《一元二次方程應(yīng)用題》設(shè)計(jì)

《一元二次方程應(yīng)用題(一)》教學(xué)設(shè)計(jì)教學(xué)目標(biāo)(一)會(huì)列一元二次方程解應(yīng)用題；(二)進(jìn)一步掌握解應(yīng)用題的步驟和關(guān)鍵；(三)通過一題多解使學(xué)生體會(huì)列方程的實(shí)質(zhì)，培養(yǎng)靈活處理問題的能力.教學(xué)重點(diǎn)和難點(diǎn)重點(diǎn)：列方程解應(yīng)用題.難點(diǎn)：會(huì)用含未知數(shù)的代數(shù)式表示題目里的中間量(簡(jiǎn)稱關(guān)系式)；會(huì)根據(jù)所設(shè)的不同意義的未知數(shù)，列出相應(yīng)的方程.教學(xué)過程設(shè)計(jì)(一)復(fù)習(xí)1.寫出本節(jié)課的課題：一元二次方程的應(yīng)用.2.請(qǐng)同學(xué)們回憶并回答解一元一次方程應(yīng)用題的一般步驟：第一步：弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù)；第二步：找出能夠表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系；第三步：根據(jù)這些相等關(guān)系列出需要的代數(shù)式(簡(jiǎn)稱關(guān)系式)，從而列出方程；第四步：解這個(gè)方程，求出未知數(shù)的值；第五步：在檢查求得的答數(shù)是否符合應(yīng)用題的實(shí)際意義后，寫出答案(包括單位名稱.)3.解一元二次方程的應(yīng)用題的步驟與解一元一次方程應(yīng)用題的步驟一樣.我們先來解一些具體的題目，然后總結(jié)一些規(guī)律或應(yīng)注意事項(xiàng).(二)新課例1(課本P41)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的積是323，求這兩個(gè)數(shù).第一步：弄清題意和題目中的已知數(shù)、未知數(shù)，用字母表示題目中的一個(gè)未知數(shù).1.什么是奇數(shù)?不能被2整除的整數(shù)叫做奇數(shù)，例如±1，±3，±5…，一般地，設(shè)n為整數(shù)，則2n-1(或2n+1)表示一個(gè)奇數(shù).,-3,-5…，1,3,5…是連續(xù)奇數(shù)，它們之間相差2(或-2).2n-1與2n+1是連續(xù)奇數(shù)，2n+1與2n+3也是連續(xù)奇數(shù)(其中n是任意整數(shù)).如果規(guī)定了x是奇數(shù)，那么x-2與x是連續(xù)奇數(shù)，x+2與x也是連續(xù)奇數(shù).3.本題里，已知數(shù)是323，未知數(shù)是兩個(gè)連續(xù)奇數(shù).第二步：本題里，表示應(yīng)用題全部含義的相等關(guān)系是(1)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積=323；(2)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之差=±2.解法1：用相等關(guān)系(2)寫出關(guān)系式，用相等關(guān)系(1)列方程.設(shè)較小的一個(gè)奇數(shù)為x，那么較大的一個(gè)奇數(shù)為x+2,根據(jù)相等關(guān)系：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積=323，列出方程x(x+2)=323.整理，得x2+2x-232=0,解方程，得x1=17,x2=-19.當(dāng)x=17時(shí)，x+2=19.當(dāng)x=-19時(shí)，x+2=-17.檢驗(yàn)：17×19=323;(-19)×(-17)=323.都符合題意.答：這兩個(gè)連續(xù)數(shù)是17，19或-19,-17.(注：檢驗(yàn)這一步，課本上例題沒有要求寫出，我們?cè)诮忸}時(shí)，作業(yè)上雖可不寫出，但不要忽略這一步)解法2：用相等關(guān)系(1)寫出關(guān)系式，用相等關(guān)系(2)列方程.設(shè)較大的一個(gè)奇數(shù)為x，則較小的一個(gè)奇數(shù)為,根據(jù)相等關(guān)系：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的差=±2，列出方程x-=2.用x乘方程兩邊，得x2-2x-323=0.解這個(gè)方程，得x1=19,x2=-17.