)求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；(5分)求|。叫的最小值.【答案】(1)解：當(dāng)直線軸時(shí)，x=l,代入y2=2px解得y=土回，=2四=4,得p=2,...拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x(2)解：設(shè)4(*4，為)，B(xb,yB),D(xd,yD).聯(lián)立得y?-4ky+4k-4=(y/=4%,0-:-yA+yB=4k,力，丫8=軌一4①,???直線2：%一/0/+左一1=0恒過(guò)點(diǎn)(1,1),且與拋物線有兩個(gè)交點(diǎn)，點(diǎn)(1,1)在拋物線上，???k￡0,當(dāng)直線4。和直線BD斜率存在時(shí)，設(shè)直線4。：y=mx4-n?聯(lián)立'mx+n,.\my2—4y+4n=y2=4x,0,A=16—4m-471=0,Am-n=1, 同理，設(shè)直線BD：y=ox+b,則ab=1,yB=聯(lián)立(y=mx+n9. =焉'[y=ax+b,,，U=1+1.由①可知2+2=4k,2.2=4k_4,：.1+1-L=2,即%一2孫=2,...點(diǎn)D在直線24—mama mama uy+2=0上.當(dāng)直線AD或直線BD斜率不存在時(shí)，即直線1過(guò)原點(diǎn)時(shí)，k=l,過(guò)原點(diǎn)的切線方程為x=0,易知另外一點(diǎn)為(4,4)>過(guò)點(diǎn)(4,4)的切線方程設(shè)為x-4=t(y-4),聯(lián)立,一2c一,)，得y2一也+的一16=0,Zl=16t2-4(16t-16)=0,解得t=2,即切線方程y=4x+2.此時(shí)交點(diǎn)D的坐標(biāo)為(0,2),在直線2%-y+2=0上，故OD的最小值為原點(diǎn)到直線2x-y+2=。的距離，即專=等.【解析】【分析】(1)直線！%軸時(shí)，x=l,代入V=2p%,求得，y=±/^，可得|4B|=4,解出P的值，進(jìn)而得到拋物線的方程；⑵設(shè)4(44，X4)，B(xb,yB),D{xd,yD).聯(lián)立,卜?：/0-運(yùn)用韋達(dá)定理得力+yB=4k,yA-yB=4k-4,再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得A,B處的切線方程，聯(lián)立得。的坐標(biāo)，再由兩點(diǎn)的距離公式和二次函數(shù)的最值求法，可求得|0。|的最小值.(10分)在平面直角坐標(biāo)系x0y中，曲線C的參數(shù)方程為(t為參數(shù))，以坐標(biāo)原點(diǎn)。為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線1的極坐標(biāo)方程為pcos。+psin。-2=0.(5分)求曲線C的普通方程和直線1的直角坐標(biāo)方程；1 1(5分)若直線1與曲線C交于P,Q兩點(diǎn)，且點(diǎn)M(0,2),求扁+扁f的值.【答案】(1)解：曲線C的參數(shù)方程為卜=3,(t為參數(shù))，ly=2t2轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為“2=%可得y=2/;直線1的極坐標(biāo)方程為pcos。+psin0-2=0,轉(zhuǎn)化為直角坐標(biāo)方程為x+y-2=0(氏(2)解：把直線1的方程換成參數(shù)方程，得1 2 (t為參數(shù))，代入d=今"+會(huì)得產(chǎn)—乎t—2=0，??亡1+以=芋，11以=—2，顯然ti，。異號(hào),由+扛=闖,|MQ|=|t2p1 1_1,1+11+1切1“—21_J(tl+t2)2-4qt2—爐—國(guó)商+兩=符十寸= =~~\t^\ =2=—【解析】【分析】(1)消去參數(shù)可得曲線的普通方程，利用極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)系方程的互化公式可得直線的直角坐標(biāo)方程；(2)首先寫(xiě)出直線的參數(shù)的方程，然后結(jié)合參數(shù)方程的幾何意義即可求出舄可+高的值.(10分)已知函數(shù)/(x)=氏-1|+|x+2|.(5分)求不等式/(x)W5的解集；(5分)設(shè)時(shí)，/(x)的最小值為M.若正實(shí)數(shù)a,b,滿足a+b=M,求金y+*7的最Q十1D~rZ小值.【答案】⑴解:/(x)=|x-l|+|x+2|<5,當(dāng)％W—2時(shí)，不等式化為—％+1—%—245,解得％N—3,此時(shí)—3WxW—2；當(dāng)一2VxVI時(shí)，不等式化為一x+1+x+2=345,恒成立，此時(shí)一2VxVI；當(dāng)x>1時(shí)，不等式化為x—l+x+2=2x+lW5,解得％<2,此時(shí)1<x<2.綜上所述，不等式的解集為[-3,2](2)解：f(x)——11++21N\x—1—x—2\=3.所以M=3,即a+b=3.所以(a+1)+(b+2)=6,當(dāng)且僅當(dāng)a+l=b