2022-2023學(xué)年廣東省揭陽市普寧市九年級數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末綜合測試模擬試題含解析

2022-2023學(xué)年九上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑，如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題(每小題3分,共30分)1．如下是一種電子記分牌呈現(xiàn)的數(shù)字圖形，其中既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是()A． B． C． D．2．如圖，AB是半圓O的直徑，半徑OC⊥AB于O，AD平分∠CAB交于點(diǎn)D，連接CD，OD，BD．下列結(jié)論中正確的是（）A．AC∥OD B．C．△ODE∽△ADO D．3．若反比例函數(shù)y=的圖象位于第二、四象限，則k的取值可以是（）A．0 B．1 C．2 D．以上都不是4．一個(gè)不透明的布袋里裝有5個(gè)只有顏色不同的球，其中2個(gè)紅球，3個(gè)白球，從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球，摸出紅球的概率是()A． B． C． D．5．從甲、乙、丙、丁四人中選一人參加詩詞大會比賽，經(jīng)過三輪初賽，他們的平均成績都是86分，方差如下表，你認(rèn)為派誰去參賽更合適（）選手甲乙丙丁方差1.52.63.53.68A．甲 B．乙 C．丙 D．丁6．遵義市脫貧攻堅(jiān)工作中農(nóng)村危房改造惠及百萬余人，2008年以來全市累計(jì)實(shí)施農(nóng)村危房改造40.37萬戶，其中的數(shù)據(jù)40.37萬用科學(xué)記數(shù)法表示為（）A． B． C． D．7．如圖，在正方形ABCD中，AB＝5，點(diǎn)M在CD的邊上，且DM＝2，△AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線對稱，將△ADM按順時(shí)針方向繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，連接EF，則線段EF的長為（）A． B． C． D．8．下列圖形中，既是中心對稱圖形又是軸對稱圖形的是（）A． B． C． D．9．拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）A．（2，9） B．（2，-9）C．（-2，9） D．（-2，-9）10．如圖，在中，．以為直徑作半圓，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，則的度數(shù)是（）A． B． C． D．二、填空題(每小題3分,共24分)11．在△ABC中，AB=AC=5，BC=8，若∠BPC=∠BAC，tan∠BPC=_______________.12．（2016廣東省茂名市）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，將△ABO繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1BO1的位置，使點(diǎn)A的對應(yīng)點(diǎn)A1落在直線上，再將△A1BO1繞點(diǎn)A1順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△A1B1O2的位置，使點(diǎn)O1的對應(yīng)點(diǎn)O2落在直線上，依次進(jìn)行下去…，若點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)是（，1），則點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)是__________．13．一男生推鉛球，鉛球行進(jìn)高度y與水平距離x之間的關(guān)系是，則鉛球推出的距離是_____．此時(shí)鉛球行進(jìn)高度是_____．14．如圖，⊙O的半徑為2，正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，對角線CE、DF相交于點(diǎn)M，則△MEF的面積是_____．15．由n個(gè)相同的小正方體堆成的幾何體，其視圖如下所示，則n的最大值是_____．16．一只小狗自由自在地在如圖所示的某個(gè)正方形場地跑動，然后隨意停在圖中陰影部分的概率是__．17．已知點(diǎn)，都在反比例函數(shù)圖象上，則____(填“”或“”或“”)．18．如圖，在邊長為4的菱形ABCD中，∠A=60°，M是AD邊的中點(diǎn)，點(diǎn)N是AB邊上一動點(diǎn)，將△AMN沿MN所在的直線翻折得到△A′MN，連接A′C，則線段A′C長度的最小值是______．三、解答題(共66分)19．（10分）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，圓心O在AB上，過點(diǎn)B作⊙O的切線交AC的延長線于點(diǎn)D．（1）求證：△ABC∽△BDC．（2）若AC=8，BC=6，求△BDC的面積．20．（6分）如圖，有一路燈桿AB（底部B不能直接到達(dá)），在燈光下，小華在點(diǎn)D處測得自己的影長DF＝3m，沿BD方向到達(dá)點(diǎn)F處再測得自己的影長FG＝4m．如果小華的身高為1.5m，求路燈桿AB的高度．21．（6分）如圖，在梯形中，，，是延長線上的點(diǎn)，連接，交于點(diǎn)．（1）求證：∽（2）如果，，，求的長．22．（8分）如圖，平面直角坐標(biāo)系xOy中點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，1），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（3，3），拋物線經(jīng)過A、O、B三點(diǎn)，連接OA、OB、AB，線段AB交y軸于點(diǎn)E．（1）求點(diǎn)E的坐標(biāo)；（2）求拋物線的函數(shù)解析式；（3）點(diǎn)F為線段OB上的一個(gè)動點(diǎn)（不與點(diǎn)O、B重合），直線EF與拋物線交于M、N兩點(diǎn)（點(diǎn)N在y軸右側(cè)），連接ON、BN，當(dāng)四邊形ABNO的面積最大時(shí)，求點(diǎn)N的坐標(biāo)并求出四邊形ABNO面積的最大值．23．（8分）如圖，正方形的邊長為，，，，分別是，，，上的動點(diǎn)，且．（1）求證：四邊形是正方形；（2）求四邊形面積的最小值．24．（8分）如圖，為了估算河的寬度，我們可以在河對岸選定一點(diǎn)，再在河的這一邊選定點(diǎn)和點(diǎn)，使得，然后選定點(diǎn)，使，確定與的交點(diǎn)，若測得米，米，米，請你求出小河的寬度是多少米？25．（10分）如圖，已知拋物線與x軸交于A、B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）直接寫出點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)；（2）在拋物線的對稱軸上存在一點(diǎn)P，使得PA+PC的值最小，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；（3）點(diǎn)D是第一象限內(nèi)拋物線上的一個(gè)動點(diǎn)（與點(diǎn)C、B不重合）過點(diǎn)D作DF⊥x軸于點(diǎn)F，交直線BC于點(diǎn)E，連接BD，直線BC把△BDF的面積分成兩部分，使，請求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；（4）若M為拋物線對稱軸上一動點(diǎn)，使得△MBC為直角三角形，請直接寫出點(diǎn)M的坐標(biāo)．26．（10分）如圖，⊙O的弦AB、CD的延長線相交于點(diǎn)P，且AB＝CD．求證PA＝PC．

