第六章《實數(shù)》教材分析定稿課件

第六章實數(shù)北京市第八十中學(xué)管莊分校李濤李瀚明

第六章實數(shù)北京市第八十中學(xué)管莊分校目錄全章整體分析教學(xué)建議單元教學(xué)設(shè)計典型例題及習(xí)題目錄全章整體分析教學(xué)建議單元教學(xué)設(shè)計典型例題及習(xí)題全章整體分析知識的地位及作用教學(xué)重難點課時安排本章學(xué)習(xí)目標(biāo)全章整體分析知識的地位及作用教學(xué)重難點課時安排本章學(xué)習(xí)目標(biāo)地位及作用數(shù)系擴充社會生活發(fā)展的需要為了計數(shù)的需要自然數(shù)集N為了刻畫具有相反意義的量整數(shù)集Z負(fù)整數(shù)在自然數(shù)范圍內(nèi)解方程x+2=0（無解）為了測量、分配等需要有理數(shù)集Q分?jǐn)?shù)在整數(shù)范圍內(nèi)解方程3x-2=0（無解）為了度量單位正方形的對角線長實數(shù)集R無理數(shù)

數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要

復(fù)數(shù)集C虛數(shù)地位及作用數(shù)系擴充社會生活發(fā)展的需要為了計數(shù)的需要自然數(shù)集N地位及作用數(shù)與代數(shù)方程與不等式數(shù)與式函數(shù)代數(shù)式有理數(shù)分式二元一次方程與方程組一元一次方程一元二次方程已有經(jīng)驗即將學(xué)習(xí)整式分式方程不等式與不等式組二次函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)二次根式勾股定理

解直角三角形平面直角坐標(biāo)系實數(shù)三角函數(shù)地位及作用數(shù)與代數(shù)方程與不等式數(shù)與式函數(shù)代數(shù)式有理數(shù)分式二元地位及作用開方平方根立方根互為逆運算開平方開立方實數(shù)實數(shù)的概念實數(shù)的運算實數(shù)在數(shù)軸上的表示乘方通過數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)來幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思想，為以后的解析幾何做鋪墊.數(shù)的運算是其他各個數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要偶次方根的特例奇次方根的特例地位及作用開方平方根立方根互為逆運算開平方開立方實數(shù)實數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根；2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3．了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大到實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4．能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用算術(shù)平方根、平方根的概念和求法以及實數(shù)的概念．平方根和實數(shù)的概念．本章重難點重點難點算術(shù)平方根、平方根的概念和求法以及實數(shù)的概念．平方根和實數(shù)的本章課時安排共9課時，其中：6.1平方根

3課時

6.2立方根

2課時6.3實數(shù)

2課時數(shù)學(xué)活動+小結(jié)

2課時本章課時安排共9課時，其中：教學(xué)建議教學(xué)建議1.

加強知識間的縱向聯(lián)系突出類比的作用1.加強知識間的縱向聯(lián)系突出類比的作用2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式引言的主要內(nèi)容本章內(nèi)容的引入（為什么學(xué)？)本章內(nèi)容的概述（學(xué)什么？)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)（怎么學(xué)？)2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式引言的主要內(nèi)容本章本章內(nèi)容的引入教材從生活的角度提出一個物理實際問題，闡述學(xué)習(xí)平方根概念的必要性；教材從數(shù)學(xué)的角度，即邊長為１的正方形的對角線的長不是有理數(shù)說明引入無理數(shù)的必要性.2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式引入無理數(shù)重要的思維導(dǎo)向本章內(nèi)容的引入教材從生活的角度提出一個物理實際問題，闡述學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的概述明確本章將學(xué)習(xí)平方根、立方根、實數(shù)三部分內(nèi)容。2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式本章內(nèi)容的概述明確本章將學(xué)習(xí)平方根、立方根、實數(shù)三部分內(nèi)容。學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式：類比、數(shù)形結(jié)合.2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式：類比、數(shù)形結(jié)合.2.重視章節(jié)引言特點本章概念學(xué)習(xí)方式概念形成（對內(nèi)縱向）概念同化（對外橫向)算數(shù)平方根平方根、立方根類比3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點本章概念學(xué)習(xí)方式概念形成（對內(nèi)縱向）概念同化（對外橫向)算數(shù)了解利用背景引入概念的必要性；歸納出具體實例的共同特征；定義算術(shù)平方根的概念（文字語言和符號語言）.背景引入歸納抽象概念形成算術(shù)平方根概念形成的學(xué)習(xí)方式：3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點了解利用背景引入概念的必要性；歸納出具體實例的共同特征；定義3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點算術(shù)平方根與平方根的教學(xué)建議：1、按照教材的順序設(shè)計兩個概念的教學(xué)，先學(xué)算術(shù)平方根，再學(xué)平方根；運算的發(fā)展順序2、重視對算術(shù)平方根和平方根的符號的教學(xué)，注意對符號的分析（課本46頁），符號與文字定義要聯(lián)系起來；學(xué)生認(rèn)知的難點3、要求學(xué)生熟練掌握1到20的平方.《課標(biāo)》規(guī)定“會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根”.3.把握概念學(xué)習(xí)方式落實重點突破難點算術(shù)平方根與平方立方根概念形成的學(xué)習(xí)方式：3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點加強新舊知識之間的聯(lián)系，用類比的方法進行教學(xué)。平方根概念開平方運算平方與開平方互為逆運算平方根的特征平方根的表示平方根立方根類比李瀚明老師會在單元教學(xué)設(shè)計中分析課例.立方根概念形成的學(xué)習(xí)方式：3.把握概念學(xué)習(xí)方式落實重

