高中數(shù)學(xué)高考三輪沖刺 天津南開(kāi)中學(xué)2023屆高三數(shù)學(xué)解析壓軸題復(fù)習(xí)

橢圓：的離心率為，是橢圓的焦點(diǎn)，直線的斜率為，為坐標(biāo)原點(diǎn).(Ⅰ)求的方程；（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與相交于兩點(diǎn)，當(dāng)?shù)拿娣e最大時(shí)，求的方程.解：在平面直角坐標(biāo)系中，橢圓的離心率為，直線被橢圓截得的線段長(zhǎng)為.（Ｉ）求橢圓的方程；（II）過(guò)原點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)（A，B不是橢圓C的頂點(diǎn)）.點(diǎn)D在橢圓C上，且，直線BD與軸、軸分別交于M，N兩點(diǎn). （i）設(shè)直線BD，AM的斜率分別為，證明存在常數(shù)使得，并求出的值； （ii）求面積的最大值.解：（I）由題意知，可得.橢圓C的方程可化簡(jiǎn)為.將代入可得，因此，可得.因此，所以橢圓C的方程為.（II）（?。┰O(shè)，則，因?yàn)橹本€AB的斜率，又，所以直線AD的斜率，設(shè)直線AD的方程為，由題意知，由，可得.所以，因此，由題意知，所以，所以直線BD的方程為，令，得，即.可得.所以，即.因此存在常數(shù)使得結(jié)論成立.（ⅱ）直線BD的方程，令，得，即，由（?。┲?，可得的面積，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)S取得最大值，所以的面積的最大值為.圓的切線與x軸正半軸，y軸正半軸圍成一個(gè)三角形，當(dāng)該三角形面積最小時(shí)，切點(diǎn)為P（如圖），雙曲線過(guò)點(diǎn)P且離心率為.（1）求的方程；（2）橢圓過(guò)點(diǎn)P且與有相同的焦點(diǎn)，直線過(guò)的右焦點(diǎn)且與交于A，B兩點(diǎn)，若以線段AB為直徑的圓心過(guò)點(diǎn)P，求的方程.（Ⅰ）設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)為，則切線斜率為，切線方程為，即，此時(shí)，兩個(gè)坐標(biāo)軸的正半軸與切線圍成的三角形面積為.由知當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)有最大值，即S有最小值，因此點(diǎn)P得坐標(biāo)為，由題意知解得，故方程為.（Ⅱ）由（Ⅰ）知的焦點(diǎn)坐標(biāo)為，由此的方程為，其中.由在上，得，解得b12=3，因此C2方程為顯然，l不是直線y=0.設(shè)l的方程為x=my+，點(diǎn)由得，又是方程的根，因此，由得因由題意知，所以，將①，②，③，④代入⑤式整理得，解得或，因此直線l的方程為，或.設(shè)橢圓：，拋物線：．（Ⅰ）若經(jīng)過(guò)的兩個(gè)焦點(diǎn)，求的離心率；（Ⅱ）設(shè)，，又為與不在軸上的兩個(gè)交點(diǎn)，若的垂心為，且的重心在上，求橢圓和拋物線的方程．（1）由已知橢圓焦點(diǎn)(c,0)在拋物線上，可得：，由。(2)由題設(shè)可知M、N關(guān)于y軸對(duì)稱，設(shè),由的垂心為B，有。由點(diǎn)在拋物線上，，解得：故，得重心坐標(biāo).由重心在拋物線上得：，，又因?yàn)镸、N在橢圓上得：，橢圓方程為，拋物線方程為。【審題要津】對(duì)：，令，解出的在軸上的橫截距即為的焦點(diǎn)的橫坐標(biāo)，據(jù)此（與的關(guān)系）易得的離心率．解：（Ⅰ）對(duì)：，令，解得．由題設(shè)知，于是．【審題要津】易見(jiàn)同時(shí)是與的頂點(diǎn)．由是的垂心，可得，又的重心在上（坐標(biāo)滿足方程）也可得一個(gè)方程．兩個(gè)方程均需點(diǎn)的坐標(biāo)，于是應(yīng)先由求出點(diǎn)的坐標(biāo)（用的參數(shù)表示）．好在有一個(gè)已知的公共點(diǎn)，計(jì)算不難．解：（Ⅱ）設(shè)的焦距為，①-②得，．