參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、C【分析】根據(jù)軸對稱和中心對稱圖形的概念可判別.【詳解】（A）既不是軸對稱也不是中心對稱;（B）是軸對稱但不是中心對稱；（C）是軸對稱和中心對稱；（D）是中心對稱但不是軸對稱故選：C2、A【分析】A.根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)，利用等量代換求證∠CAD=∠ADO即可；

B.過點(diǎn)E作EF⊥AC，根據(jù)角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等可得OE=EF，再根據(jù)直角三角形斜邊大于直角邊可證；

C.兩三角形中，只有一個(gè)公共角的度數(shù)相等，其它兩角不相等，所以不能證明③△ODE∽△ADO；

D.根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出∠CAD=∠BAD，根據(jù)在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弦相等，可得CD=BD，又因?yàn)镃D+BD>BC,又由AC=BC可得AC<2CD，從而可判斷D錯(cuò)誤．【詳解】解：解：A.∵AB是半圓直徑，

∴AO=OD，

∴∠OAD=∠ADO，

∵AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，

∴∠CAD=∠DAO=∠CAB，

∴∠CAD=∠ADO，

∴AC∥OD，

∴A正確．

B.如圖，過點(diǎn)E作EF⊥AC，

∵OC⊥AB，AD平分∠CAB交弧BC于點(diǎn)D，

∴OE=EF，

在Rt△EFC中，CE＞EF，

∴CE＞OE，

∴B錯(cuò)誤．

C.∵在△ODE和△ADO中，只有∠ADO=∠EDO，

∵∠COD=2∠CAD=2∠OAD，

∴∠DOE≠∠DAO，

∴不能證明△ODE和△ADO相似，

∴C錯(cuò)誤；D.∵AD平分∠CAB交于點(diǎn)D，∴∠CAD=∠BAD.∴CD=BD∴BC<CD+BD=2CD,∵半徑OC⊥AB于O，∴AC=BC,∴AC<2CD，∴D錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)，圓心角、弧、弦的關(guān)系，圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點(diǎn)的靈活運(yùn)用，此題步驟繁瑣，但相對而言，難易程度適中，很適合學(xué)生的訓(xùn)練．3、A【詳解】∵反比例函數(shù)y=的圖象位于第二、四象限，∴k﹣1＜0，即k＜1．故選A．4、C【解析】∵2個(gè)紅球、3個(gè)白球，一共是5個(gè)，∴從布袋中隨機(jī)摸出一個(gè)球,摸出紅球的概率是.故選C.5、A【分析】根據(jù)方差的意義即可得．【詳解】方差越小，表示成績波動性越小、越穩(wěn)定觀察表格可知，甲的方差最小，則派甲去參賽更合適故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查了方差的意義，掌握理解方差的意義是解題關(guān)鍵．6、B【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n為整數(shù)．確定n的值時(shí)，要看把原數(shù)變成a時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動了多少位，n的絕對值與小數(shù)點(diǎn)移動的位數(shù)相同．當(dāng)原數(shù)絕對值＞10時(shí)，n是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對值＜1時(shí)，n是負(fù)數(shù)．【詳解】解：根據(jù)科學(xué)記數(shù)法的定義：40.37萬=故選：B.【點(diǎn)睛】此題考查的是科學(xué)記數(shù)法,掌握科學(xué)記數(shù)法的定義是解決此題的關(guān)鍵.7、A【分析】連接BM．先判定△FAE≌△MAB（SAS），即可得到EF＝BM．再根據(jù)BC＝CD＝AB＝1，CM＝2，利用勾股定理即可得到，Rt△BCM中，BM＝，進(jìn)而得出EF的長．【詳解】解：如圖，連接BM．∵△AEM與△ADM關(guān)于AM所在的直線對稱，∴AE＝AD，∠MAD＝∠MAE．∵△ADM按照順時(shí)針方向繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)90°得到△ABF，∴AF＝AM，∠FAB＝∠MAD．∴∠FAB＝∠MAE∴∠FAB+∠BAE＝∠BAE+∠MAE．∴∠FAE＝∠MAB．∴△FAE≌△MAB（SAS）．∴EF＝BM．∵四邊形ABCD是正方形，∴BC＝CD＝AB＝1．∵DM＝2，∴CM＝2．∴在Rt△BCM中，BM＝，∴EF＝，故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查正方形的性質(zhì)、三角形的判定和性質(zhì),關(guān)鍵在于做好輔助線,熟記性質(zhì).8、A【分析】根據(jù)中心對稱圖形的定義和軸對稱的定義逐一判斷即可.【詳解】A選項(xiàng)是中心對稱圖形,也是軸對稱圖形,故A符合題意;B選項(xiàng)是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故B不符合題意;C選項(xiàng)不是中心對稱圖形,是軸對稱圖形,故C不符合題意;D選項(xiàng)是中心對稱圖形,不是軸對稱圖形,故D不符合題意.故選：A.【點(diǎn)睛】此題考查的是中心對稱圖形的識別和軸對稱圖形的識別，掌握中心對稱圖形的定義和軸對稱圖形的定義是解決此題的關(guān)鍵.9、A【分析】把拋物線解析式化為頂點(diǎn)式即可求得答案．【詳解】∵，∴頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，9）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的頂點(diǎn)式是解答此題的關(guān)鍵，即在中，對稱軸為x=h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（h，k）．10、A【分析】連接BE、AD，根據(jù)直徑得出∠BEA=∠ADB=90°，求出∠ABE、∠DAB、∠DAC的度數(shù)，根據(jù)圓周角定理求出即可．【詳解】解：連接BE、AD，