教科書在第5章《相交線與平行線》中安排了一節(jié)平移，探討得出平移前后的兩個圖形的對應(yīng)點的連線平行且相等平移變換的基本性質(zhì)，又將在第7章《平面直角坐標(biāo)系》中安排了用坐標(biāo)方法研究平移的內(nèi)容，從坐標(biāo)的角度進一步認(rèn)識平移變換。本章在數(shù)軸上建立了點與實數(shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，第七章將在平面直角坐標(biāo)系建立了點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，在實數(shù)范圍內(nèi)研究平移的內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)利用平移變換探索平面圖形的幾何性質(zhì)以及綜合運用幾種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似等）進行圖案設(shè)計等打下基礎(chǔ)。4.關(guān)注教材知識內(nèi)容的聯(lián)系教科書在第5章《相交線與平行線》中安排了一節(jié)平移，探使用計算器進行復(fù)雜運算，可以使學(xué)習(xí)的重點更好地集中到理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)上來，估算是一種具有實際應(yīng)用價值的運算能力.提倡使用計算器進行復(fù)雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，是本章的一個教學(xué)要求.5.發(fā)揮計算器作用加強估算能力培養(yǎng)計算器的應(yīng)用有理數(shù)估計無理數(shù)的大致范圍求平方根求立方根實數(shù)計算單元教學(xué)設(shè)計中提供課例《數(shù)怎么又不夠了？》.使用計算器進行復(fù)雜運算，可以使學(xué)習(xí)的重點更好地集中到6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機.資源拓展中國發(fā)現(xiàn)無理數(shù)（教師用書112頁）中文“無理數(shù)”名稱的含義（教師用書112頁）進一步理解無理數(shù)的定義，突破難點.6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機.資源6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化華羅庚先生求解完全立方數(shù)的立方根的簡捷解法.學(xué)生查閱華羅庚先生相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)家及相關(guān)數(shù)學(xué)史.數(shù)學(xué)活動2據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化華羅庚先生求解完全立方數(shù)的立方根的簡捷解法.6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化如果已知一個數(shù)是某個整數(shù)的立方，你還有其他方法求出這個整數(shù)嗎？布置學(xué)生閱讀資料完成自主研究問題.通過材料閱讀，現(xiàn)在你對立方根是不是有了新的認(rèn)識？請判斷12167與175616的立方根分別是多少.6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化如果已知一個數(shù)是某個整數(shù)的立方，你還有其他方7.關(guān)注全章小結(jié)——形成知識框架運算實數(shù)按定義分按大小分有理數(shù)無理數(shù)定義有關(guān)概念非負(fù)數(shù)相反數(shù)倒數(shù)絕對值平方根和立方根近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法定義及分類兩種分類比較大小加減乘除乘方開方數(shù)軸實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)數(shù)形結(jié)合分類討論常見形式絕對值平方算術(shù)平方根圖像法被開方數(shù)估算法作差法7.關(guān)注全章小結(jié)——形成知識框架運算實數(shù)按定義分按大小分有理單元教學(xué)設(shè)計單元教學(xué)設(shè)計單元教學(xué)設(shè)計有理數(shù)現(xiàn)實背景引入定義表示分類性質(zhì)運算和運算律（相反數(shù)、絕對值、大小）（符號、圖形）（外延式舉例）（現(xiàn)實內(nèi)部邏輯必然性）（確定分類標(biāo)準(zhǔn)）實數(shù)現(xiàn)實背景引入定義表示分類性質(zhì)運算和運算律（大小、在數(shù)軸上的表示）（符號、圖形）（外延式舉例）（現(xiàn)實內(nèi)部邏輯必然性）（確定分類標(biāo)準(zhǔn)）單元教學(xué)設(shè)計有理數(shù)現(xiàn)實背景引入定義表示分類性質(zhì)運算和運算律（第六章實數(shù)單元一平方根單元二立方根單元三實數(shù)算術(shù)平方根概念性質(zhì)應(yīng)用（數(shù)怎么又不夠了）類比概念性質(zhì)應(yīng)用數(shù)域擴充類比有理數(shù)單元教學(xué)設(shè)計第六章實數(shù)單元一平方根單元二立方根單元三實數(shù)算《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2

的小正方形通過剪裁拼接成一個面積為2dm2

的大正方形.

