《離散型隨機(jī)變量的均值》示范公開課教案【高中數(shù)學(xué)北師大】

《離散型隨機(jī)變量的均值》教案教學(xué)目標(biāo)教學(xué)目標(biāo)1.通過實(shí)例理解離散型隨機(jī)變量的均值的含義，了解隨機(jī)變量的均值與樣本均值的區(qū)別與聯(lián)系．2.能計(jì)算簡單離散型隨機(jī)變量的均值，并能解決一些實(shí)際問題．3.體會運(yùn)用離散型隨機(jī)變量的均值思想描述和分析某些隨機(jī)現(xiàn)象的方法，在簡單應(yīng)用中培養(yǎng)學(xué)生分析和解決問題的能力．教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量均值的含義及其應(yīng)用．教學(xué)難點(diǎn)：離散型隨機(jī)變量均值的含義及其應(yīng)用．教學(xué)過程教學(xué)過程一、新課導(dǎo)入問題1：已知在10件產(chǎn)品中有2件不合格品，從這10件產(chǎn)品中任取3件，用X表示取得產(chǎn)品中不合格品的件數(shù)，求X的分布列．答案：根據(jù)分布列的求法，可以求得X的分布列如下表：k012P(X=k)問題2：在問題1的條件下，從這10件產(chǎn)品中任取3件，平均會取到幾件不合格品？可否根據(jù)分布列得到一個數(shù)，這個數(shù)能“代表”這個隨機(jī)變量取值的平均水平呢？探究：由于隨機(jī)變量X可能的取值為0，1，2．可否將三者的算術(shù)平均“1”“代表”這個隨機(jī)變量的平均水平呢？為什么？探究新知：問題3：設(shè)有12個西瓜，其中有4個質(zhì)量是5kg，3個質(zhì)量是6kg，5個質(zhì)量是7kg，求這12個西瓜的平均質(zhì)量．分析：西瓜的平均質(zhì)量應(yīng)為12個西瓜的總重量除以西瓜的總個數(shù)，即（kg），也即（kg）．顯然，西瓜的平均質(zhì)量不是5kg，6kg，7kg的算術(shù)平均，而是等于各個質(zhì)量乘相應(yīng)質(zhì)量的西瓜個數(shù)在西瓜總個數(shù)中所占的比例后再求和，是5kg，6kg，7kg的加權(quán)平均，其中權(quán)數(shù)是相應(yīng)質(zhì)量的西瓜個數(shù)在西瓜總個數(shù)中所占的比例．引導(dǎo)分析：類比問題3的方法，給出問題2的解決方法．用隨機(jī)變量X三個取值0，1，2的加權(quán)平均來代表隨機(jī)變量X的平均取值，其中0，1，2的權(quán)重分別是X取這個值時的概率，即在一次抽取中，3件產(chǎn)品中平均有0.6件是不合格品．思考1：用上述方法求得隨機(jī)變量X的平均取值是否合理？答案：合理，這種取平均值的方法，考慮到了不同變量在總體中的比例份額，變量所占份額越大，對整組數(shù)據(jù)的平均數(shù)影響越大．思考2：抽出的不合格品的平均值是否可以是小數(shù)？可以，這個平均值的意義在于告訴我們抽出的不合格品最有可能出現(xiàn)的一個值，作用在于對結(jié)果的估計(jì)，得到的結(jié)果可能是與它接近的一個整數(shù)．問題4.能否將上述求離散型隨機(jī)變量平均值的方法推廣到一般情形？1．概念形成設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下表：XP則稱為隨機(jī)變量X的均值或者數(shù)學(xué)期望（簡稱期望）．2.概念理解（1）均值EX刻畫的是X取值的“中心位置”，反映了離散型隨機(jī)變量X取值的平均水平，是隨機(jī)變量X的一個重要特征．（2）均值EX是隨機(jī)變量X取各個值的加權(quán)平均，由X的分布列完全確定．問題5.隨機(jī)變量的均值與樣本均值的聯(lián)系與區(qū)別是什么？答案：隨機(jī)變量的均值是一個常數(shù)，而樣本均值是一個隨機(jī)變量，樣本均值隨樣本的變化而變化，這是兩個均值的根本區(qū)別，在隨機(jī)變量均值未知的情況下，通常用隨機(jī)變量的觀測值的平均值估計(jì)隨機(jī)變量的均值．三、應(yīng)用舉例例1設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布，求EX．解：由均值定義，得EX=0?P（X=0）+1?P（X=1）=0?（1-p）+1?p=p．所以，服從參數(shù)為p的兩點(diǎn)分布的均值EX=p．例2設(shè)X表示拋擲一枚均勻殷子擲出的點(diǎn)數(shù)，求EX．解：依題意知X的分布列為如下表：i123456P(X=i)根據(jù)均值的定義，可知．例3一個袋子里裝有除顏色外完全相同的3個紅球和2個黃球，從中同時取出2個球，則取出的紅球個數(shù)的均值是多少？解：設(shè)X表示取出紅球的個數(shù)，則X的取值為0，1，2．，，．因此，Ｘ的分布列如下表：Ｘ012Ｐ根據(jù)均值的定義，可知：．