∵AB是圓的直徑，

∴∠ADB=∠AEB=90°，

∴AD⊥BC，

∵AB=AC，∠C=70°，

∴∠ABD=∠C=70°.∠BAC=2∠BAD∴.∠BAC=2∠BAD=2（90°-70°）=40°，∵∠BAC+=90°

∴=50°．故選A.【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識，準(zhǔn)確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.二、填空題(每小題3分,共24分)11、【詳解】試題分析：如圖，過點(diǎn)A作AH⊥BC于點(diǎn)H，∵AB=AC，∴AH平分∠BAC，且BH=BC=4.又∵∠BPC=∠BAC，∴∠BAH=∠BPC.∴tan∠BPC=tan∠BAH.在Rt△ABH中，AB=5，BH=4，∴AH=1．∴tan∠BAH=.∴tan∠BPC=.考點(diǎn)：1.等腰三角形的性質(zhì)；2.銳角三角函數(shù)定義；1.轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用.12、．【解析】試題分析：由題意點(diǎn)A2的橫坐標(biāo)（+1），點(diǎn)A4的橫坐標(biāo)3（+1），點(diǎn)A6的橫坐標(biāo)（+1），點(diǎn)A8的橫坐標(biāo)6（+1）．考點(diǎn)：（1）坐標(biāo)與圖形變化-旋轉(zhuǎn)；（2）一次函數(shù)圖象與幾何變換13、12【分析】鉛球落地時(shí)，高度，把實(shí)際問題理解為當(dāng)時(shí)，求x的值即可．【詳解】鉛球推出的距離就是當(dāng)高度時(shí)x的值當(dāng)時(shí)，解得：（不合題意，舍去）則鉛球推出的距離是1．此時(shí)鉛球行進(jìn)高度是2故答案為：1；2．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，理解鉛球推出的距離就是當(dāng)高度時(shí)x的值是解題關(guān)鍵．14、2﹣【分析】設(shè)OE交DF于N，由正八邊形的性質(zhì)得出DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，由垂徑定理得出∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，得出△ONF是等腰直角三角形，因此ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，得出EN＝OE﹣OM＝2﹣，證出△EMN是等腰直角三角形，得出MN＝EN，得出MF＝OE＝2，由三角形面積公式即可得出結(jié)果．【詳解】解：設(shè)OE交DF于N，如圖所示：∵正八邊形ABCDEFGH內(nèi)接于⊙O，∴DE＝FE，∠EOF＝＝45°，，∴∠OEF＝∠OFE＝∠OED，OE⊥DF，∴△ONF是等腰直角三角形，∴ON＝FN＝OF＝，∠OFM＝45°，∴EN＝OE﹣OM＝2﹣，∠OEF＝∠OFE＝∠OED＝67.5°，∴∠CED＝∠DFE＝67.5°﹣45°＝22.5°，∴∠MEN＝45°，∴△EMN是等腰直角三角形，∴MN＝EN，∴MF＝MN+FN＝ON+EN＝OE＝2，∴△MEF的面積＝MF×EN＝×2×（2﹣）＝2﹣；故答案為：2﹣．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的綜合，難度系數(shù)較高，解題關(guān)鍵是根據(jù)正八邊形的性質(zhì)得出每個(gè)角的度數(shù).15、1【分析】根據(jù)主視圖和俯視圖得出幾何體的可能堆放，從而即可得出答案．【詳解】綜合主視圖和俯視圖，底面最多有個(gè)，第二層最多有個(gè)，第三層最多有個(gè)則n的最大值是故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查了三視圖中的主視圖和俯視圖，掌握三視圖的相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．16、.【分析】根據(jù)概率公式求概率即可.【詳解】圖上共有16個(gè)方格，黑色方格為7個(gè)，小狗最終停在黑色方格上的概率是．故答案為：．【點(diǎn)睛】此題考查的是求概率問題，掌握概率公式是解決此題的關(guān)鍵.17、【分析】先判斷，則圖像經(jīng)過第一、三象限，根據(jù)反比例函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案.【詳解】解：∵，∴反比例函數(shù)的圖象在第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小，∵，∴，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了反比例函數(shù)的圖象和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握時(shí)，反比例函數(shù)經(jīng)過第一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x增大而減小.18、【詳解】解：如圖所示：∵M(jìn)A′是定值，A′C長度取最小值時(shí)，即A′在MC上時(shí)，過點(diǎn)M作MF⊥DC于點(diǎn)F，∵在邊長為2的菱形ABCD中，∠A=60°，M為AD中點(diǎn)，∴2MD=AD=CD=2，∠FDM=60°，∴∠FMD=30°，∴FD=MD=1，∴FM=DM×cos30°=，∴，∴A′C=MC﹣MA′=．