當(dāng)x=19時(shí)，==17.當(dāng)x=-17時(shí)，=-19.經(jīng)過檢驗(yàn)，這兩組答數(shù)都符合題意.答：這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為19，17，或-17,-19.解法3：設(shè)x是任意整數(shù)，則兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)為2x-1,2x+1.根據(jù)相等關(guān)系：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積=323，列出方程(2x-1)(2x+1)=323.整理，得4x2-1=323,x2=81.解得x1=9,x2=-9;當(dāng)x1=9時(shí)，2x-1=17,2x+1=19;當(dāng)x2=-9時(shí)，2x-1=-19,2x+1=-17.經(jīng)過檢驗(yàn)，這兩組答數(shù)都符合題意.答：這兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)是19，17，或-19,-17.現(xiàn)在從上面的三種解法來分析列方程，解應(yīng)用題要注意的地方.第一步：弄清題意.本題需要先弄清什么奇數(shù)，什么是連續(xù)奇數(shù)，用x表示哪個(gè)未知數(shù)?解法1與解法2是用x直接表示其中一個(gè)奇數(shù)，而解法3所設(shè)的x表示的是任意整數(shù)，然后，間接地用2x-1,2x+1表示連續(xù)奇數(shù)；第二步：描述相等在系.因?yàn)榉匠淌呛形粗獢?shù)的等式，所以必須有相等關(guān)系.本題中的“兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的乘積等于323”是相等關(guān)系，可是還有一個(gè)比較隱蔽的相等關(guān)系是“兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)之差等于2或-2”；第三步：根據(jù)相等關(guān)系，寫出需要的代數(shù)式(關(guān)系式)，從而列出方程.這一步分兩方面講，“同需要的代數(shù)式”(關(guān)系式)是指用含未知數(shù)x的代數(shù)式來表示題目里除了用字母x表示的那個(gè)量以外的所有其他的量，像解法1里，用x+2表示較大的那個(gè)奇數(shù)；像解法2里，用表示較小的那個(gè)奇數(shù)；像解法3里，用2x-1,2x+1表示兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)；寫出這些代數(shù)式，是解應(yīng)用題的關(guān)鍵.打個(gè)比哈，方程是一輛完整的自行車，那么，這年代數(shù)式就是一些小零件，把這些零件準(zhǔn)備齊全了，組裝起來就是一輛自行車了.列方程，就是根據(jù)題目里的相等關(guān)系，把含未知數(shù)的代數(shù)式(關(guān)系式)，恰當(dāng)?shù)貥?gòu)成一個(gè)等式，就是含未知數(shù)的等式，就是方程.不同的相等關(guān)系，就列出不同的方程，像解法1與解法2是用不同的相等關(guān)系列出的不同的方程，它們的解題過程可能有簡(jiǎn)有繁.但得到的答案應(yīng)該是一樣的.例2某林場(chǎng)修建一條斷面為等腰梯形的渠道，斷面面積為米2，上口寬比渠深多2米，渠底寬比渠深多米，(圖12-4).求渠道的上口寬與渠底寬各是多少?(這是課本P43，習(xí)題，A組第7題的(1)問).分析：題目的已知數(shù)為，2，.有三個(gè)未知量：上口寬、渠底寬及渠深，有三個(gè)相等關(guān)系：1.斷面面積米2；2.上口寬=渠深+2米；3.渠底寬=渠深+米.本題設(shè)渠深為x米較方便，那么上口寬與渠底寬便是題目里除了渠深以外的其他量，它們可用含x的代數(shù)式表示.解：設(shè)渠深為x米，則上口寬為(x+2)米，渠底寬為(x+米.(因?yàn)樵趯懘鷶?shù)(關(guān)系式)時(shí)已用了第2、第3兩個(gè)相等關(guān)系，所以只能用剩下的一個(gè)相等關(guān)系來建立方程了)，列方程，斷面面積=(上底+下底)×高，即=[(x+2)+(x+]x,化簡(jiǎn)整理，得x2+解這個(gè)方程，得x1=,x2=-2.因?yàn)榍畈豢赡苁秦?fù)數(shù)，應(yīng)舍去x1=-2.取x=.檢驗(yàn)：上口寬=米，渠底寬米，渠深米.+×=×4×=(米2)，符合題意.