張健《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2

的小正方形通過剪裁拼接成一個面積為2dm2

的大正方形.

《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2問題拼成的這個面積為2dm2

的大正方形的邊長應(yīng)該是多少呢？《數(shù)怎么又不夠了？》?問題拼成的這個面積為2dm2的大正方形的邊長應(yīng)該

《數(shù)怎么又不夠了？》?

《數(shù)怎么又不夠了？》?

《數(shù)怎么又不夠了？》?因為相比于02與32這兩個被開方數(shù)來說，12和22更接近于2，所以我們在選取被開方數(shù)時，應(yīng)選取更接近于2兩邊的數(shù)值.

《數(shù)怎么又不夠了？》?因為相比于02與32這兩個被開方數(shù)來

《數(shù)怎么又不夠了？》

繼續(xù)探究小數(shù)點后的十分位、百分位、千分位上的數(shù)字

如果從1.5開始驗證因為1.52=2.25>2，所以1.6至1.9我們就不需要再計算了；而如果從1.92=3.61>2，還要繼續(xù)運算1.8，1.7，1.6……所以從中間1.5開始驗證相對來說效率更高.兩名同學(xué)為一個小組，一名同學(xué)負(fù)責(zé)按計算器，另一名同學(xué)負(fù)責(zé)記錄，兩人互相檢查操作是否正確.

《數(shù)怎么又不夠了？》

繼續(xù)探究小數(shù)點后的十分位、百分位、千

《數(shù)怎么又不夠了？》問題按照這種方法，在確定了1.52=2.25>2之后，我們可以嘗試計算哪個數(shù)的平方？按照這種方法，請各小組繼續(xù)探究小數(shù)點后第2位、第3位…上的數(shù)字是幾？

《數(shù)怎么又不夠了？》問題按照這種方法，在確定了1.5

《數(shù)怎么又不夠了？》觀察我們的研究過程，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？還能繼續(xù)這樣算下去嗎？a2b212=1222=41.42=1.9621.52=2.251.412=1.988121.422=2.01641.4142=1.99939621.4152=2.0022251.414

21356232=1.9999999979325621.41421356242=2.000000000076098……

《數(shù)怎么又不夠了？》觀察我們的研究過程，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？《數(shù)怎么又不夠了？》欣賞課本P37的圖片，并觀察數(shù)字的特點：小數(shù)點后464位可不可能到小數(shù)點后第465位就結(jié)束了，或者就循環(huán)了呢？《數(shù)怎么又不夠了？》欣賞課本P37的圖片，并觀察數(shù)字的特點：《數(shù)怎么又不夠了？》

由于

是小數(shù)，所以只需確認(rèn)

不是有限小數(shù)也不是無限循環(huán)小數(shù)，只要說明它不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)。顯然

不是整數(shù)，則只需要證明

不是分?jǐn)?shù)。我們可以采用反證法，假設(shè)

是有理數(shù)，于是可以用兩個整數(shù)

m、n

表示為

∴2m2=n2，即2×m×m=n×n∴等式左邊2m2是偶數(shù)∴等式右邊n2也是偶數(shù)∴n也是偶數(shù)∴這個式子的右邊有偶數(shù)個2因子，∵當(dāng)m為偶數(shù)時，m×m有偶數(shù)個2的因子；

當(dāng)m為奇數(shù)時，m×m沒有2的因子∴這個式子的左邊2×m×m有奇數(shù)個2因子，與這個式子的右邊有偶數(shù)個2因子矛盾！所以假設(shè)是錯誤的.《數(shù)怎么又不夠了？》由于是小數(shù)，所以只需確認(rèn)不是有《數(shù)怎么又不夠了？》既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，它是無限不循環(huán)小數(shù)．類似用反證法也可以說明也是無限不循環(huán)小數(shù)．

我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．《數(shù)怎么又不夠了？》既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，它是無限《立方根1》建立研究結(jié)構(gòu)1.請同學(xué)們回顧并簡要敘述平方根的學(xué)習(xí)過程.2.請同學(xué)們類比平方根的學(xué)習(xí)過程，制定立方根的學(xué)習(xí)方案.李瀚明平方根概念開平方運算平方與開平方互為逆運算平方根的特征平方根的表示平方根3.請同學(xué)們用自己的方式匯報并整理立方根的相關(guān)知識.《立方根1》建立研究結(jié)構(gòu)1.請同學(xué)們回顧并簡要敘述平方根的學(xué)逆運算互為平方根平方根立方根概念若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.若一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.符號表示特點a>0有兩個平方根，且互為相反數(shù).有一個立方根，是正數(shù).a=0有一個平方根，是0.有一個平方根，是0.a<0沒有平方根.有一個立方根，是負(fù)數(shù).《立方根1》根指數(shù)被開方數(shù)思考請你說說數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么異同？開平方開立方平方立方乘方開方逆運算互為逆運算互為已知與未知的轉(zhuǎn)換乘方開方乘方對數(shù)逆運算互為逆運算互為逆運算平方根平方根立方根概念若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)《立方根1》

問題請同學(xué)們再多舉幾組例子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？一般的：

探索立方根的性質(zhì)《立方根1》

問題請同學(xué)們再多舉幾組例子，你能《立方根1》擴展應(yīng)用，加深理解問題

我們知道平方根可以解決已知正方形面積求邊長的實際問題，那么立方根可以解決哪些實際問題呢？請舉例.

