2022年高考沖刺數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷）

2014年高考數(shù)學(xué)（文）試題（大綱卷）選擇題：本大題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.設(shè)集合M={1，2，4，6，8},N={2，3，5，6，7},則MN中元素的個(gè)數(shù)為()A.2B.3C.5D.7【答案】B解析：易知，所以中元素的個(gè)數(shù)為3，故選B.(2)已知角的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)（-4,3），則cos=()A.B.C.－D.－【答案】D解析：由三角函數(shù)定義知.故選D.(3)不等式組的解集為()A.B.C.D.【答案】C 解析：由得或；由得，所以不等式組的解集為，故選C.（4）已知正四面體ABCD中，E是AB的中點(diǎn)，則異面直線CE與BD所成角的余弦值為()A.B.C.D.【答案】B解析：如圖，取的中點(diǎn)，連接、.因?yàn)?、分別是、的中點(diǎn)，所以，故或其補(bǔ)角是異面直線、所成的角.設(shè)正四面體的棱長(zhǎng)為，易知，.在中，由余弦定理可得.故選B.(5)函數(shù)y=ln()(x>-1)的反函數(shù)是()A.B.C.D..【答案】D解析：由得，即，又由可知，所以原函數(shù)的反函數(shù)為.故選D.（6）已知a、b為單位向量，其夾角為60，則（2a－b）·b=()A.－1B.0C.1【答案】B解析：，故選B.(7)有6名男醫(yī)生、5名女醫(yī)生，從中選出2名男醫(yī)生、1名女醫(yī)生組成一個(gè)醫(yī)療小組，則不同的選法共有()A.60種B.70種C.75種D.150種【答案】C解析：由分步計(jì)數(shù)原理知不同的選法有種，故選C.（8）設(shè)等比數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若S2=3，S4=15，則S6=()A.31B.32C.63D.64【答案】C解析：由等比數(shù)列的性質(zhì)得，即，解得.故選C.(9)已知橢圓C：的左右焦點(diǎn)為F1,F2離心率為，過(guò)F2的直線l交C與A、B兩點(diǎn)，若△AF1B的周長(zhǎng)為，則C的方程為()A.B.C.D.【答案】A解析：由橢圓的定義可知的周長(zhǎng)為，所以，故，又由得，所以，則的方程為，故選A.（10）正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上，若該棱錐的高為4，底面邊長(zhǎng)為2，則該球的表面積是()A.B.16C.9D.【答案】A解析：易知球心在正四棱錐的高上，設(shè)球的半徑為，則，解得，所以球的表面積為，故選A.(11)雙曲線C:的離心率為2，焦點(diǎn)到漸近線的距離為，則C的焦距等于()A.2B.D.【答案】C解析：由已知得，所以，故，從而雙曲線的漸進(jìn)線方程為，由焦點(diǎn)到漸進(jìn)線的距離為得，解得，故，故選C.(12)奇函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，若f(x+2)為偶函數(shù)，則f(1)=1,則f(8)+f(9)=()A.－2B.－1C.0D.1【答案】D解析：由是偶函數(shù)可得，又由是奇函數(shù)得，所以，，故是以4為周期的周期函數(shù)，所以，又是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，故，故選D.二、填空題：本大題共4個(gè)小題，每個(gè)小題5分。(13)(x-2)的展開(kāi)式中的系數(shù)為.（用數(shù)字作答）【答案】-160解析：通項(xiàng)，令，得，所以的系數(shù)為.（14）函數(shù)的最大值為.【答案】解析：，因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，.（15）設(shè)x，y滿足約束條件，則z=x+4y的最大值為.【答案】5解析：作出可行域（如圖所示的陰影部分），當(dāng)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，目標(biāo)函數(shù)取得最大值.由得，所以.（16）直線l1和l2是圓的兩條切線，若l1與l2的交點(diǎn)為（1,3），則l1與l2的交角的正切值等于.【答案】解析：設(shè)與的交點(diǎn)為，、與圓相切的切點(diǎn)分別為，，結(jié)合圖形可知直線與的夾角，在中，，，所以，于是，故.三、解答題：解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟。（17）（本小題滿分10分）數(shù)列{an}滿足a1=1，a2=2，an+2=2an+1-an+2.（1）設(shè)bn=an+1-an，證明{bn}是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.答案：見(jiàn)解析解析：（1）由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2，即bn+1=bn+2,又b1=a2-a1=1.所以{bn}是首項(xiàng)為1，公差為2的等差數(shù)列；由（1）得bn=1+2（n-1），即an+1-an=2n-1.于是于是an-a1=n2-2n，即an=n2-2n+1+a1.又a1=1，所以{an}的通項(xiàng)公式為an=n2-2n+2.（18）（本小題滿分10分）△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a，b，c，已知3acosC=2ccosA,tanA=,求B.