【課件】6.2.3向量的數(shù)乘運(yùn)算（PPT）(人教A版2019必修第二冊(cè))

第六章

平面向量及其應(yīng)用6.2平面向量的運(yùn)算教材分析本小節(jié)內(nèi)容選自《普通高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)》人教A版（2019）第六章《平面向量及其應(yīng)用》的第二節(jié)《平面向量的運(yùn)算》。以下是本節(jié)的課時(shí)安排：第二節(jié)平面向量的運(yùn)算課時(shí)內(nèi)容向量的加法運(yùn)算向量的減法運(yùn)算向量的數(shù)乘運(yùn)算向量的數(shù)量積所在位置教材第7頁(yè)教材第11頁(yè)教材第13頁(yè)教材第17頁(yè)新教材內(nèi)容分析向量的加法是向量的第一運(yùn)算，是向量其他運(yùn)算的基礎(chǔ)。通過(guò)本節(jié)課讓學(xué)生知道向量也是一種量，同其他量一樣也有自己的運(yùn)算，學(xué)好本節(jié)課為后面的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)，為用“數(shù)”的運(yùn)算解決“形”的問(wèn)題提供工具和方法。本節(jié)課先引出相反向量，再類比實(shí)數(shù)的減法運(yùn)算，通過(guò)相反向量將減法運(yùn)算轉(zhuǎn)化為加法運(yùn)算，體現(xiàn)了減法運(yùn)算和加法運(yùn)算之間的內(nèi)部聯(lián)系。實(shí)數(shù)與向量的乘積仍然是一個(gè)向量，即有大小又有方向，特別是與已知向量是共線向量，進(jìn)而引出共線向量定理。教材以物理中力作功為背景引入向量的數(shù)量積，與向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算一樣有明顯的幾何意義，用途廣泛，但與向量的線性運(yùn)算不同的是，數(shù)量積的運(yùn)算結(jié)果是數(shù)量而不是向量。核心素養(yǎng)培養(yǎng)通過(guò)理解向量加法的概念以及向量加法的幾何意義，掌握向量加法的平行四邊形法則和三角形法則，會(huì)用它們解決實(shí)際問(wèn)題，培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。借助相反向量理解向量減法運(yùn)算的幾何意義，掌握平面向量減法運(yùn)算及運(yùn)算規(guī)則，培養(yǎng)學(xué)生邏輯推理、直觀想象的核心素養(yǎng)。理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。會(huì)計(jì)算兩個(gè)向量的數(shù)量積，提升數(shù)學(xué)抽象的核心素養(yǎng).通過(guò)探究投影向量的表達(dá)式，進(jìn)而得到數(shù)量積的幾何意義，提升直觀想象，邏輯推理的核心素養(yǎng).教學(xué)主線平面向量的運(yùn)算學(xué)習(xí)目標(biāo)

1.理解向量數(shù)乘的定義及幾何意義，掌握向量數(shù)乘的運(yùn)算律，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、直觀想象的核心素養(yǎng)。2.掌握向量共線定理，會(huì)判斷或證明兩個(gè)向量共線，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理的核心素養(yǎng)。重點(diǎn)、難點(diǎn)重點(diǎn)：理解并掌握兩向量共線的性質(zhì)和判斷方法難點(diǎn)：能熟練地運(yùn)用向量共線的性質(zhì)和判斷方法處理有關(guān)向量共線問(wèn)題（一）新知導(dǎo)入

1.創(chuàng)設(shè)情境，生成問(wèn)題夏季的雷雨天，我們往往先看到閃電，后聽到雷聲，雷閃發(fā)生于同一點(diǎn)而傳到我們這兒為什么有個(gè)時(shí)間差？這說(shuō)明聲速與光速的大小不同，光速是聲速的88萬(wàn)倍．若設(shè)光速為v1，聲速為v2，將向量類比于數(shù)，則有v1＝880000v2.對(duì)于880000v2，我們規(guī)定是一個(gè)向量，其方向與v2相同，其長(zhǎng)度為v2長(zhǎng)度的880000倍．這樣實(shí)數(shù)與向量的積的運(yùn)算稱為向量的數(shù)乘．【想一想】向量數(shù)乘的幾何意義及運(yùn)算律是怎樣規(guī)定的呢？（一）新知導(dǎo)入2.探索交流，解決問(wèn)題【問(wèn)題1】實(shí)數(shù)運(yùn)算,x+x+x=3x,思考

能否寫成

呢?[提示]可以,即

=

.