問題

立方根還可以解決哪些數(shù)學(xué)問題呢？請舉例.

《立方根1》擴展應(yīng)用，加深理解問題我們知道平方根可以解決《立方根1》課堂小結(jié)，反思提升通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會？《立方根1》課堂小結(jié)，反思提升通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收典型例題及習(xí)題典型例題及習(xí)題1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念歷年中考題2016年：2017年：2018年：2020年：《課程標(biāo)準(zhǔn)》：會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方根運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根.《課程標(biāo)準(zhǔn)》：了解平方根、算術(shù)平方根、立方根概念，會用根號表示平方根、算術(shù)平方根、立方根.1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念歷年中考題2016年：21.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視教材例題解答過程教材中的例題，展示了求數(shù)的算術(shù)平方根和平方根的思考過程.開始階段，宜讓學(xué)生適當(dāng)模仿，進一步理解概念的意義.1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視教材例題解答過程教材重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念例如，例1求100的算術(shù)平方根“因為，所以100的算術(shù)平方根是10，即.例如，

求100的平方根“因為，所以100的算術(shù)平方根是10，即.明確算術(shù)平方根和平方根的概念,強化學(xué)生對符號的認(rèn)識.重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念例如，例3解方程得到的結(jié)果是x=.學(xué)生可能在此存在疑惑，是最終結(jié)果嗎？會認(rèn)為沒有算完.老師要幫助學(xué)生正確理解的兩種涵義，既是一種運算符號，又提供了一種表示算術(shù)平方根的方法.因此，x=是計算結(jié)果(進一步化簡在后面“二次根式”一章還要學(xué)習(xí)）.重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視邏輯推理——立足性質(zhì)一般地，=.建議對立方根的性質(zhì)進行證明.證明:設(shè)，則(立方根定義）.∵，∴.∴(立方根定義）.∴.

1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念用立方根運算求負(fù)整數(shù)的立方根.這個關(guān)系式對于任意實數(shù)都成立，求負(fù)數(shù)立方根，可以先求這個負(fù)數(shù)的絕對值的立方根，然后再求取它的相反數(shù).重視邏輯推理——立足性質(zhì)一般地，=2.實數(shù)的大小比較《課程標(biāo)準(zhǔn)》：能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.比較實數(shù)的大小圖像法比較被開方數(shù)估算法作差法2.實數(shù)的大小比較《課程標(biāo)準(zhǔn)》：能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大圖像法——立足數(shù)軸認(rèn)知基礎(chǔ)：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).規(guī)定：對于數(shù)軸上的任意兩個點，右邊的點所表示的實數(shù)總比左邊的點表示的實數(shù)大.由圖可知“數(shù)”與“形”聯(lián)系起來.進一步體會“數(shù)形結(jié)合”的思想方法的作用.2.實數(shù)的大小比較《課程標(biāo)準(zhǔn)》：能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍.圖像法——立足數(shù)軸認(rèn)知基礎(chǔ)：實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng).規(guī)定：問題一：請寫出大于小于的所有整數(shù).因為

，

又

4<5<9所以因為，又

9<13<16所以所以大于小于的所有整數(shù)是-3，-2，-1，0，1，2．2.實數(shù)的大小比較圖像法——立足數(shù)軸問題一：請寫出大于小于的所有整數(shù).因為問題二：請寫出絕對值小于的所有整數(shù).因為

，

又

4<5<9所以絕對值小于的所有整數(shù)是-2，-1，0，1，2．2.實數(shù)的大小比較圖像法——立足數(shù)軸問題二：請寫出絕對值小于的所有整數(shù).因為，比較被開方數(shù)用“>”或“<”填空:（1）______（2）

______（3）______（4）

______＞＞＞＞

被開方數(shù)越大所對應(yīng)的立方根就越大.2.實數(shù)的大小比較比較被開方數(shù)用“>”或“<”填空:（1）____問題三比較3，4，的大小.因為27＜50＜64，

所以3＜＜4所以

＜＜解：因為，，所以，，先把有理數(shù)轉(zhuǎn)化為立方根形式比較被開方數(shù)的大小不能直接進行開立方運算基本思路比較被開方數(shù)2.實數(shù)的大小比較問題三比較3，4，的大小.因為27＜50＜6估算法問題四比較與的大小.解：基本思路先估算每個實數(shù)的取值范圍比較實數(shù)的大小2.實數(shù)的大小比較估算法問題四比較與作差法依據(jù)：當(dāng)a-b>0時，a>b;當(dāng)a-b=0時，a=b;當(dāng)a-b<0時，a<b.問題五比較與的大小.解：基本思路先求出兩個實數(shù)的差再依據(jù)當(dāng)a-b>0時，a>b;當(dāng)a-b=0時，a=b;當(dāng)a-b<0時，a<b.進行大小比較.2.實數(shù)的大小比較作差法依據(jù)：當(dāng)a-b>0時，a>b;當(dāng)a-b=0時，a=b;hankshanks第六章實數(shù)北京市第八十中學(xué)管莊分校李濤李瀚明

