上海市浦東新區(qū)致遠中學2021年高二數(shù)學理測試題含解析

上海市浦東新區(qū)致遠中學2021年高二數(shù)學理測試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知點C為拋物線的準線與軸的交點，點F為焦點，點A、B是拋物線上的兩個點。若，則向量與的夾角為（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A2.不等式的解集是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：B3.已知，則方程與在同一坐標系下的大致圖形可能是（

）參考答案：C略4.秦九韶是我國南宋時期的數(shù)學家，普州（現(xiàn)四川省安岳縣）人，他在所著的《數(shù)學九章》中提出的多項式求值的秦九韶算法至今仍是比較先進的算法．如圖的程序框圖是針對某一多項式求值的算法，如果輸入的x的值為2，則輸出的v的值為（）A.129 B.144 C.258 D.289參考答案：D【分析】根據(jù)程序框圖，逐步執(zhí)行，即可得出結(jié)果.【詳解】模擬程序的運行，可得，執(zhí)行循環(huán)體，，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，不滿足條件，執(zhí)行循環(huán)體；，滿足條件，結(jié)束循環(huán)；輸出．故選：D．【點睛】本題考查的知識點是程序框圖，當循環(huán)次數(shù)不多，或有規(guī)律可循時，可采用模擬程序法進行解答，屬于基礎(chǔ)題．5.是橢圓上的一點，和是焦點，若∠F1PF2=30°，則△F1PF2的面積等于

（

）

參考答案：B略6.橢圓5x2﹣ky2=5的一個焦點是（0，2），那么k等于（）A．﹣1 B．1 C． D．參考答案：A【考點】K4：橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】把橢圓5x2﹣ky2=5化為標準方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k，再進行判定即可．【解答】解：橢圓5x2﹣ky2=5化為標準方程x2=1，則c2=﹣﹣1=4，解得k=﹣1，故選：A．7.A、

B、

C、

D、參考答案：B略8.若復(fù)數(shù)=2﹣i其中a，b是實數(shù)，則復(fù)數(shù)a+bi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點位于（）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限參考答案：C【考點】復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運算．【分析】利用復(fù)數(shù)的運算法則、復(fù)數(shù)相等、幾何意義即可得出．【解答】解：復(fù)數(shù)=2﹣i，其中a，b是實數(shù)，∴a+i=（2﹣i）（b﹣i）=2b﹣1﹣（2+b）i，∴，解得b=﹣3，a=﹣7．則復(fù)數(shù)a+bi在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點（﹣7，﹣3）位于第三象限．故選：C．9.展開式中只有第六項二項式系數(shù)最大,則展開式中的常數(shù)項是（

）A．

B．

C．

D．參考答案：A

解析：只有第六項二項式系數(shù)最大，則，

，令10.設(shè)拋物線的焦點為F，準線為,P為拋物線上一點,PA⊥,A為垂足．如果直線AF的斜率為,那么|PF|等于A．

B.8

C.

D.4參考答案：B略二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.在△ABC中，角A，B，C所對應(yīng)的邊分別為，已知，則角C的大小為

。參考答案：90°12.在平面直角坐標系中，若一個多邊形的頂點全是格點（橫、縱坐標都是整數(shù)），則稱該多邊形為格點多邊形。已知△ABC是面積為8的格點三角形，其中A（0，0），B（4，0）。在研究該三角形邊界上可能的格點個數(shù)時，甲、乙、丙、丁四位同學各自給出了一個取值，分別為6，8，10，12，其中得出錯誤結(jié)論的同學為___________。參考答案：丙【分析】根據(jù)條件設(shè)三角形的高為，結(jié)合三角形的面積得到高，即頂點C在直線上，結(jié)合C的整點坐標，利用數(shù)形結(jié)合進行排除，即可求解．【詳解】設(shè)三角形高為，則三角形的面積，解得，即C的縱坐標為4，若或時，則三角形邊界上的格點個數(shù)為12個，如圖所示，若點，則三角形邊界上的個數(shù)個數(shù)為8個，如圖所示，

若或時，則三角形邊界上的格點個數(shù)為6個，如圖所示，所以不可能是10個，所以其中得出錯誤結(jié)論的同學為丙．【點睛】本題主要考查了合情推理的應(yīng)用，其中解答中結(jié)合條件求出三角形的高，即頂點C的位置，利用數(shù)形結(jié)合以及特殊值法求解是解答本題的關(guān)鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題．13.函數(shù)y=f(x)為R上的增函數(shù)，則y=f(|x+1|)單調(diào)遞減區(qū)間是____________.參考答案：14.正方體ABCD-A1B1C1D1中，E、F分別是AB、C1D1的中點，則棱A1B1與截面A1ECF所成的角的余弦值是______.參考答案：.解析：

，.設(shè)棱A1B1與截面A1ECF所成的角為,則,

.

