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中學(xué)教師需要了解的課外知識(shí)杭州第十一中學(xué)蔡小雄蝴蝶定理蝴蝶定理(Butterfly
theorem),是古典歐式平面幾何的最精彩的結(jié)果之一。這個(gè)命題最早出現(xiàn)在1815年,而“蝴蝶定理”這個(gè)名稱最早出現(xiàn)在《美國(guó)數(shù)學(xué)月刊》1944年2月號(hào),由于其幾何圖形形象奇特,貌似蝴蝶,便以此命名。蝴蝶定理的證明高考中的“蝴蝶”高考中的“蝴蝶”變式蝴蝶定理的變形蝴蝶定理的變形過任意拋物線焦點(diǎn)F作拋物線的弦,與拋物線交與A、B兩點(diǎn),分別過A、B兩點(diǎn)做拋物線的切線l1,l2相交于M點(diǎn)。那么△MAB稱作阿基米德三角型。該三角形滿足以下特性:
1.M點(diǎn)必在拋物線的準(zhǔn)線上
2.△MAB為直角三角型,且角P為直角
3.MF⊥AB(即符合射影定理)另外,對(duì)于任意圓錐曲線(橢圓,雙曲線、拋物線)均有如下特性
1.過某一焦點(diǎn)F做弦與曲線交于A、B兩點(diǎn)分別過A、B兩點(diǎn)做圓錐曲線的切線l1,l2相交于P點(diǎn)。那么,P必在該焦點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)線上。
2.過某準(zhǔn)線與X軸的焦點(diǎn)Q做弦與曲線交于A、B兩點(diǎn)分別過A、B兩點(diǎn)做圓錐曲線的切線l1,l2相交于P點(diǎn)。那么,P必在一條垂直于X軸的直線上,且該直線過對(duì)應(yīng)的焦點(diǎn)。阿基米德三角形1、阿基米德三角形底邊上的中線平行于拋物線的軸。2、若阿基米德三角形的底邊即弦AB過拋物線內(nèi)定點(diǎn)C,則另一頂點(diǎn)Q的軌跡為一條直線。3、拋物線以C點(diǎn)為中點(diǎn)的弦平行于Q點(diǎn)軌跡。4、若直線l與拋物線沒有公共點(diǎn),以l上的點(diǎn)為頂點(diǎn)的阿基米德三角形的底邊過
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