第六章實數(shù)北京市第八十中學(xué)管莊分校目錄全章整體分析教學(xué)建議單元教學(xué)設(shè)計典型例題及習(xí)題目錄全章整體分析教學(xué)建議單元教學(xué)設(shè)計典型例題及習(xí)題全章整體分析知識的地位及作用教學(xué)重難點課時安排本章學(xué)習(xí)目標(biāo)全章整體分析知識的地位及作用教學(xué)重難點課時安排本章學(xué)習(xí)目標(biāo)地位及作用數(shù)系擴充社會生活發(fā)展的需要為了計數(shù)的需要自然數(shù)集N為了刻畫具有相反意義的量整數(shù)集Z負(fù)整數(shù)在自然數(shù)范圍內(nèi)解方程x+2=0（無解）為了測量、分配等需要有理數(shù)集Q分?jǐn)?shù)在整數(shù)范圍內(nèi)解方程3x-2=0（無解）為了度量單位正方形的對角線長實數(shù)集R無理數(shù)

數(shù)學(xué)內(nèi)部發(fā)展的需要

復(fù)數(shù)集C虛數(shù)地位及作用數(shù)系擴充社會生活發(fā)展的需要為了計數(shù)的需要自然數(shù)集N地位及作用數(shù)與代數(shù)方程與不等式數(shù)與式函數(shù)代數(shù)式有理數(shù)分式二元一次方程與方程組一元一次方程一元二次方程已有經(jīng)驗即將學(xué)習(xí)整式分式方程不等式與不等式組二次函數(shù)反比例函數(shù)一次函數(shù)二次根式勾股定理

解直角三角形平面直角坐標(biāo)系實數(shù)三角函數(shù)地位及作用數(shù)與代數(shù)方程與不等式數(shù)與式函數(shù)代數(shù)式有理數(shù)分式二元地位及作用開方平方根立方根互為逆運算開平方開立方實數(shù)實數(shù)的概念實數(shù)的運算實數(shù)在數(shù)軸上的表示乘方通過數(shù)與數(shù)軸的對應(yīng)來幫助學(xué)生建立數(shù)形結(jié)合的思想，為以后的解析幾何做鋪墊.數(shù)的運算是其他各個數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容的基礎(chǔ).數(shù)學(xué)自身發(fā)展的需要偶次方根的特例奇次方根的特例地位及作用開方平方根立方根互為逆運算開平方開立方實數(shù)實數(shù)本章學(xué)習(xí)目標(biāo)

1．了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、立方根；2．了解開方與乘方互為逆運算，會用平方運算求某些非負(fù)數(shù)的平方根,會用立方運算求某些數(shù)的立方根，會用計算器求平方根和立方根.3．了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，理解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，有序?qū)崝?shù)對與平面上的點一一對應(yīng)；了解數(shù)的范圍由有理數(shù)擴大到實數(shù)后，概念、運算等的一致性及其發(fā)展變化.4．能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍．本章學(xué)習(xí)目標(biāo)1．了解算術(shù)平方根、平方根、立方根的概念，會用算術(shù)平方根、平方根的概念和求法以及實數(shù)的概念．平方根和實數(shù)的概念．本章重難點重點難點算術(shù)平方根、平方根的概念和求法以及實數(shù)的概念．平方根和實數(shù)的本章課時安排共9課時，其中：6.1平方根

3課時

6.2立方根

2課時6.3實數(shù)

2課時數(shù)學(xué)活動+小結(jié)

2課時本章課時安排共9課時，其中：教學(xué)建議教學(xué)建議1.