（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算1．定義：一般地，我們規(guī)定實(shí)數(shù)λ與向量a的積是一個(gè)

，這種運(yùn)算叫做

，記作

.2．規(guī)定：①|(zhì)λa|＝

，②當(dāng)λ>0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ<0時(shí)，λa的方向與a的方向

；當(dāng)λ＝0時(shí)，λa＝

.3．運(yùn)算律：設(shè)λ，μ為實(shí)數(shù)，則(1)λ(μa)＝

；(2)(λ＋μ)a＝

；(3)λ(a＋b)＝

(分配律)．特別地，我們有(－λ)a＝－λa＝

，λ(a－b)＝

.

1.向量的數(shù)乘運(yùn)算向量向量的數(shù)乘λa|λ||a|相同相反0λμaλa＋μaλa＋λbλa－λbλ(－a)線性運(yùn)算

（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算【做一做1】已知非零向量a、b滿足a＝4b，則()A．|a|＝|b|B．4|a|＝|b|C．a(chǎn)與b的方向相同D．a(chǎn)與b的方向相反【做一做2】4(a－b)－3(a＋b)－b等于()A．a(chǎn)－2bB．a(chǎn)C．a(chǎn)－6b D．a(chǎn)－8b解析：∵a＝4b,4>0，∴|a|＝4|b|.∵4b與b的方向相同，∴a與b的方向相同．答案：CD（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算2.向量共線定理

向量共線定理：向量a(a≠0)與b共線，

有

實(shí)數(shù)λ，使得

.當(dāng)且僅當(dāng)唯一一個(gè)b＝λa（二）向量的數(shù)乘運(yùn)算【辯一辯】正確的打“√”，錯(cuò)誤的打“×”答案:(1)√(2)×(3)×(4)√(5)×（三）典型例題1.向量的線性運(yùn)算例1.計(jì)算：(1)6(3a－2b)＋9(－2a＋b)；(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]；(3)6(a－b＋c)－4(a－2b＋c)－2(－2a＋c)．【解】(1)原式＝18a－12b－18a＋9b＝－3b.(2)[(3a＋2b)－a－b]－[a＋(b＋a)]＝(3a－a＋2b－b)－(a＋a＋b)＝(a＋b)－(a＋b)＝a＋b－a－b＝0.(3)原式＝6a－6b＋6c－4a＋8b－4c＋4a－2c＝(6a－4a＋4a)＋(8b－6b)＋(6c－4c－2c)＝6a＋2b.（三）典型例題【類題通法】向量的數(shù)乘運(yùn)算可類似于代數(shù)多項(xiàng)式的運(yùn)算．例如，實(shí)數(shù)運(yùn)算中的去括號(hào)、移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、提取公因式等變形手段在數(shù)與向量的乘積中同樣適用，但是在這里的“同類項(xiàng)”“公因式”指向量，實(shí)數(shù)看作是向量的系數(shù).【鞏固練習(xí)1】計(jì)算：（三）典型例題2.向量共線定理及其應(yīng)用

（三）典型例題

【鞏固練習(xí)2】已知a與b是兩個(gè)不共線向量，且向量a＋λb與－(b－3a)共線，則λ＝________．

（三）典型例題3.用已知向量表示其他向量例3.如圖，ABCD是一個(gè)梯形，，M，N分別是DC，AB的中點(diǎn)，（三）典型例題【變式探究】（三）典型例題【類題通法】用已知向量表示其他向量的方法(1)直接法(2)方程法當(dāng)直接表示比較困難時(shí)，可以首先利用三角形法則和平行四邊形法則建立關(guān)于所求向量和已知向量的等量關(guān)系，然后解關(guān)于所求向量的方程．（四）操作演練

素養(yǎng)提升1.(2a－b)－(2a＋b)等于()A．a(chǎn)－2bB．－2bC．0D．b－a答案：1.B2.C3.D4.－2課堂小結(jié)知識(shí)總結(jié)學(xué)生反思（1）通過(guò)這節(jié)課，你學(xué)到了什么知識(shí)？

（2）在解決問(wèn)題時(shí)，用到了哪些數(shù)學(xué)思想？作業(yè)布置完成教材——第15頁(yè)練習(xí)第1，2