故答案為．【點(diǎn)評】此題主要考查了菱形的性質(zhì)以及銳角三角函數(shù)關(guān)系等知識，得出A′點(diǎn)位置是解題關(guān)鍵．三、解答題(共66分)19、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）由AB是⊙O的直徑，可得∠ACB=∠BCD=90°，又由BD是⊙O的切線，根據(jù)同角的余角相等，可得∠A=∠CBD，利用有兩角對應(yīng)相等的三角形相似，即可證得△ABC∽△BDC；（2）由AC=8，BC=6，可求得△ABC的面積，又由△ABC∽△BDC，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方，即可求得△BDC的面積．【詳解】（1）∵BD是⊙O的切線，∴AB⊥BD，∴∠ABD=90°．∴∠A+∠D=90°．∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB=∠BCD=90°，∴∠CBD+∠D=90°，∴∠A=∠CBD，∴△ABC∽△BDC；（2）∵△ABC∽△BDC，∴，∵AC=8，BC=6，∴S△ABCAC?BC8×6=24，∴S△BDC=S△ABC24÷()2．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)以及直角三角形的性質(zhì)．此題難度適中，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．20、路燈桿AB的高度是1m．【解析】在同一時(shí)刻物高和影長成正比，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：∵CD∥EF∥AB，∴可以得到△CDF∽△ABF，△ABG∽△EFG，∴，又∵CD＝EF，∴，∵DF＝3m，F(xiàn)G＝4m，BF＝BD+DF＝BD+3，BG＝BD+DF+FG＝BD+7，∴，∴BD＝9，BF＝9+3＝12，∴，解得AB＝1．答：路燈桿AB的高度是1m．【點(diǎn)睛】考查了相似三角形的應(yīng)用和中心投影．只要是把實(shí)際問題抽象到相似三角形中，利用相似三角形的性質(zhì)對應(yīng)邊成比例就可以求出結(jié)果．21、（1）詳見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)三角形相似的判定定理，即可得到結(jié)論；（2）由∽，得，進(jìn)而即可求解．【詳解】（1）∵，∴，，∴∽；（2）解：∵，，，，∴．由（1）知，∽，∴，即∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查相似三角形的判定和性質(zhì)定理，掌握相似三角形對應(yīng)邊成比例，是解題的關(guān)鍵．22、（1）E點(diǎn)坐標(biāo)為(0,)；（2）；（3）四邊形ABNO面積的最大值為，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．【分析】（1）先利用待定系數(shù)法求直線AB的解析式，與y軸的交點(diǎn)即為點(diǎn)E；（2）利用待定系數(shù)法拋物線的函數(shù)解析式；（3）先設(shè)N(m，m2?m)(0＜m＜3)，則G（m，m），根據(jù)面積和表示四邊形ABNO的面積，利用二次函數(shù)的最大值可得結(jié)論．【詳解】（1）設(shè)直線AB的解析式為y=mx+n，把A（-1，1），B（3，3）代入得，解得，所以直線AB的解析式為y＝x+，當(dāng)x=0時(shí)，y＝×0+＝，所以E點(diǎn)坐標(biāo)為(0，)；（2）設(shè)拋物線解析式為y=ax2+bx+c，把A（-1，1），B（3，3），O（0，0）代入得，解得，所以拋物線解析式為y＝x2?x；（3）如圖，作NG∥y軸交OB于G，OB的解析式為y=x，設(shè)N(m，m2?m)(0＜m＜3)，則G（m，m），GN＝m?(m2?m)＝?m2+m，S△AOB=S△AOE+S△BOE=××1+××3=3，S△BON＝S△ONG+SBNG＝?3?(?m2+m)＝?m2+m所以S四邊形ABNO＝S△BON+S△AOB＝?m2+m+3＝?(m?)2+當(dāng)m＝時(shí)，四邊形ABNO面積的最大值，最大值為，此時(shí)N點(diǎn)坐標(biāo)為(，)．【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)的綜合題：熟練掌握二次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征和二次函數(shù)的性質(zhì)；會利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)和一次函數(shù)的性質(zhì)；理解坐標(biāo)與圖形性質(zhì)，利用面積的和差計(jì)算不規(guī)則圖形的面積．23、（1）詳見解析；（2）四邊形面積的最小值為1．【分析】(1)