加強知識間的縱向聯(lián)系突出類比的作用1.加強知識間的縱向聯(lián)系突出類比的作用2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式引言的主要內(nèi)容本章內(nèi)容的引入（為什么學(xué)？)本章內(nèi)容的概述（學(xué)什么？)學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)（怎么學(xué)？)2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式引言的主要內(nèi)容本章本章內(nèi)容的引入教材從生活的角度提出一個物理實際問題，闡述學(xué)習(xí)平方根概念的必要性；教材從數(shù)學(xué)的角度，即邊長為１的正方形的對角線的長不是有理數(shù)說明引入無理數(shù)的必要性.2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式引入無理數(shù)重要的思維導(dǎo)向本章內(nèi)容的引入教材從生活的角度提出一個物理實際問題，闡述學(xué)習(xí)本章內(nèi)容的概述明確本章將學(xué)習(xí)平方根、立方根、實數(shù)三部分內(nèi)容。2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式本章內(nèi)容的概述明確本章將學(xué)習(xí)平方根、立方根、實數(shù)三部分內(nèi)容。學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式：類比、數(shù)形結(jié)合.2.重視章節(jié)引言特點建構(gòu)系統(tǒng)性思維方式學(xué)習(xí)方法的引導(dǎo)學(xué)習(xí)方式：類比、數(shù)形結(jié)合.2.重視章節(jié)引言特點本章概念學(xué)習(xí)方式概念形成（對內(nèi)縱向）概念同化（對外橫向)算數(shù)平方根平方根、立方根類比3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點本章概念學(xué)習(xí)方式概念形成（對內(nèi)縱向）概念同化（對外橫向)算數(shù)了解利用背景引入概念的必要性；歸納出具體實例的共同特征；定義算術(shù)平方根的概念（文字語言和符號語言）.背景引入歸納抽象概念形成算術(shù)平方根概念形成的學(xué)習(xí)方式：3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點了解利用背景引入概念的必要性；歸納出具體實例的共同特征；定義3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點算術(shù)平方根與平方根的教學(xué)建議：1、按照教材的順序設(shè)計兩個概念的教學(xué)，先學(xué)算術(shù)平方根，再學(xué)平方根；運算的發(fā)展順序2、重視對算術(shù)平方根和平方根的符號的教學(xué)，注意對符號的分析（課本46頁），符號與文字定義要聯(lián)系起來；學(xué)生認(rèn)知的難點3、要求學(xué)生熟練掌握1到20的平方.《課標(biāo)》規(guī)定“會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根”.3.把握概念學(xué)習(xí)方式落實重點突破難點算術(shù)平方根與平方立方根概念形成的學(xué)習(xí)方式：3.把握概念學(xué)習(xí)方式

落實重點突破難點加強新舊知識之間的聯(lián)系，用類比的方法進行教學(xué)。平方根概念開平方運算平方與開平方互為逆運算平方根的特征平方根的表示平方根立方根類比李瀚明老師會在單元教學(xué)設(shè)計中分析課例.立方根概念形成的學(xué)習(xí)方式：3.把握概念學(xué)習(xí)方式落實重

教科書在第5章《相交線與平行線》中安排了一節(jié)平移，探討得出平移前后的兩個圖形的對應(yīng)點的連線平行且相等平移變換的基本性質(zhì)，又將在第7章《平面直角坐標(biāo)系》中安排了用坐標(biāo)方法研究平移的內(nèi)容，從坐標(biāo)的角度進一步認(rèn)識平移變換。本章在數(shù)軸上建立了點與實數(shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，第七章將在平面直角坐標(biāo)系建立了點與有序?qū)崝?shù)對的一一對應(yīng)關(guān)系，在實數(shù)范圍內(nèi)研究平移的內(nèi)容，為后續(xù)學(xué)習(xí)利用平移變換探索平面圖形的幾何性質(zhì)以及綜合運用幾種變換（平移、旋轉(zhuǎn)、軸對稱、相似等）進行圖案設(shè)計等打下基礎(chǔ)。4.關(guān)注教材知識內(nèi)容的聯(lián)系教科書在第5章《相交線與平行線》中安排了一節(jié)平移，探使用計算器進行復(fù)雜運算，可以使學(xué)習(xí)的重點更好地集中到理解數(shù)學(xué)的本質(zhì)上來，估算是一種具有實際應(yīng)用價值的運算能力.提倡使用計算器進行復(fù)雜運算，加強估算，綜合運用筆算、計算器和估算等方式培養(yǎng)學(xué)生的運算能力，是本章的一個教學(xué)要求.5.發(fā)揮計算器作用加強估算能力培養(yǎng)計算器的應(yīng)用有理數(shù)估計無理數(shù)的大致范圍求平方根求立方根實數(shù)計算單元教學(xué)設(shè)計中提供課例《數(shù)怎么又不夠了？》.使用計算器進行復(fù)雜運算，可以使學(xué)習(xí)的重點更好地集中到6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機.資源拓展中國發(fā)現(xiàn)無理數(shù)（教師用書112頁）中文“無理數(shù)”名稱的含義（教師用書112頁）進一步理解無理數(shù)的定義，突破難點.6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化無理數(shù)的發(fā)現(xiàn)引發(fā)了數(shù)學(xué)史上的第一次危機.資源6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化華羅庚先生求解完全立方數(shù)的立方根的簡捷解法.學(xué)生查閱華羅庚先生相關(guān)資料，了解數(shù)學(xué)家及相關(guān)數(shù)學(xué)史.數(shù)學(xué)活動2據(jù)說，我國著名數(shù)學(xué)家華羅庚在一次出國訪問途中，看到飛機上鄰座的乘客閱讀的雜志上有一道智力題：一個數(shù)是59319，希望求它的立方根．華羅庚脫口而出：39．鄰座的乘客十分驚奇，忙問計算的奧妙．6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化華羅庚先生求解完全立方數(shù)的立方根的簡捷解法.6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化如果已知一個數(shù)是某個整數(shù)的立方，你還有其他方法求出這個整數(shù)嗎？布置學(xué)生閱讀資料完成自主研究問題.通過材料閱讀，現(xiàn)在你對立方根是不是有了新的認(rèn)識？請判斷12167與175616的立方根分別是多少.6.關(guān)注數(shù)學(xué)文化如果已知一個數(shù)是某個整數(shù)的立方，你還有其他方7.關(guān)注全章小結(jié)——形成知識框架運算實數(shù)按定義分按大小分有理數(shù)無理數(shù)定義有關(guān)概念非負(fù)數(shù)相反數(shù)倒數(shù)絕對值平方根和立方根近似數(shù)和科學(xué)記數(shù)法定義及分類兩種分類比較大小加減乘除乘方開方數(shù)軸實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)數(shù)形結(jié)合分類討論常見形式絕對值平方算術(shù)平方根圖像法被開方數(shù)估算法作差法7.關(guān)注全章小結(jié)——形成知識框架運算實數(shù)按定義分按大小分有理單元教學(xué)設(shè)計單元教學(xué)設(shè)計單元教學(xué)設(shè)計有理數(shù)現(xiàn)實背景引入定義表示分類性質(zhì)運算和運算律（相反數(shù)、絕對值、大?。ǚ枴D形）（外延式舉例）（現(xiàn)實內(nèi)部邏輯必然性）（確定分類標(biāo)準(zhǔn)）實數(shù)現(xiàn)實背景引入定義表示分類性質(zhì)運算和運算律（大小、在數(shù)軸上的表示）（符號、圖形）（外延式舉例）（現(xiàn)實內(nèi)部邏輯必然性）（確定分類標(biāo)準(zhǔn)）單元教學(xué)設(shè)計有理數(shù)現(xiàn)實背景引入定義表示分類性質(zhì)運算和運算律（第六章實數(shù)單元一平方根單元二立方根單元三實數(shù)算術(shù)平方根概念性質(zhì)應(yīng)用（數(shù)怎么又不夠了）類比概念性質(zhì)應(yīng)用數(shù)域擴充類比有理數(shù)單元教學(xué)設(shè)計第六章實數(shù)單元一平方根單元二立方根單元三實數(shù)算《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2

