2022年北京密云焦家塢中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析

2022年北京密云焦家塢中學(xué)高二數(shù)學(xué)文上學(xué)期期末試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.以拋物線上的任意一點(diǎn)為圓心作圓與直線相切，這些圓必過一定點(diǎn)，則這一定點(diǎn)的坐標(biāo)是（

）

A．

B．（2，0）

C．（4，0）

D．參考答案：B略2.設(shè)實(shí)數(shù)x，y滿足不等式組若x，y為整數(shù)，則3x＋4y的最小值是()

A．14

B．16

C．17

D．19參考答案：B3.已知橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，若AF⊥BF，設(shè)∠ABF=α，且α∈[，]，則該橢圓離心率e的取值范圍為（）A．[，﹣1] B．[，1)C．[，]D．[，]參考答案：A【考點(diǎn)】橢圓的簡單性質(zhì)．【分析】首先利用已知條件設(shè)出橢圓的左焦點(diǎn)，進(jìn)一步根據(jù)垂直的條件得到長方形，所以：AB=NF，再根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a，由離心率公式e==由的范圍，進(jìn)一步求出結(jié)論．【解答】解：已知橢圓（a＞b＞0）上一點(diǎn)A關(guān)于原點(diǎn)的對稱點(diǎn)為點(diǎn)B，F(xiàn)為其右焦點(diǎn)，設(shè)左焦點(diǎn)為：N則：連接AF，AN，AF，BF所以：四邊形AFNB為長方形．根據(jù)橢圓的定義：|AF|+|AN|=2a∠ABF=α，則：∠ANF=α．所以：2a=2ccosα+2csinα利用e==所以：則：即：橢圓離心率e的取值范圍為[]故選：A4.已知全集U=R，集合則等于（

） A．B． C.D．參考答案：D略5.已知，，，則a，b，c的大小關(guān)系是(

)A. B.C. D.參考答案：B【分析】結(jié)合0,1進(jìn)行a,b,c的大小比較，即可?！驹斀狻?,故,故選B.【點(diǎn)睛】本道題考查了對數(shù)、指數(shù)比較大小，關(guān)鍵可以結(jié)合0,1進(jìn)行大小比較，難度中等6.各項為正的等比數(shù)列中，與的等比中項為，則的最小值為（

）

A．16

B．8

C．

D．4參考答案：B7.將點(diǎn)M的極坐標(biāo)化成直角坐標(biāo)是(

)A. B. C.(5,5) D.(－5,－5)參考答案：A本題考查極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化由點(diǎn)M的極坐標(biāo)，知極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的關(guān)系為，所以的直角坐標(biāo)為即故正確答案為A8.（5分）總周長為12m的鋼條制作一個長方體容器的框架，如果所制作容器的底面的相鄰兩邊長之比為1：2，那么容器容積最大時，長方體的高為（） A．2m B． 1m C． 1.6m D． 3m參考答案：B9.過的焦點(diǎn)作直線交拋物線與兩點(diǎn)，若與的長分別是，則（

）A、

B、

C、

D、參考答案：C略10.方程2x－x2＝0的解的個數(shù)是()A．1

B．2C．3

D．4參考答案：C二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.已知A(3,0),B(0,4),直線AB上一動點(diǎn)P(x,y),則xy的最大值是___________.

參考答案：3略12.甲、乙、丙三位同學(xué)被問到是否去過A，B，C三個城市時，甲說：我去過的城市比乙多，但沒去過B城市；乙說：我沒去過C城市；丙說：我們?nèi)巳ミ^同一個城市。由此可判斷乙去過的城市為

.參考答案：A城市13.在直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線C的參數(shù)方程是（是參數(shù)），若以O(shè)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸，則曲線C的極坐標(biāo)方程可寫為

.參考答案：14.不等式的解集為

.

參考答案：略15.若則下列不等式：①②③中，正確的不等式有(A)1個

(B)2個

(C)3個

(D)0個參考答案：A16.已知命題：“在平面內(nèi)，周長一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，類比上述結(jié)論，可得到空間中的相關(guān)結(jié)論為___________。參考答案：在空間中，表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，球的體積最大【分析】由已知中的平面內(nèi)的性質(zhì)：“在平面內(nèi)，周長一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，根據(jù)平面上的線的性質(zhì)類比空間的面的性質(zhì)，可得空間中“表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，體積最大是球體”，即可得到答案．【詳解】根據(jù)平面中有：“在平面內(nèi)，周長一定的曲線圍成的封閉圖形中，圓的面積最大”，利用類比推理，可得空間中“表面積一定的曲面圍城的封閉幾何體中，球的體積最大”【點(diǎn)睛】本題主要考查了類比推理的應(yīng)用，其中類比推理是依據(jù)兩類數(shù)學(xué)對象的相似性，將已知的一類數(shù)學(xué)對應(yīng)的性質(zhì)類比到另一類數(shù)學(xué)對象上卻，其一般步驟：（1）找出兩類事物的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質(zhì)去推測另一類事物的性質(zhì)，得很一個明確的結(jié)論，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于基礎(chǔ)題．17.已知直線l：x－y＋4＝0與圓C：(x－1)2＋(y－1)2＝2，則圓C上各點(diǎn)到l的距離的最小值為___________.參考答案：略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.求滿足下列條件的直線方程：（1）經(jīng)過點(diǎn)，傾斜角是；（2）經(jīng)過點(diǎn)A(4,0),B(0,3)；（3）經(jīng)過點(diǎn)（2，3），且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等。參考答案：（1）；（2）3x+4y-12=0；(3)x+y-5=0或3x-2y=0.19.已知數(shù)列為等差數(shù)列，，，數(shù)列的前項和為，且有（1）求、的通項公式.（2）若，的前項和為，求.參考答案：解：（1）當(dāng)時，，令，解之得

