教學(xué)目標(biāo)2023年人教版初中數(shù)學(xué)《最短路徑問(wèn)題》精華版教案（二）打印版VIP

教學(xué)目標(biāo)2023年人教版初中數(shù)學(xué)《最短路徑問(wèn)題》精華版教案（二）【教學(xué)目標(biāo)】教學(xué)知識(shí)點(diǎn)能利用軸對(duì)稱解決簡(jiǎn)單的最短路徑問(wèn)題,體會(huì)圖形的變化在解決最值問(wèn)題中的作用;感悟轉(zhuǎn)化思想.能力訓(xùn)練要求在將實(shí)際問(wèn)題抽象成幾何圖形的過(guò)程中,提高分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力及滲透數(shù)學(xué)建模的思想.情感與價(jià)值觀要求通過(guò)有趣的問(wèn)題提高學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣.在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中,體驗(yàn)數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的實(shí)用性,體現(xiàn)人人都學(xué)有所用的數(shù)學(xué).【教學(xué)重難點(diǎn)】重點(diǎn):利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“兩點(diǎn)之間,線段最短”問(wèn)題.難點(diǎn):如何利用軸對(duì)稱將最短路徑問(wèn)題轉(zhuǎn)化為線段和最小問(wèn)題.突破難點(diǎn)的方法:利用軸對(duì)稱性質(zhì),作任意已知點(diǎn)的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)和已知點(diǎn),得到一條線段,利用兩點(diǎn)之間線段最短來(lái)解決.【教學(xué)過(guò)程】一、創(chuàng)設(shè)情景引入課題師:前面我們研究過(guò)一些關(guān)于“兩點(diǎn)的所有連線中,線段最短”、“連接直線外一點(diǎn)與直線上各點(diǎn)的所有線段中,垂線段最短”等的問(wèn)題,我們稱它們?yōu)樽疃搪窂絾?wèn)題.現(xiàn)實(shí)生活中經(jīng)常涉及到選擇最短路徑的問(wèn)題,本節(jié)將利用數(shù)學(xué)知識(shí)探究數(shù)學(xué)史中著名的“將軍飲馬問(wèn)題”.(板書)課題學(xué)生思考教師展示問(wèn)題,并觀察圖片,獲得感性認(rèn)識(shí).二、自主探究合作交流建構(gòu)新知追問(wèn)1:觀察思考,抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題這是一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,你打算首先做什么?活動(dòng)1:思考畫圖、得出數(shù)學(xué)問(wèn)題將A,B兩地抽象為兩個(gè)點(diǎn),將河l抽象為一條直線.追問(wèn)2你能用自己的語(yǔ)言說(shuō)明這個(gè)問(wèn)題的意思,并把它抽象為數(shù)學(xué)問(wèn)題嗎?師生活動(dòng):學(xué)生嘗試回答,并互相補(bǔ)充,最后達(dá)成共識(shí):(1)從A地出發(fā),到河邊l飲馬,然后到B地;(2)在河邊飲馬的地點(diǎn)有無(wú)窮多處,把這些地點(diǎn)與A,B連接起來(lái)的兩條線段的長(zhǎng)度之和,就是從A地到飲馬地點(diǎn),再回到B地的路程之和;(3)現(xiàn)在的問(wèn)題是怎樣找出使兩條線段長(zhǎng)度之和為最短的直線l上的點(diǎn).設(shè)C為直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),上面的問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為:當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最小(如圖).強(qiáng)調(diào):將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”活動(dòng)2:嘗試解決數(shù)學(xué)問(wèn)題問(wèn)題1:如圖,點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最小?追問(wèn)1你能利用軸對(duì)稱的有關(guān)知識(shí),找到上問(wèn)中符合條件的點(diǎn)B'嗎?問(wèn)題2如圖,點(diǎn)A,B在直線l的同側(cè),點(diǎn)C是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn),當(dāng)點(diǎn)C在l的什么位置時(shí),AC與CB的和最小?