的小正方形通過剪裁拼接成一個面積為2dm2

的大正方形.

張健《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2

的小正方形通過剪裁拼接成一個面積為2dm2

的大正方形.

《數(shù)怎么又不夠了？》探究1嘗試用兩個面積為1dm2問題拼成的這個面積為2dm2

的大正方形的邊長應(yīng)該是多少呢？《數(shù)怎么又不夠了？》?問題拼成的這個面積為2dm2的大正方形的邊長應(yīng)該

《數(shù)怎么又不夠了？》?

《數(shù)怎么又不夠了？》?

《數(shù)怎么又不夠了？》?因為相比于02與32這兩個被開方數(shù)來說，12和22更接近于2，所以我們在選取被開方數(shù)時，應(yīng)選取更接近于2兩邊的數(shù)值.

《數(shù)怎么又不夠了？》?因為相比于02與32這兩個被開方數(shù)來

《數(shù)怎么又不夠了？》

繼續(xù)探究小數(shù)點后的十分位、百分位、千分位上的數(shù)字

如果從1.5開始驗證因為1.52=2.25>2，所以1.6至1.9我們就不需要再計算了；而如果從1.92=3.61>2，還要繼續(xù)運算1.8，1.7，1.6……所以從中間1.5開始驗證相對來說效率更高.兩名同學(xué)為一個小組，一名同學(xué)負(fù)責(zé)按計算器，另一名同學(xué)負(fù)責(zé)記錄，兩人互相檢查操作是否正確.

《數(shù)怎么又不夠了？》

繼續(xù)探究小數(shù)點后的十分位、百分位、千

《數(shù)怎么又不夠了？》問題按照這種方法，在確定了1.52=2.25>2之后，我們可以嘗試計算哪個數(shù)的平方？按照這種方法，請各小組繼續(xù)探究小數(shù)點后第2位、第3位…上的數(shù)字是幾？

《數(shù)怎么又不夠了？》問題按照這種方法，在確定了1.5

《數(shù)怎么又不夠了？》觀察我們的研究過程，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？還能繼續(xù)這樣算下去嗎？a2b212=1222=41.42=1.9621.52=2.251.412=1.988121.422=2.01641.4142=1.99939621.4152=2.0022251.414

21356232=1.9999999979325621.41421356242=2.000000000076098……

《數(shù)怎么又不夠了？》觀察我們的研究過程，你有什么樣的發(fā)現(xiàn)？《數(shù)怎么又不夠了？》欣賞課本P37的圖片，并觀察數(shù)字的特點：小數(shù)點后464位可不可能到小數(shù)點后第465位就結(jié)束了，或者就循環(huán)了呢？《數(shù)怎么又不夠了？》欣賞課本P37的圖片，并觀察數(shù)字的特點：《數(shù)怎么又不夠了？》