所以的不動點(diǎn)是-1，3

（2）恒有兩個不動點(diǎn)，所以，即恒有兩個相異實(shí)根，得恒成立。于是解得

所以a的取值范圍為略20.已知正項數(shù)列{an}首項為2，其前n項和為Sn，滿足2Sn－Sn-1＝4(n∈N*，n≥2)．（1）求,的值；（2）求數(shù)列{an}的通項公式；（3）設(shè)(n∈N*)，數(shù)列{bn·bn＋2}的前n項和為Tn，求證：Tn<.參考答案：(1),;(2).(3)見解析.【分析】（1）由遞推條件取n=2,3可得.（2）由遞推條件迭代，兩式相減得到數(shù)列相鄰兩項的關(guān)系，判斷為等比數(shù)列，可得通項公式.（3）利用裂項消去法對求和化簡，可證不等式成立.【詳解】(1),;(2)由2Sn－Sn-1＝4，得2Sn-1－Sn-2＝4(n∈N*，n≥3)，解得(n∈N*，n≥3)，又，所以數(shù)列{an}是首項為2，公比為的等比數(shù)列．故.(3)證明：因?yàn)?所以.故數(shù)列的前n項和.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列通項與前n項和的求法，要求掌握通項與前n項和的關(guān)系，將進(jìn)行裂項變形是求和的關(guān)鍵，考查計算能力，屬于中檔題.21.（12分）從拋物線y2=32x上各點(diǎn)向x軸作垂線，其垂線段中點(diǎn)的軌跡為E．（Ⅰ）求軌跡E的方程；（Ⅱ）已知直線l：y=k（x﹣2）（k＞0）與軌跡E交于A，B兩點(diǎn)，且點(diǎn)F（2，0），若|AF|=2|BF|，求弦AB的長．參考答案：【考點(diǎn)】軌跡方程．【分析】（Ⅰ）先設(shè)出垂線段的中點(diǎn)為M（x，y），P（x0，y0）是拋物線上的點(diǎn)，把它們坐標(biāo)之間的關(guān)系找出來，代入拋物線的方程即可；（Ⅱ）根據(jù)拋物線的方程求出準(zhǔn)線方程，利用拋物線的定義即條件，求出A，B的中點(diǎn)橫坐標(biāo)，即可求出弦AB的長．【解答】解：（Ⅰ）設(shè)垂線段的中點(diǎn)M（x，y），P（x0，y0）是拋物線上的點(diǎn)，D（x0，0），因?yàn)镸是PD的中點(diǎn)，所以x0=x，y=y0，有x0=x，y0=2y，因?yàn)辄c(diǎn)P在拋物線上，所以y02=32x，即4y2=32x，所以y2=8x，所求點(diǎn)M軌跡方程為：y2=8x．（Ⅱ）拋物線y2=8x的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（2，0），準(zhǔn)線方程為x=﹣2，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），則∵|AF|=2|BF|，∴x1+1=2（x2+1），∴x1=2x2+1∵|y1|=2|y2|，∴x1=4x2，∴x1=2，x2=，∴|AB|=x1+x2+p=+4=．【點(diǎn)評】本題主要考查求軌跡方程的方法，考查學(xué)生分析解決問題的能力，利用拋物線的定義將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到準(zhǔn)線的距離是關(guān)鍵，屬于中檔題．22.已知橢圓的左右兩焦點(diǎn)分別為，是橢圓上一點(diǎn)，且在軸上方，．（1）求橢圓的離心率的取值范圍；（2）當(dāng)取最大值時，過的圓的截軸的線段長為6，求橢圓的方程；（3）在（2）的條件下，過橢圓右準(zhǔn)線上任一點(diǎn)引圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為．試探究直線是否過定點(diǎn)？若過定點(diǎn)，請求出該定點(diǎn)；否則，請說明理由．

參考答案：解：，

∴，．(1)，∴,在上單調(diào)遞減．∴時，最小，時，最小，∴，∴．(2)當(dāng)時，，∴，∴．∵,∴是圓的直徑，圓心是的中點(diǎn)，∴在y軸上截得的弦長就是直徑，∴=6．又，∴．∴橢圓方程是