答：渠道上口寬米，渠底寬米.(三)課堂練習(xí)1.濃度為m%的鹽酸n千克，含純鹽酸____千克；若再加p千克水，此時(shí)濃度為____.2.制造一種產(chǎn)品，原來每件的成本是120元，由于連續(xù)兩次降低成本，現(xiàn)在成本為78元.求平均每次降低成本百分之幾?答案或提示：2.設(shè)每次降低成本的百分率為x，則120(1-x)2=78,1-x≈±，取x=%.(四)小結(jié)列方程解應(yīng)用題的步驟是：1.仔細(xì)了解題意及有關(guān)的事物的概念.2.找題中給出的等量關(guān)系和隱含的等量關(guān)系.3.選設(shè)未知數(shù)，并用含這個(gè)未知數(shù)的代數(shù)式表示其他未知量(這種代數(shù)式叫做關(guān)系式).4.利用未曾用過的等量關(guān)系列方程.5.解方程.6.檢驗(yàn)得數(shù)是否符合題意，然后做答.(五)作業(yè)1.將一升水加入到硫酸和水的混合液中，得到新的混合液含硫酸20%，再將一升硫酸加入到新的混合液中，如果使混合液含硫酸33%，在原混合液中含硫酸的百分比是().(A)22%(B)24%(C)25%(D)33%2.有一個(gè)兩位數(shù)，如果用數(shù)字之和去除，則商8余7，如果用數(shù)字對(duì)調(diào)后的兩位數(shù)去除原來的兩位數(shù)，則商4余3，則這個(gè)兩位數(shù)是_________.3.要做一個(gè)容積是750cm3，高是6cm，底面的長(zhǎng)比寬多5cm的長(zhǎng)方形匣子，底面的長(zhǎng)及寬應(yīng)該各是多少?(精確到4.某農(nóng)場(chǎng)的糧食產(chǎn)量在兩年內(nèi)從3000噸增加到3630噸，平均每年增產(chǎn)的百分率是多少?5.某人承包在一定時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)某種產(chǎn)品960件，開始工作后每個(gè)月比原計(jì)劃多生產(chǎn)40件，結(jié)果提前4個(gè)月完成，若每月生產(chǎn)數(shù)量都相同，求實(shí)際上工作了多少個(gè)月?6.甲、乙兩城之間有公路相通.從甲城到乙城，A車需要12時(shí)，B車需15時(shí)，若行駛方向不影響速度，A車先從甲城開出3時(shí)，B車再?gòu)囊页情_出，問B車開出后幾時(shí)兩車相遇.作業(yè)的答案或提示1.設(shè)原來混合液體積為y升，把一升水加到原來混合液中，新的混合液體積為(1+y)升，在(1+y)升中的混合液中含硫酸(1+y)·20%升，再將1升硫酸加入到新的混合液中(把它叫做第二次新混合液)，則第二次新混合液的體積為(1+1+y)升，第二次新混合液中含硫酸[1+(1+y)·20%]升，根據(jù)題意列出方程為化簡(jiǎn)方程1+1+y52+y=13,得y=4，所以原來混合液體積為4升，原來混合液中含硫酸(1+4)×20%=1(升).因此原來混合液中含硫酸的百分比為=25%.故選(C).2.設(shè)這兩位數(shù)的十位數(shù)字是x，個(gè)位數(shù)字是y,則有4.設(shè)平均每年增產(chǎn)的百分率為x,原產(chǎn)量為3000噸，一年后的產(chǎn)量為3000·x+3000=3000(1+x)(噸).兩年后的產(chǎn)量為3000(1+x)·x+3000(1+x)=3000(1+x)2.列方程3000(1+x)2=3630.課堂教學(xué)設(shè)計(jì)說明1.學(xué)生對(duì)列方程解應(yīng)用題感到困難，這是應(yīng)當(dāng)引起重視的.為此，在教學(xué)過程設(shè)計(jì)中著重講述了寫“關(guān)系式”及找相等關(guān)系列方程.2.用代數(shù)方法列方程解應(yīng)用題，由于有了x，中間量很容易用含有x的代數(shù)式(關(guān)系式)來表示，只要抓住等量關(guān)系，那么布列方程不過是把日常語言用數(shù)學(xué)符號(hào)表示出來而已.學(xué)生是不是理解了列方程解應(yīng)用問題的實(shí)質(zhì)，就在于設(shè)了x之后能不能用含有x的代數(shù)式(關(guān)系式)表示題目中涉及的未知量(中間量)，并以“關(guān)系式”為基礎(chǔ)，根據(jù)題目中的相等關(guān)系列出方程.對(duì)列方程到吃力的同學(xué)，大多是對(duì)這個(gè)道理解不夠，雖然會(huì)設(shè)未知數(shù)x，但卻不知用出方程.對(duì)列方程感到吃力的同學(xué)，大多是對(duì)這個(gè)道理理解不夠，雖然會(huì)