注意到是其一個(gè)“當(dāng)然的”根，依韋達(dá)定理，則另一根為．代入②，得．于是，．由，得．于是，，此時(shí)，，．的重心的坐標(biāo)為．由，．解得，于是，，故的方程為，的方程為．【解法研究】（Ⅱ）求與的交點(diǎn)時(shí)，充分利用是其一個(gè)“已知”的公共點(diǎn)，對(duì)方程有一個(gè)根為的判斷就是“當(dāng)然的”——不算也可知，“驗(yàn)一下”也是為了確保方程無(wú)誤．此外，計(jì)算過(guò)程中不宜追求用兩個(gè)字母表示，否則式子會(huì)較繁，畢竟還有一個(gè)“做后盾”．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，分別是橢圓的左、右焦點(diǎn)，頂點(diǎn)B的坐標(biāo)為，連結(jié)并延長(zhǎng)交橢圓于點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線交橢圓于另一點(diǎn)C，連結(jié)．（1）若點(diǎn)C的坐標(biāo)為，且，求橢圓的方程；（2）若，求橢圓離心率e的值．【答案】本小題主要考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與幾何性質(zhì)、直線與直線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力.滿分14分.（1）∵，∴∵，∴，∴∴橢圓方程為（2）設(shè)焦點(diǎn)∵關(guān)于x軸對(duì)稱，∴∵三點(diǎn)共線，∴，即①∵，∴，即②①②聯(lián)立方程組，解得∴∵C在橢圓上，∴，化簡(jiǎn)得，∴,故離心率為已知橢圓，求橢圓的離心率.設(shè)為原點(diǎn)，若點(diǎn)在橢圓上，點(diǎn)在直線上，且，求直線與圓的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論.

解：（I）由題意，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為。所以，從而。因此。故橢圓C的離心率。（Ⅱ）直線AB與圓相切。證明如下：設(shè)點(diǎn)A,B的坐標(biāo)分別為，，其中。因?yàn)?，所以，即，解得。?dāng)時(shí)，，代入橢圓C的方程，得，故直線AB的方程為。圓心O到直線AB的距離。此時(shí)直線AB與圓相切。當(dāng)時(shí)，直線AB的方程為，即，圓心0到直線AB的距離又，故此時(shí)直線AB與圓相切。設(shè)橢圓動(dòng)直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，且點(diǎn)在第一象限.（1）已知直線的斜率為，用表示點(diǎn)的坐標(biāo)；（2）若過(guò)原點(diǎn)的直線與垂直，證明：點(diǎn)到直線的距離的最大值為.（=1\*ROMANI）設(shè)直線的方程為，由，消去得，，由于直線與橢圓只有一個(gè)公共點(diǎn)，故，即，解得點(diǎn)的坐標(biāo)為，由點(diǎn)在第一象限，故點(diǎn)的坐標(biāo)為；（=2\*ROMANII）由于直線過(guò)原點(diǎn)，且與垂直，故直線的方程為，所以點(diǎn)到直線的距離，整理得，因?yàn)?，所以，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.已知橢圓的一個(gè)焦點(diǎn)為，離心率為，（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）若動(dòng)點(diǎn)為橢圓外一點(diǎn)，且點(diǎn)P到橢圓C的兩條切線相互垂直，求點(diǎn)P的軌跡方程。解：（１）可知，又，，，橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程為；（２）設(shè)兩切線為，①當(dāng)軸或軸時(shí)，對(duì)應(yīng)軸或