師生活動(dòng):學(xué)生獨(dú)立思考,畫圖分析,并嘗試回答,互相補(bǔ)充如果學(xué)生有困難,教師可作如下提示作法:(1)作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B';(2)連接AB',與直線l相交于點(diǎn)C,則點(diǎn)C即為所求.如圖所示:問(wèn)題3你能用所學(xué)的知識(shí)證明AC+BC最短嗎?教師展示:證明:如圖,在直線l上任取一點(diǎn)C'(與點(diǎn)C不重合),連接AC',BC',B'C'.由軸對(duì)稱的性質(zhì)知,BC=B'C,BC'=B'C'.∴AC+BC=AC+B'C=AB',AC'+BC'=AC'+B'C'.在△AC'B'中,AC'+B'C'>AB',∴當(dāng)只有在C點(diǎn)位置時(shí),AC+BC最短.方法提煉:將最短路徑問(wèn)題抽象為“線段和最小問(wèn)題”.問(wèn)題4練習(xí)如圖,一個(gè)旅游船從大橋AB的P處前往山腳下的Q處接游客,然后將游客送往河岸BC上,再返回P處,請(qǐng)畫出旅游船的最短路徑.基本思路:由于兩點(diǎn)之間線段最短,所以首先可連接PQ,線段PQ為旅游船最短路徑中的必經(jīng)線路.將河岸抽象為一條直線BC,這樣問(wèn)題就轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)P,Q在直線BC的同側(cè),如何在BC上找到一點(diǎn)R,使PR與QR的和最小”.問(wèn)題5造橋選址問(wèn)題如圖,A和B兩地在一條河的兩岸,現(xiàn)要在河上造一座橋MN.橋建在何處才能使從A到B的路徑AMNB最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河垂直)思維分析:1.如圖假定任選位置造橋MN,連接AM和BN,從A到B的路徑是AM+MN+BN,那么怎樣確定什么情況下最短呢?2.利用線段公理解決問(wèn)題:我們遇到了什么障礙呢?思維點(diǎn)撥:在不改變AM+MN+BN的前提下把橋轉(zhuǎn)化到一側(cè)呢?什么圖形變換能幫助我們呢?(估計(jì)有以下方法)1.把A平移到岸邊.2.把B平移到岸邊.3.把橋平移到和A相連.4.把橋平移到和B相連.教師:上述方法都能做到使AM+MN+BN不變呢?請(qǐng)檢驗(yàn).1、2兩種方法改變了.怎樣調(diào)整呢?把A或B分別向下或上平移一個(gè)橋長(zhǎng),那么怎樣確定橋的位置呢?問(wèn)題解決:如圖,平移A到A1,使AA1等于河寬,連接A1B交河岸于N.作橋MN,此時(shí)路徑AM+MN+BN最短.理由:另任作橋M1N1,連接AM1,BN1,A1N1.由平移性質(zhì)可知,AM=A1N,AA1=MN=M1N1,AM1=A1N1.AM+MN+BN轉(zhuǎn)化為AA1+A1B,而AM1+M1N1+BN1轉(zhuǎn)化為AA1+A1N1+BN1.在△A1N1B中,由線段公理知A1N1+BN1>A1B.因此AM1+M1N1+BN1>AM+MN+BN,如圖所示:三、鞏固訓(xùn)練(一)基礎(chǔ)訓(xùn)練1.最短路徑問(wèn)題(1)求直線異側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題,只要連接這兩點(diǎn),與直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l異側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)點(diǎn)C是直線l與AB的交點(diǎn).(2)求直線同側(cè)的兩點(diǎn)與直線上一點(diǎn)所連線段的和最小的問(wèn)題,只要找到其中一個(gè)點(diǎn)關(guān)于這條直線的對(duì)稱點(diǎn),連接對(duì)稱點(diǎn)與另一個(gè)點(diǎn),則與該直線的交點(diǎn)即為所求.如圖所示,點(diǎn)A,B分別是直線l同側(cè)的兩個(gè)點(diǎn),在l上找一個(gè)點(diǎn)C,使CA+CB最短,這時(shí)先作點(diǎn)B關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)B',則點(diǎn)C是直線l與AB'的交點(diǎn).2.如圖,A和B兩地之間有兩條河,現(xiàn)要在兩條河上各造一座橋MN和PQ.橋分別建在何處才能使從A到B的路徑最短?(假定河的兩岸是平行的直線,橋要與河岸垂直)如圖,問(wèn)題中所走總路徑是AM+MN+NP+PQ+QB.橋MN和PQ在中間,且方向不能改變,仍無(wú)法直接利用“兩點(diǎn)之間,線段最短”解決問(wèn)題,只有利用平移變換轉(zhuǎn)移到兩側(cè)或同一側(cè).平移的方法有三種:兩個(gè)橋長(zhǎng)都平移到A點(diǎn)處、都平移到B點(diǎn)處、MN平移到A點(diǎn)處,PQ平移到B點(diǎn)處.(二)變式訓(xùn)練如圖,小河邊有兩個(gè)村莊A,B,要在河邊建一自來(lái)水廠向A村與B村供水.(1)若要使廠部到A,B村的距離相等,則應(yīng)選擇在哪建廠?(2)若要使廠部到A,B兩村的水管最短,應(yīng)建在什么地方?(三)綜合訓(xùn)練茅坪民族中學(xué)八(2)班舉行文藝晚會(huì),桌子擺成如圖a所示兩直排(圖中的AO,BO),AO桌面上擺滿了橘子,OB桌面上擺滿了糖果,站在C處的學(xué)