由于

是小數(shù)，所以只需確認(rèn)

不是有限小數(shù)也不是無限循環(huán)小數(shù)，只要說明它不是整數(shù)也不是分?jǐn)?shù)。顯然

不是整數(shù)，則只需要證明

不是分?jǐn)?shù)。我們可以采用反證法，假設(shè)

是有理數(shù)，于是可以用兩個整數(shù)

m、n

表示為

∴2m2=n2，即2×m×m=n×n∴等式左邊2m2是偶數(shù)∴等式右邊n2也是偶數(shù)∴n也是偶數(shù)∴這個式子的右邊有偶數(shù)個2因子，∵當(dāng)m為偶數(shù)時，m×m有偶數(shù)個2的因子；

當(dāng)m為奇數(shù)時，m×m沒有2的因子∴這個式子的左邊2×m×m有奇數(shù)個2因子，與這個式子的右邊有偶數(shù)個2因子矛盾！所以假設(shè)是錯誤的.《數(shù)怎么又不夠了？》由于是小數(shù)，所以只需確認(rèn)不是有《數(shù)怎么又不夠了？》既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，它是無限不循環(huán)小數(shù)．類似用反證法也可以說明也是無限不循環(huán)小數(shù)．

我們把無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)．有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)．《數(shù)怎么又不夠了？》既不是整數(shù)，也不是分?jǐn)?shù)，它是無限《立方根1》建立研究結(jié)構(gòu)1.請同學(xué)們回顧并簡要敘述平方根的學(xué)習(xí)過程.2.請同學(xué)們類比平方根的學(xué)習(xí)過程，制定立方根的學(xué)習(xí)方案.李瀚明平方根概念開平方運算平方與開平方互為逆運算平方根的特征平方根的表示平方根3.請同學(xué)們用自己的方式匯報并整理立方根的相關(guān)知識.《立方根1》建立研究結(jié)構(gòu)1.請同學(xué)們回顧并簡要敘述平方根的學(xué)逆運算互為平方根平方根立方根概念若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)叫做a的平方根或二次方根.若一個數(shù)的立方等于a，那么這個數(shù)叫做a的立方根或三次方根.符號表示特點a>0有兩個平方根，且互為相反數(shù).有一個立方根，是正數(shù).a=0有一個平方根，是0.有一個平方根，是0.a<0沒有平方根.有一個立方根，是負(fù)數(shù).《立方根1》根指數(shù)被開方數(shù)思考請你說說數(shù)的平方根與數(shù)的立方根有什么異同？開平方開立方平方立方乘方開方逆運算互為逆運算互為已知與未知的轉(zhuǎn)換乘方開方乘方對數(shù)逆運算互為逆運算互為逆運算平方根平方根立方根概念若一個數(shù)的平方等于a，那么這個數(shù)《立方根1》

問題請同學(xué)們再多舉幾組例子，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？一般的：

探索立方根的性質(zhì)《立方根1》

問題請同學(xué)們再多舉幾組例子，你能《立方根1》擴展應(yīng)用，加深理解問題

我們知道平方根可以解決已知正方形面積求邊長的實際問題，那么立方根可以解決哪些實際問題呢？請舉例.

問題

立方根還可以解決哪些數(shù)學(xué)問題呢？請舉例.

《立方根1》擴展應(yīng)用，加深理解問題我們知道平方根可以解決《立方根1》課堂小結(jié)，反思提升通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收獲和體會？《立方根1》課堂小結(jié)，反思提升通過對本節(jié)課的學(xué)習(xí)，你有哪些收典型例題及習(xí)題典型例題及習(xí)題1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念歷年中考題2016年：2017年：2018年：2020年：《課程標(biāo)準(zhǔn)》：會用平方運算求百以內(nèi)整數(shù)的平方根，會用立方根運算求百以內(nèi)整數(shù)（對應(yīng)的負(fù)整數(shù)）的立方根.《課程標(biāo)準(zhǔn)》：了解平方根、算術(shù)平方根、立方根概念，會用根號表示平方根、算術(shù)平方根、立方根.1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念歷年中考題2016年：21.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視教材例題解答過程教材中的例題，展示了求數(shù)的算術(shù)平方根和平方根的思考過程.開始階段，宜讓學(xué)生適當(dāng)模仿，進一步理解概念的意義.1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視教材例題解答過程教材重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念例如，例1求100的算術(shù)平方根“因為，所以100的算術(shù)平方根是10，即.例如，

求100的平方根“因為，所以100的算術(shù)平方根是10，即.明確算術(shù)平方根和平方根的概念,強化學(xué)生對符號的認(rèn)識.重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念重視邏輯推理——立足定義1.鞏固計算嚴(yán)謹(jǐn)推理理解概念例如，例3解方程得到的結(jié)果是x=.學(xué)生可能在此存在疑惑，是最終結(jié)果嗎？會認(rèn)為沒有算完.老