高等數(shù)學(xué)：11-7 傅里葉-Fourier級(jí)數(shù)

1三角函數(shù)系的正交性函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)問(wèn)題的提出第七節(jié)傅里葉(Fourier)級(jí)數(shù)2一、問(wèn)題的提出在自然界和人類的生產(chǎn)實(shí)踐中,周而復(fù)始的現(xiàn)象,周期運(yùn)動(dòng)是常見的.如行星的飛轉(zhuǎn),飛輪的旋轉(zhuǎn),蒸氣機(jī)活塞的往復(fù)運(yùn)動(dòng),物體的振動(dòng),聲、光、電的波動(dòng)等.數(shù)學(xué)上,用周期函數(shù)來(lái)描述它們.最簡(jiǎn)單最基本的周期函數(shù)是諧函數(shù)周期振幅時(shí)間角頻率初相

簡(jiǎn)諧波

簡(jiǎn)諧振動(dòng)正弦型函數(shù)3如矩形波不同頻率正弦波除了正弦函數(shù)外,常遇到的是非正弦周期函數(shù),較復(fù)雜的周期現(xiàn)象逐個(gè)疊加分解456789設(shè)想一個(gè)較復(fù)雜的周期運(yùn)動(dòng)(如矩形波)分解為簡(jiǎn)諧振動(dòng)的迭加.會(huì)給分析問(wèn)題帶來(lái)方便.

是把一個(gè)復(fù)雜的周期函數(shù)f(t)反映在數(shù)學(xué)上,的迭加,表示為各類正弦函數(shù)諧波分析或再利用三角恒等式,變形為即10

三角級(jí)數(shù)？函數(shù)f(t)滿足什么條件,系數(shù)才能展為如何確定?

為簡(jiǎn)便計(jì),先來(lái)討論以為周期的函數(shù)f(x),解決上述問(wèn)題起著關(guān)鍵作用的是:三角函數(shù)系的正交性(orthogonality).三角級(jí)數(shù)?11三角函數(shù)系二、三角函數(shù)系的正交性的正交性是指:其中任何兩個(gè)不同的函數(shù)的乘積在一個(gè)周期長(zhǎng)的區(qū)間

而任一個(gè)函數(shù)的自乘(平方)在即有12131.傅里葉系數(shù)利用三角函數(shù)系的正交性兩邊積分三、函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)14利用三角函數(shù)系的正交性15利用三角函數(shù)系的正交性16傅里葉系數(shù)由這些系數(shù)作成的三角級(jí)數(shù)則17稱為函數(shù)f(x)(誘導(dǎo)出)的傅里葉級(jí)數(shù),f(x)

注f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)不見得收斂；即使收斂，級(jí)數(shù)的和也不一定是f(x).不能無(wú)條件的下面的傅里葉級(jí)數(shù)收斂定理回答了我們.所以,把符號(hào)“”它的傅里葉級(jí)數(shù)收斂，記為當(dāng)f(x)滿足什么條件時(shí)，并收斂于f(x)本身?換為“=”.182.狄利克雷(Dirichlet)充分條件狄利克雷(德)1805-1859(收斂定理)19當(dāng)x是f(x)的連續(xù)點(diǎn)時(shí)當(dāng)x是f(x)的間斷點(diǎn)時(shí)當(dāng)時(shí)由定理可知:在f(x)的連續(xù)點(diǎn)處,都收斂到f(x)自身即使有間斷點(diǎn),函數(shù)也有傅氏級(jí)數(shù),間斷點(diǎn)上級(jí)數(shù)不收斂到函數(shù)值,只不過(guò)在而是收斂到間斷點(diǎn)處左右極限的算術(shù)平均值即:20(1)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)的條件比展開成(2)周期函數(shù)的三角級(jí)數(shù)展開是唯一的,就是常說(shuō)把f(x)在上展開成傅氏級(jí)數(shù).(3)要注明傅氏級(jí)數(shù)的和函數(shù)與函數(shù)f(x)相等注冪級(jí)數(shù)的條件低得多;其傅里葉級(jí)數(shù),的區(qū)域.就是函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)的平均值;21周期函數(shù)的傅里葉級(jí)數(shù)解題程序:并驗(yàn)證是否滿足狄氏條件(畫圖目的:驗(yàn)證狄氏條件;由圖形寫出收斂域;易看出奇偶性可減少求系數(shù)的工作量);(2)求出傅氏系數(shù);(3)寫出傅氏級(jí)數(shù),并注明它在何處收斂于f(x).(1)畫出f(x)的圖形,22解

計(jì)算傅里葉系數(shù)例1將

f(x)展開為傅里葉級(jí)數(shù).

f(x)的圖象2324故

f(x)的傅里葉級(jí)數(shù)25由于f(x)滿足狄利克雷充分條件,由收斂定理得2627上有定義;(3)F(x)可展為傅氏級(jí)數(shù);注作法對(duì)于非周期函數(shù),如果f(x)只在區(qū)間上有定義,并且滿足狄氏充要條件,也可展開成傅氏級(jí)數(shù).(1)f(x)在(周期延拓);級(jí)數(shù)收斂于28解例2

將函數(shù)展開為傅氏級(jí)數(shù).拓廣的周期函數(shù)的傅氏級(jí)數(shù)展開式在

計(jì)算傅里葉系數(shù)所給函數(shù)在區(qū)間滿足狄氏充要條件,收斂于f(x).29偶函數(shù)奇函數(shù)30所求函數(shù)的傅氏展開式為31基本概念(三角級(jí)數(shù)、三角函數(shù)系的正交性)函數(shù)展開成傅里葉級(jí)數(shù)(傅里葉系數(shù)、傅里葉級(jí)數(shù)、按狄利克雷收斂定理寫出傅里葉級(jí)數(shù)的和)傅里葉級(jí)數(shù)的意義