2016年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)夏令營(yíng)初賽試題及解答

2016年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)夏令營(yíng)初賽試題本試卷共題，每題30分，滿(mǎn)分120分，考試時(shí)間 分鐘．1、已知銳角△ABC中，∠B=600，P為AB中點(diǎn)，Q為外接圓上弧AC(不包括點(diǎn)的中點(diǎn)，H為△ABC的垂心．假如P,H,Q三點(diǎn)共線(xiàn)，求∠A．2、求全部的整系數(shù)多項(xiàng)式 P(x)，使得存在一個(gè)無(wú)量項(xiàng)整數(shù)數(shù)列 {an}，此中隨意兩項(xiàng)互不相等，且知足：P(a)=01

k+1

)=ak

(k=1,2,3、給定正整數(shù)有2n張紙牌疊成一堆，從上到下挨次編號(hào)為 1到我們進(jìn)行這樣的操作：每次將全部從上往下數(shù)偶數(shù)地點(diǎn)的牌抽出來(lái)， 保持次序放在牌堆下方． 比如n=3時(shí)，初始次序?yàn)椴僮骱蟀ご潍@得 135246，154326，142536，123456．證明：對(duì)隨意正整數(shù)

n操作不超出

2n-2次后，這堆牌的次序會(huì)變回初始狀態(tài)．4、給定正整數(shù)p,qa=a=1，a=pa+qa

(n=1,2,3求證：要使得對(duì)1 2 n+2 n+1 n隨意正整數(shù)均有(a,a)=a ，當(dāng)且僅當(dāng)p=1時(shí)建立．mn (m,n)2016年北京大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)夏令營(yíng)初賽試題參照答案1、答案 750．解如圖，設(shè)O為外接圓圓心，延伸CO交外接圓于D，則四邊形BHAD為平行四邊形，所以D,P,H三點(diǎn)共線(xiàn)，從而D,P,H,Q四點(diǎn)共線(xiàn)．連結(jié)OH,BQ，由∠B=600，于是BH=AD=CD/2=OQ,又OB=OQ，所以BHQO為菱形，從而∠OBC=∠OCB=∠BAD=∠HBA,又∠BCD=∠BQD=∠OBQ=∠HBQ,所以BO,BQ,BH將∠CBA四平分，從而不難得悉∠A=750．2、答案 P(x)=x+C，此中11/3解設(shè)P(x)=λ+λx+?+λxm,0 1 m此中m∈N?，λ∈Z(i=0,1,2,?,m)，則iP(a而

k+1

)-P(ak+2

)=ak

-ak+1

,k=1,2,?,P(a所以

k+1

)-P(ak+2

)=

(a1

-ak+2

)+

(a2

k+1

-

k+2

)+

(am

k+1

-

),k+2(a-a)(a-a),k=1,2,?,k+1所以

k+2 k k+1∣a-?∣a-∣???

-a|?|a-

|??.1 2 2

k k+1

k+1

k+2因?yàn)楱Oa-的值有限，所以必定存在 K，使適當(dāng)k?K且時(shí)，有1 2∣a-ak k+1

∣=∣ak+1

-ak+2

∣=∣ak+2

-ak+3

∣=?.因?yàn)閿?shù)列{a中隨意兩項(xiàng)互不相等，所以有n所以有

a-a=a-a=a-ak k+1 k+1 k+2 k+2

=?,若m?2，則方程

P(a

k+1

)-ak+1

k+2

)-ak+2P(x)-x=P(a)-aK+1 K+1有無(wú)數(shù)個(gè)解，矛盾．這樣獲得了全部切合題意的整系數(shù)多項(xiàng)式 P(x)=x+C，此中常數(shù)3、證明 我們證明一個(gè)等價(jià)的命題，將每次操作改為先從上往下取后一半的數(shù)出來(lái)，而后與前一半交錯(cuò)擱置近似于洗撲克牌如初始次序?yàn)?123456，操作后挨次獲得 154326，135246，123456．將紙牌按順時(shí)針擺放，使得第一張牌和最后一張牌 (它們一直為1和2n)重合，將第一張牌的地點(diǎn)記為

1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)將其余牌的地點(diǎn)挨次記為

2,3,定義紙牌m順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到紙牌 時(shí)旋轉(zhuǎn)的步數(shù)為紙d(2→3)=3．

m到n的距離，記為，如圖中下邊證明經(jīng)過(guò)kN?)后d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-12n),用數(shù)學(xué)概括法．概括基礎(chǔ)命題建立．

當(dāng)k=1時(shí)，有

d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-

2n)=1,概括假定與遞推證明 設(shè)當(dāng)k=p時(shí)，有d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n不難計(jì)算得經(jīng)過(guò)操作后地點(diǎn) x的紙牌將會(huì)挪動(dòng)到地點(diǎn)

12n)=q.f(x)=(2x-1)%(2n-1),22/3此中t%s表示模s的余數(shù)，所以本來(lái)距離為q的紙牌在操作后距離為(2q)%(2n-p+1次操作后，仍舊有

所以經(jīng)過(guò)d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-12n).綜上所述，經(jīng)過(guò)k次操作后d(1→2)=d(2→3)=?=d(2n-12n).這就意味著當(dāng)紙牌 2的地點(diǎn)確準(zhǔn)時(shí)，其余全部紙牌的地點(diǎn)都能夠依賴(lài)該性質(zhì)確立．而紙牌 2至多只有2n-2種可能的地點(diǎn)，而且紙牌2的所在的地點(diǎn)不行能出現(xiàn)不包括地點(diǎn) 2的循環(huán)．這是因?yàn)椴僮魇悄軌蚍聪虻?，所以假如出現(xiàn)不包括地點(diǎn) 22的循環(huán)，那么能夠判定最先的狀態(tài)紙牌2所在的地點(diǎn)不行能為2n-次操作后，紙牌2必定回到地點(diǎn)證．4、證明 必需性依據(jù)題意，有而由(a3

)=a4

，可得(p,q)=1；又由(a1 3

)=a6

，可得32 2即所以p=1．充足性 當(dāng)p=1時(shí)，an+2

n+1

+qa

p+q∣pq+q,p+q∣pq(p-1)+q(p+q),，于是n（an+2

,q)=(an+1

+qa

,q)n=(a,q)=?=(an+1,q)=1,1從而(a,a)=(a,a+qa)n+1 n+2 n+1 n+1 n=(a,a)=?n+1 n=(a,a)=1.1 20記a=0，用數(shù)學(xué)概括法能夠證明對(duì)隨意 m,n∈N?，m?均有0a=aa +qa