總結(jié)：求離散型隨機(jī)變量X的均值的步驟：(1)理解X的實(shí)際意義，寫出X全部可能取值；(2)求出X取每個值時的概率；(3)寫出X的分布列；(4)利用定義公式EX=例4根據(jù)氣象預(yù)報，某地區(qū)近期暴發(fā)小洪水的概率為0.25，暴發(fā)大洪水的概率為0.01．該地區(qū)某工地上有一臺大型設(shè)備，為保護(hù)設(shè)備，有以下3種方案：方案1：運(yùn)走設(shè)備，搬運(yùn)費(fèi)為3800元．方案2：建一保護(hù)圍墻，建設(shè)費(fèi)為2000元，但圍墻只能防小洪水．方案3：不采取措施，希望不發(fā)生洪水，此時遇到大洪水時要損失60000元，遇到小洪水時要損失10000元．試比較哪一種方案好．解：用，和分別表示以上3種方案的損失．采用方案1，無論有無洪水，都損失3800元，即=3800，故E=3800元．采用方案2，遇到大洪水時，損失62000元；沒有大洪水時，損失2000元，因此E=62000×0.01+2000×（1-0.01）=2600（元）；采用方案3，遇到大洪水時，損失60000元；遇到小洪水時，損失10000元；無洪水時，損失為0元，因此E=60000×0.01+10000×0.25=3100（元）．由此可見，就平均而言，方案2的損失最?。伎?：為什么可以通過比較均值作出決策？答案：離散型隨機(jī)變量的均值反映了離散型隨機(jī)變量取值的平均水平，因此，在實(shí)際決策問題中，需先計(jì)算均值，看一下誰的平均水平高，進(jìn)而做出決策．四、課堂練習(xí)1.已知離散型隨機(jī)變量Ｘ的分布列如下：X123P則數(shù)學(xué)期望E（X）=（）．A.B.C.1D.22.甲、乙兩名射手一次射擊得分(分別用X1，X2表示)的分布列如下：甲得分：X1123P0.40.10.5乙得分：X2123P0.10.60.3則甲、乙兩人的射擊技術(shù)相比（）．A．甲更好B．乙更好C．甲、乙一樣好D．不可比較3.“四書”是《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》的合稱，又稱“四子書”，在世界文化史?思想史上地位極高，所載內(nèi)容及哲學(xué)思想至今仍具有積極意義和參考價值．為弘揚(yáng)中國優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某校計(jì)劃開展“四書”經(jīng)典誦讀比賽活動．某班有4位同學(xué)參賽，每人從《大學(xué)》《中庸》《論語》《孟子》這4本書中選取1本進(jìn)行準(zhǔn)備，且各自選取的書均不相同．比賽時，若這4位同學(xué)從這4本書中隨機(jī)抽取1本選擇其中的內(nèi)容誦讀，則抽到自己準(zhǔn)備的書的人數(shù)的均值為______．4.某學(xué)校組織“一帶一路”知識競賽，有A，B兩類問題，每位參加比賽的同學(xué)先在兩類問題中選擇一類并從中隨機(jī)抽取一個問題回答，若回答錯誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一類問題中再隨機(jī)抽取一個問題回答，無論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束．A類問題中的每個問題回答正確得20分，否則得0分；B類問題中的每個問題回答正確得80分，否則得0分，己知小明能正確回答A類問題的概率為0.8，能正確回答B(yǎng)類問題的概率為0.6，且能正確回答問題的概率與回答次序無關(guān)．（1）若小明先回答A類問題，記Ｘ為小明的累計(jì)得分，求Ｘ的分布列；（2）為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類問題？并說明理由．參考答案：1.由題意可知：．故選Ｄ．2.因?yàn)镋(X1)＝1×0.4＋2×0.1＋3×0.5＝2.1，E(X2)＝1×0.1＋2×0.6＋3×0.3＝2.2，所以E(X2)>E(X1)，故乙的射擊技術(shù)更好．故選：B．3.記抽到自己準(zhǔn)備的書的學(xué)生數(shù)為Ｘ，則Ｘ可能值為0，1，2，4，，，，則．4.（1）由題可知，Ｘ的所有可能取值為0，20，100．P(X=0)=1-0.8=0.2;P(X=20)=0.8(1-0.6)=0.32;P(X=100)=0.8×0.6=0.48．所以Ｘ的分布列為Ｘ020100P0.20.320.48（2）由（1）知，E(X)=0×0.2+20×0.32+100×0.48=54.4．若小明先回答B(yǎng)問題，記Y為小明的累計(jì)得分，則Y的所有可能取值為0，80，100．P(Y=0)=1-0.6=0.4；P(Y=80)=0.6(1-0.8)=0.12；P(Y=100)=0.8×0.6=0.48．所以E(Y)=0×0.4+80×0.12+100×0.48=54.4．．因?yàn)?4.4<57.6，所以小明應(yīng)選擇先