15.已知等差數(shù)列的前項和為，且滿足，．（Ⅰ）__________，__________，__________，當__________時，取得取小值，最小值為__________．（Ⅱ）若數(shù)列中相異的三項，，成等比數(shù)列，求的最小值．參考答案：（），，，∴，解得，，∴．，∴．（），，，，，分數(shù)，，，，分數(shù)，，．綜上，時，的最小值．16.拋物線上兩個不同的點，，滿足，則直線一定過定點，此定點坐標為__________．參考答案：(4,0)解：設(shè)直線的方程為代入拋物線，消去得,設(shè)，，則，，∴，∴（舍去）或,故直線過定點(4,0)．17.若目標函數(shù)z=kx+2y在約束條件下僅在點（1，1）處取得最小值，則實數(shù)k的取值范圍是

．參考答案：（﹣4，2）【考點】簡單線性規(guī)劃．【專題】不等式的解法及應(yīng)用．【分析】作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，確定目標取最優(yōu)解的條件，即可求出k的取值范圍．【解答】解：作出不等式對應(yīng)的平面區(qū)域，由z=kx+2y得y=﹣x+，要使目標函數(shù)z=kx+2y僅在點B（1，1）處取得最小值，則陰影部分區(qū)域在直線z=kx+2y的右上方，∴目標函數(shù)的斜率﹣大于x+y=2的斜率且小于直線2x﹣y=1的斜率即﹣1＜﹣＜2，解得﹣4＜k＜2，即實數(shù)k的取值范圍為（﹣4，2），故答案為：（﹣4，2）．【點評】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法．根據(jù)條件目標函數(shù)僅在點（1，1）處取得最小值，確定直線的位置是解決本題的關(guān)鍵．三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.已知函數(shù)．（Ⅰ）當時，證明函數(shù)只有一個零點；（Ⅱ）若函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍．參考答案：（Ⅰ）當時，，其定義域是∴

令，即，解得或．，∴

舍去．

當時，；當時，．∴函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減∴當x=1時，函數(shù)取得最大值，其值為．當時，，即．∴函數(shù)只有一個零點．

（Ⅱ）顯然函數(shù)的定義域為∴ 1

當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意2

當時，等價于，即此時的單調(diào)遞減區(qū)間為．依題意，得解之得．

當時，等價于，即此時的單調(diào)遞減區(qū)間為，∴

得綜上，實數(shù)的取值范圍是

法二：①當時，在區(qū)間上為增函數(shù)，不合題意…②當時，要使函數(shù)在區(qū)間上是減函數(shù)，只需在區(qū)間上恒成立，只要恒成立，解得或

綜上，實數(shù)的取值范圍是19.如圖，在直三棱柱中，，點是的中點．（1）求證：平面；（2）求點到平面的距離。參考答案：考點：距離平行試題解析：∵在直三棱柱中，，，∴兩兩垂直，如圖，以為原點，直線分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標系，則．（1）證明：設(shè)與的交點為，則．∵，∴，∴?！咂矫嫫矫妫嗥矫妫?）設(shè)點到平面的距離為，在三棱錐中，∵，且平面，∴易求得，∴．即點到平面的距離是．20.在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c．已知B≠，且3cosC+c?cosB=（1）求b的值；（2）若B=，求△ABC周長的范圍．參考答案：見解析【考點】三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用．【分析】（1）利用三角形內(nèi)角和公式消去A，結(jié)合正弦定理即可求解b的值．（2）若B=，利用正弦定理把a，c表示出來，轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題求解△ABC周長的范圍．【解答】解：由可得：?3sinBcosC+c?sinBcosB=3sin（B+C）?3sinBcosC+c?sinBcosB=3sinBcosC+3sinCcosB?c?sinBcosB=3sinCcosB∵，∴cosB≠0，∴c?sinB=3sinC．正弦定理可得：bsinC=3sinC，∴b=3（2）由（1）得b=3，B=，∴0＜A+C正弦定理可得：a=2sinA，c=2sinC，那么：△ABC周長l=3+2（sinA+sinC）=3[sinA+sin（﹣A）]=3[sinA+sincosA﹣sinAcos）]=[sinA+cosA]=sinA+3cosA+3=6sin（A+）+3，∵∴＜A+＜sin（A+）∈（，1]∴△ABC周長的范圍是（6，9]21.（本小題滿分12分）

如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，平面,點是的中點,是的中點．

(1)求證：∥平面；

(2)求證：參考答案：(1)證明：取中點為，連

∵是的中點

∴是的中位線,∴

∵是中點且是菱形，，∴.∴

∴四邊形是平行四邊形.

從而,

∵平面,平面,

∴

∥平面

…………6分(2)證明：連結(jié)

∵底面是菱形，

∴是等邊三角形

∵是的中

∴

∵平面,

∴

∴

∵

∴…12分22.已知拋物線C：x2=2py（p＞0）的焦點為F，直線2x﹣y+2=0交拋物線C于A，B兩點，P是線段AB的中點，過P作x軸的垂線交拋物線C于點Q．（1）若直線AB過焦點F，求|AF|?|BF|的值；（2）是否存在實數(shù)p，使得以線段AB為直徑的圓過Q點？若存在，求出p的值；若不存在，說明理由．參考答案：【分析】（1）求出p=4，可得拋物線方程，與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），利用韋達定理，通過|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）求解即可．（2）假設(shè)存在，由拋物線x2=2py與直線y=2x+2聯(lián)立消去y，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），通過△＞0，以及韋達定理推出P（2p，4p+2），Q（2p，2p），方法一利用弦長公式，求出p．方法二：通過化簡，結(jié)合韋達定理，求解p即可．【解答】解：（1）∵F（0，2），p=4，∴拋物線方程為x2=8y，…與直線y=2x+2聯(lián)立消去y得：x2﹣16x﹣16=0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2）…則x1+x2=16，x1x2=﹣16，…∴|AF||BF|=（y1+2）（y2+2）=（2x1+4）（2x2+4）=80；…（2）假設(shè)存在，由拋物線x2=2py與直線y=2x