2018年全國高考理科數(shù)學(xué)(全國一卷)試題及參考答案

2018年全國普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試（全國一卷）理科數(shù)學(xué)一、選擇題：（本題有12小題，每小題5分，共60分。）1、設(shè)z=，則∣z∣=（）A.0B.C.1D.2、已知集合A={x|x2-x-2>0}，則A=（）A、{x|-1<x<2}B、{x|-1≤x≤2}C、{x|x<-1}∪{x|x>2}D、{x|x≤-1}∪{x|x≥2}3、某地區(qū)經(jīng)過一年的新農(nóng)村建設(shè)，農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入增加了一倍，實(shí)現(xiàn)翻番，為更好地了解該地區(qū)農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入變化情況，統(tǒng)計(jì)了該地區(qū)新農(nóng)村建設(shè)前后農(nóng)村的經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例，得到如下餅圖：建設(shè)后經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例建設(shè)前經(jīng)濟(jì)收入構(gòu)成比例則下面結(jié)論中不正確的是（）A.新農(nóng)村建設(shè)后，種植收入減少B.新農(nóng)村建設(shè)后，其他收入增加了一倍以上C.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入增加了一倍D.新農(nóng)村建設(shè)后，養(yǎng)殖收入與第三產(chǎn)業(yè)收入的總和超過了經(jīng)濟(jì)收入的一半4、記Sn為等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若3S3=S2+S4，a1=2，則a5=（）A、-12B、-10C、10D、125、設(shè)函數(shù)f（x）=x3+（a-1）x2+ax.若f（x）為奇函數(shù)，則曲線y=f（x）在點(diǎn)（0，0）處的切線方程為（）A.y=-2xB.y=-xC.y=2xD.y=x6、在?ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則=（）A.-B.-C.+D.+7、某圓柱的高為2，底面周長為16，其三視圖如右圖。圓柱表面上的點(diǎn)M在正視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為A，圓柱表面上的點(diǎn)N在左視圖上的對應(yīng)點(diǎn)為B，則在此圓柱側(cè)面上，從M到N的路徑中，最短路徑的長度為（）A.2B.2C.3D.28.設(shè)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)為F，過點(diǎn)（-2，0）且斜率為的直線與C交于M，N兩點(diǎn)，則·=()A.5B.6C.7D.89.已知函數(shù)f（x）=g（x）=f（x）+x+a，若g（x）存在2個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是()A.[-1，0）B.[0，+∞）C.[-1，+∞）D.[1，+∞）10.下圖來自古希臘數(shù)學(xué)家希波克拉底所研究的幾何圖形。此圖由三個(gè)半圓構(gòu)成，三個(gè)半圓的直徑分別為直角三角形ABC的斜邊BC，直角邊AB，AC.△ABC的三邊所圍成的區(qū)域記為Ⅰ，黑色部分記為Ⅱ，其余部分記為Ⅲ。在整個(gè)圖形中隨機(jī)取一點(diǎn)，此點(diǎn)取自Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別記為p1，p2，p3，則()A.p1=p2B.p1=p3C.p2=p3D.p1=p2+p311.已知雙曲線C：-y2=1，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，F(xiàn)為C的右焦點(diǎn)，過F的直線與C的兩條漸近線的交點(diǎn)分別為M，N.若△OMN為直角三角形，則∣MN∣=()A.B.3C.D.412.已知正方體的棱長為1，每條棱所在直線與平面所成的角都相等，則截此正方體所得截面面積的最大值為（）A.B.C.D.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13.若x，y滿足約束條件則z=3x+2y的最大值為.14.記Sn為數(shù)列｛an｝的前n項(xiàng)和.若Sn=2an+1，則S6=.15.從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有種.（用數(shù)字填寫答案）16.已知函數(shù)f（x）=2sinx+sin2x，則f（x）的最小值是.三.解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第17～21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17.（12分）在平面四邊形ABCD中，∠ADC=90°，∠A=45°，AB=2，BD=5.（1）求cos∠ADB；（2）若DC=18.（12分），求BC.如圖，四邊形ABCD為正方形，E，F(xiàn)分別為AD，BC的中點(diǎn)，以DF為折痕把?DFC折起，使點(diǎn)C到達(dá)點(diǎn)P的位置，且PF⊥BF.（1）證明：平面PEF⊥平面ABFD；（2）求DP與平面ABFD所成角的正弦值.19.（12分）設(shè)橢圓C：+y2=1的右焦點(diǎn)為F，過F的直線l與C交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)M的坐標(biāo)為（2，0）.（1）當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，求直線AM的方程；（2）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，證明：∠OMA=∠OMB.20、（12分）某工廠的某種產(chǎn)品成箱包裝，每箱200件，每一箱產(chǎn)品在交付用戶之前要對產(chǎn)品作檢驗(yàn)，如檢驗(yàn)出不合格品，則更換為合格品，檢驗(yàn)時(shí)，先從這箱產(chǎn)品中任取20件產(chǎn)品作檢驗(yàn)，再根據(jù)檢驗(yàn)結(jié)果決定是否對余下的所有產(chǎn)品做檢驗(yàn)，設(shè)每件產(chǎn)品為不合格品的概率都為P（0<P<1），且各件產(chǎn)品是否為不合格品相互獨(dú)立。