答案：見(jiàn)解析解析：由題設(shè)和正弦定理得，3sinAcosC=2sinCcosA,所以3tanAcosC=2sinC.因?yàn)閠anA=，所以cosC=2sinC.tanC=.所以tanB=tan[180-(A+C)]=-tan(a+c)==-1,即B=135.（19）（本小題滿分12分）如圖，三棱柱ABC-A1B1C1中，點(diǎn)A1在平面ABC內(nèi)的射影D在AC上，∠ACB=90，BC=1，AC=CC1=2.(1)證明：AC1⊥A1B;(2)設(shè)直線AA1與平面BCC1B1的距離為，求二面角A1-AB-C的大小.答案：見(jiàn)解析解析：解法一：（1）∵A1D⊥平面ABC,A1D平面AA1C1C,故平面AA1C1C⊥平面ABC,又BC⊥AC，所以BC⊥平面AA1C1C，連結(jié)A1C，因?yàn)閭?cè)面AA1C1C是棱形，所以AC1⊥A1C,由三垂線定理的AC1⊥A1B.(2)BC⊥平面AA1C1C，BC平面BCC1B1,故平面AA1C1C⊥平面BCC1B1,作A1E⊥C1C,E為垂足，則A1E⊥平面BCC1B1,又直線AA1∥平面BCC1B1，因而A1E為直線AA1與平面BCC1B1間的距離，A1E=，因?yàn)锳1C為∠ACC1的平分線，故A1D=A1E=,作DF⊥AB，F(xiàn)為垂足，連結(jié)A1F,由三垂線定理得A1F⊥AB，故∠A1FD為二面角A1-AB-C的平面角，由AD=,得D為AC的中點(diǎn)，DF=,tan∠A1FD=,所以二面角A1-AB-C的大小為arctan.解法二：以C為坐標(biāo)原點(diǎn)，射線CA為x軸的正半軸，以CB的長(zhǎng)為單位長(zhǎng)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系C-xyz，由題設(shè)知A1D與z軸平行，z軸在平面AA1C1C內(nèi).（1）設(shè)A1（a，0，c），由題設(shè)有a≤2，A（2,0,0）B（0,1,0），則(-2，1，0),，，由得，即，于是①,所以.（2）設(shè)平面BCC1B1的法向量，則，,即，因，故y=0，且（a-2）x-cz=0，令x=c，則z=2-a，，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為，又依題設(shè)，點(diǎn)A到平面BCC1B1的距離為，所以c=.代入①得a=3（舍去）或a=1.于是，設(shè)平面ABA1的法向量，則,即.且-2p+q=0，令p=，則q=2，r=1，，又為平面ABC的法向量，故cos，所以二面角A1-AB-C的大小為arccos20.（本小題滿分12分）設(shè)每個(gè)工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某種設(shè)備的概率分別是，,,，各人是否使用設(shè)備相互獨(dú)立，（1）求同一工作日至少3人需使用設(shè)備的概率；(2)實(shí)驗(yàn)室計(jì)劃購(gòu)買k臺(tái)設(shè)備供甲、乙、丙、丁使用，若要求“同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k”的概率小于，求k的最小值.答案：見(jiàn)解析解析：記Ai表示事件：同一工作日乙、丙中恰有i人需使用設(shè)備，i=0,1,2.B表示事件：甲需使用設(shè)備.C表示事件：丁需使用設(shè)備.D表示事件：同一工作日至少3人需使用設(shè)備.E表示事件：同一工作日4人需使用設(shè)備.F表示事件：同一工作日需使用設(shè)備的人數(shù)大于k.（1）D=A1·B·C+A2·B+A2··CP(B)=，P(C)=，P(Ai)=.所以P(D)=P(A1·B·C+A2·B+A2··C)=P(A1·B·C)+P(A2·B)+P(A2··C)=P(A1P)·P(B)·P(C)+P(A2)·P(B)+P(A2)·p()·p(C)=.(2)由（1）知，若k=3，則P(F)==>.又E=B·C·A2,P(E)=P(B·C·A2)=P(B)·P(C)·P(A2)=；若k=4，則P(F)=<.所以k的最小值為3.21.（本小題滿分12分）函數(shù)f(x)=ax3+3x2+3x(a≠0).（1）討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；（2）若函數(shù)f(x)在區(qū)間（1，2）是增函數(shù)，求a的取值范圍.答案：見(jiàn)解析解析：（1），的判別式△=36（1-a）.（i）若a≥1，則，且當(dāng)且僅當(dāng)a=1，x=-1，故此時(shí)f（x）在R上是增函數(shù).（ii）由于a≠0，故當(dāng)a<1時(shí)，有兩個(gè)根：，若0<a<1,則當(dāng)x∈（－，x2）或x∈（x1，+）時(shí)，，故f（x）在（－，x2），（x1，+）上是增函數(shù)；當(dāng)x∈（x2，x1）時(shí)，，故f（x）在（x2，x1）上是減函數(shù)；（2）當(dāng)a>0，x>0時(shí),，所以當(dāng)a>0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1，2）是增函數(shù).若a<0時(shí)，f（x）在區(qū)間（1,2）是增函數(shù)當(dāng)且僅當(dāng)且，解得.綜上，a的取值范圍是.22.（本小題滿分12分）已知拋物線C:的焦點(diǎn)為F，直線y=4與y軸的交點(diǎn)為P，與C的交點(diǎn)為Q，且.(1)求拋物線C的方程；(2)過(guò)F的直線l與C相交于A,B兩點(diǎn)，若AB的垂直平分線與C相交于M,N兩點(diǎn)，且A,M,B,N四點(diǎn)在同一個(gè)圓上，求直線l的方程.答案：見(jiàn)解析解析：（1）設(shè)Q（x0，4），代入由中得x0=，所以，由題設(shè)得，解得p=－2（舍去）或p=2.所以C的方程為.（2）依題意知直