高等數(shù)學(xué)第八章D8-4曲面方程

四、二次曲面第四節(jié)一、曲面方程的概念二、旋轉(zhuǎn)曲面

三、柱面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束曲面及其方程

第八章一、曲面方程的概念機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

在平面幾何中，平面曲線看作平面上動點的幾何軌跡.在空間解析幾何中，空間曲面可以看成是空間中動點的幾何軌跡.水桶的表面、臺燈的罩子面等．曲面的實例：定義1.如果曲面

S

與方程

F(x,y,z)=0有下述關(guān)系:(1)曲面

S上的任意點的坐標(biāo)都滿足此方程;則F(x,y,z)=0

叫做曲面

S

的方程,曲面S叫做方程F(x,y,z)=0的圖形.兩個基本問題:(1)已知一曲面作為點的幾何軌跡時,(2)不在曲面S上的點的坐標(biāo)不滿足此方程,求曲面方程.(2)已知方程時,研究它所表示的幾何形狀(必要時需作圖).機動目錄上頁下頁返回結(jié)束故所求方程為例1.

求動點到定點方程.特別,當(dāng)M0在原點時,球面方程為解:

設(shè)軌跡上動點為即依題意距離為

R

的軌跡表示上(下)球面.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束例2.

研究方程解:

配方得此方程表示:說明:如下形式的三元二次方程

(A≠0)都可通過配方研究它的圖形.其圖形可能是的曲面.表示怎樣半徑為的球面.球心為一個球面機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義2.一條平面曲線二、旋轉(zhuǎn)曲面

繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸.這條平面曲線稱為旋轉(zhuǎn)曲面的母線。例如:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束如何建立yoz面上曲線C

繞

z

軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程？故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞

z軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定yoz

面上曲線

C:則有則有該點轉(zhuǎn)到機動目錄上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)曲面的方程構(gòu)成？思考：當(dāng)曲線C繞y軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？機動目錄上頁下頁返回結(jié)束

類似,xoy面上的曲線f(x,y)=0繞x軸旋轉(zhuǎn)所得到的旋轉(zhuǎn)曲面方程為：例3.試建立頂點在原點,旋轉(zhuǎn)軸為z軸,半頂角為的圓錐面方程.解:在yoz面上直線L的方程為繞z

軸旋轉(zhuǎn)時,圓錐面的方程為兩邊平方機動目錄上頁下頁返回結(jié)束上式表示的曲面稱為圓錐面，點o稱為圓錐的頂點.例4.

求坐標(biāo)面xoz

上的雙曲線分別繞

x軸和

z

軸旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)曲面方程.解:繞

x

軸旋轉(zhuǎn)繞

z

軸旋轉(zhuǎn)旋轉(zhuǎn)單葉雙曲面.所成曲面方程為所成曲面方程為機動目錄上頁下頁返回結(jié)束旋轉(zhuǎn)雙葉雙曲面旋轉(zhuǎn)橢球面旋轉(zhuǎn)拋物面P24第7題三、柱面引例.

分析方程在空間表示怎樣的曲面？的坐標(biāo)也滿足方程解:在xoy面上，表示圓C,沿曲線C平行于

z軸的一切直線所形成的曲面稱為圓故在空間過此點作柱面.對任意

z,平行

z

軸的直線

l,表示圓柱面在圓C上任取一點其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程,機動目錄上頁下頁返回結(jié)束定義3.平行定直線并沿定曲線C

移動的直線l形成的軌跡叫做柱面.表示拋物柱面,母線平行于

z

軸;準(zhǔn)線為xoy

面上的拋物線.

z

軸的橢圓柱面.z

軸的平面.表示母線平行于(且z

軸在平面上)表示母線平行于C

叫做準(zhǔn)線,l

叫做母線.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束雙曲柱面一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于x

軸;平行于

y

軸;平行于

z

軸;準(zhǔn)線

xoz

面上的曲線l3.母線柱面,準(zhǔn)線

xoy

面上的曲線l1.母線準(zhǔn)線

yoz面上的曲線l2.母線機動目錄上頁下頁返回結(jié)束作業(yè)習(xí)題8-42，4，8(1,4)

四、二次曲面

空間直角坐標(biāo)系中的空間曲面用方程F(x,y,z)=0表示.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是一次(或某些項為零)的，則表示的曲面為平面，也稱平面為一次曲面.若方程F(x,y,z)=0中的x、y、z是二次(或某些項為一次、零次)的，即方程F(x,y,z)=0為三元二次方程，則表示的曲面稱為二次曲面.即：三元一次方程A

x+By+Cz+D=0

所表示的平面被稱為一次曲面．其基本類型有:橢球面、拋物面、雙曲面、錐面了解空間曲面形狀的兩種常用方法：（1）截痕法

用坐標(biāo)面和平行于坐標(biāo)面的平面與曲面相截，考察其交線（即截痕）的形狀，然后加以綜合，從而了解曲面的全貌．（2）伸縮變形法：1.橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機動目錄上頁下頁返回結(jié)束與的交線為橢圓：(4)當(dāng)a＝b

時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)a＝b＝c

時為球面.(3)截痕:為正數(shù))機動目錄上頁下頁返回結(jié)束可視為：由xoz面上的拋物線：繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而得的旋轉(zhuǎn)拋物面。問：用平面：z=h(h>0),y=h,x=h去截曲面，得到的截痕是什么？2.拋物面(1)橢圓拋物面(p,q

同號)特別，當(dāng)p=q時,方程變?yōu)?2)雙曲拋物面（鞍形曲面）(p,q同號)當(dāng)z=h>0時，截線是雙曲線當(dāng)z=h=0時，截線是xoy平面上的兩條相交于原點的直線;當(dāng)z=h<0時，截線是雙曲線，但實軸平行于x軸，虛軸平行于y軸.當(dāng)x=h=0時，截線是yOz平面上的頂點為原點的拋物線當(dāng)y=h=0時，截線是xOz平面上的頂點為原點的拋物線，且開口向下.

3.雙曲面(1)單葉雙曲面

(2)雙葉雙曲面4.橢圓錐面橢圓在平面x＝0或y＝0上的截痕為過原點的兩直線.可以證明,橢圓①上任一點與原點的連線均在曲面上.①(橢圓錐面也可由圓錐面經(jīng)x

或y方向的伸縮變換得到)機動目錄上頁下頁返回結(jié)束內(nèi)容小結(jié)1.

空間曲面三元方程

球面

旋轉(zhuǎn)曲面如,曲線繞z

軸的旋轉(zhuǎn)曲面:

柱面如,曲面表示母線平行z

軸的柱面.又如,橢圓柱面,雙曲柱面,拋物柱面等.機動目錄上頁下頁返回結(jié)束2.二次曲面三元二次方程

橢球面

拋物面:橢圓拋物面雙曲拋物面

雙曲面:單葉雙曲面雙葉雙曲面

橢圓錐面:機動目錄上頁下頁返回結(jié)束斜率為1的直線平