（1）記20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為f（P），求f（P）的最大值點(diǎn)。（2）現(xiàn)對一箱產(chǎn)品檢驗(yàn)了20件，結(jié)果恰有2件不合格品，以（1）中確定的作為P的值，已知每件產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用為2元，若有不合格品進(jìn)入用戶手中，則工廠要對每件不合格品支付25元的賠償費(fèi)用。（i）若不對該箱余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，這一箱產(chǎn)品的檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用的和記為X，求EX；（ii）以檢驗(yàn)費(fèi)用與賠償費(fèi)用和的期望值為決策依據(jù)，是否該對這箱余下的所有產(chǎn)品作檢驗(yàn)？21、（12分）已知函數(shù).（1）討論f（x）的單調(diào)性；（2）若f（x）存在兩個(gè)極值點(diǎn)x1,x2,證明：.（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答。如果多做，則按所做的第一題計(jì)分。22.[選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程]（10分）在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C?的方程為y=k∣x∣+2.以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C?的極坐標(biāo)方程為2+2cos-3=0.（1）求C?的直角坐標(biāo)方程:（2）若C?與C?有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C?的方程.23.[選修4-5：不等式選講]（10分）已知f（x）=∣x+1∣-∣ax-1∣.（1）當(dāng)a=1時(shí)，求不等式f（x）﹥1的解集；（2）若x∈（0，1）時(shí)不等式f（x）﹥x成立，求a的取值范圍.絕密★啟用前2018年普通高等學(xué)校招生全國統(tǒng)一考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試題參考答案一、選擇題1．C7．B2．B8．D3．A9．C4．B5．D6．A12．A10．A11．B二、填空題13．14．15．16．三、解答題17．解：（1）在中，由正弦定理得所以.由題設(shè)知，由題設(shè)知，.所以.（2）由題設(shè)及（1）知，.在中，由余弦定理得所以.18．解：（1）由已知可得，，，所以平面.又平面，所以平面平面.（2）作，垂足為.由（1）得，的方向?yàn)閥軸正方向，.又平面.以為坐標(biāo)原點(diǎn)，為單位長，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.由（1）可得，，，所以.又，，故.可得則，.,，，，為平面的法向量.設(shè)與平面所成角為，則.所以與平面所成角的正弦值為.19．解：（1）由已知得，的方程為.由已知可得，點(diǎn)A的坐標(biāo)為或.所以AM的方程為或.（2）當(dāng)l與x軸重合時(shí)，.當(dāng)l與x軸垂直時(shí)，OM為AB的垂直平分線，所以.當(dāng)l與x軸不重合也不垂直時(shí)，設(shè)l的方程為線MA，MB的斜率之和為，，，則，，直.由，得.將代入得.所以，則..從而，故MA，MB的傾斜角互補(bǔ).所以.綜上，20．解：.（1）20件產(chǎn)品中恰有2件不合格品的概率為.因此.令.，得.當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.所以的最大值點(diǎn)為，即（2）由（1）知，.（?。┝頨表示余下的180件產(chǎn)品中的不合格品件數(shù)，依題意知，.所以.（ⅱ）如果對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn)，則這一箱產(chǎn)品所需要的檢驗(yàn)費(fèi)為400元.由于，故應(yīng)該對余下的產(chǎn)品作檢驗(yàn).21．解：（1）的定義域?yàn)椋?（?。┤簦áⅲ┤?，則，令，當(dāng)且僅當(dāng)?shù)茫?，時(shí)，所以在單調(diào)遞減.或.當(dāng)當(dāng)時(shí)，；時(shí)，.所以在，單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增.（2）由（1）知，存在兩個(gè)極值點(diǎn)當(dāng)且僅當(dāng).由于的兩個(gè)極值點(diǎn)，滿足，所以，不妨設(shè)，則.由于，所以等價(jià)于.設(shè)函數(shù)所以，由（1）知，在單調(diào)遞減，又，從而當(dāng)時(shí)，.，即.22．解：（1）由，得的直角坐標(biāo)方程為.（2）由（1）知是圓心為，半徑為的圓.由題設(shè)知，是過點(diǎn)且關(guān)于軸對稱的兩條射線.記軸右邊的射線為，軸左邊的射線為.由于在圓的外面，故與有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn)，或與只有一個(gè)公共點(diǎn)且與有兩個(gè)公共點(diǎn).當(dāng)與只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，到所在直線的距離為，所以，故或.經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng).經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，與沒有公共點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，與