由正方形的性質(zhì)得出.∠A=∠B=∠C=∠D=90°

,AB=

BC=CD=DA，證出AH=BE=CF=DG，由SAS證明△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG，得出EH=

FE=GF=GH,∠AEH=∠BFE，證出四邊形EFGH是菱形，再證出∠HEF=90°，即可得出結(jié)論;

(2)設(shè)四邊形EFG

H面積為S，AE=xcm,

則

BE=

(8-x)

cm,由勾股定理得出S=x2+

(8-x)2=2

(x-4)

2+1,

S是x的二次函數(shù)，容易得出四邊形EFGH面積的最小值.【詳解】證明：（1）∵四邊形是正方形，∴，．∵，∴．∴，∴，，，∴四邊形是菱形，∵，，，∴四邊形是正方形．（2）設(shè)，則，S四邊形EFGH，∴當(dāng)時(shí)，四邊形面積的最小值為1．【點(diǎn)睛】本題考查了正方形性質(zhì)和判定，根據(jù)已知條件可證4個(gè)三角形全等，由全等三角形性質(zhì)得到四邊形EFGH是正方形；本題還考查了用二次函數(shù)來解決面積的最值問題．24、小河的寬度是210米.【分析】先證明△ABD∽△ECD，然后利用相似比計(jì)算出AB即可得到小河的寬度．【詳解】∵，，∴，∴，∴，即，∴.答：小河的寬度是210米.【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的應(yīng)用：利用相似測量河的寬度（測量距離）．①測量原理：測量不能直接到達(dá)的兩點(diǎn)間的距離，常常構(gòu)造“A”型或“X”型相似圖，三點(diǎn)應(yīng)在一條直線上．必須保證在一條直線上，為了使問題簡便，盡量構(gòu)造直角三角形．②測量方法：通過測量便于測量的線段，利用三角形相似