北京郵電大學(xué)計(jì)算機(jī)學(xué)院高等數(shù)學(xué)第九章高斯公式

第六節(jié)Green公式Gauss公式推廣一、高斯公式二、通量與散度高斯公式通量與散度第九章一、高斯(Gauss)公式定理1.設(shè)空間閉區(qū)域由分片光滑的閉曲上有連續(xù)的一階偏導(dǎo)數(shù),下面先證:函數(shù)P,Q,R在面所圍成,的方向取外側(cè),則有(Gauss公式)證明:設(shè)為XY型區(qū)域,則所以若

不是XY–型區(qū)域,則可引進(jìn)輔助面將其分割成若干個(gè)XY–型區(qū)域,故上式仍成立.正反兩側(cè)面積分正負(fù)抵消,在輔助面類(lèi)似可證三式相加,即得所證Gauss公式：例1.用Gauss

公式計(jì)算其中為柱面閉域的整個(gè)邊界曲面的外側(cè).解:

這里利用Gauss公式,得原式=(用柱坐標(biāo))及平面z=0,z=3

所圍空間思考:

若改為內(nèi)側(cè),結(jié)果有何變化?若

為圓柱側(cè)面(取外側(cè)),如何計(jì)算?例2.利用Gauss公式計(jì)算積分其中為錐面解:作輔助面取上側(cè)介于z=0及

z=h之間部分的下側(cè).所圍區(qū)域?yàn)?則利用重心公式,注意例3.設(shè)為曲面取上側(cè),求解:

作取下側(cè)的輔助面用柱坐標(biāo)用極坐標(biāo)在閉區(qū)域上具有一階和二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),證明格林(Green)第一公式例4.

設(shè)函數(shù)其中是整個(gè)邊界面的外側(cè).分析:高斯公式證:令由高斯公式得移項(xiàng)即得所證公式.(見(jiàn)P171)二、通量與散度引例.設(shè)穩(wěn)定流動(dòng)的不可壓縮流體的密度為1,速度場(chǎng)為理意義可知,設(shè)為場(chǎng)中任一有向曲面,單位時(shí)間通過(guò)曲面的流量為則由對(duì)坐標(biāo)的曲面積分的物由兩類(lèi)曲面積分的關(guān)系,流量還可表示為若為方向向外的閉曲面,

當(dāng)>0時(shí),說(shuō)明流入的流體質(zhì)量少于當(dāng)<0時(shí),說(shuō)明流入的流體質(zhì)量多于流出的,則單位時(shí)間通過(guò)的流量為當(dāng)=0時(shí),說(shuō)明流入與流出的流體質(zhì)量相等.流出的,表明內(nèi)有泉;表明內(nèi)有洞;根據(jù)高斯公式,流量也可表為③方向向外的任一閉曲面

,

記所圍域?yàn)?設(shè)是包含點(diǎn)

M且為了揭示場(chǎng)內(nèi)任意點(diǎn)M處的特性,在③式兩邊同除以的體積V,并令以任意方式縮小至點(diǎn)M則有此式反應(yīng)了流速場(chǎng)在點(diǎn)M的特點(diǎn):其值為正,負(fù)或0,分別反映在該點(diǎn)有流體涌出,吸入,或沒(méi)有任何變化.定義:設(shè)有向量場(chǎng)其中P,Q,R

具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),是場(chǎng)內(nèi)的一片有向則稱(chēng)曲面,其單位法向量n,為向量場(chǎng)A

通過(guò)有向曲面的通量(流量).在場(chǎng)中點(diǎn)M(x,y,z)處

稱(chēng)為向量場(chǎng)A

在點(diǎn)M

的散度.記作divergence表明該點(diǎn)處有正源,表明該點(diǎn)處有負(fù)源,表明該點(diǎn)處無(wú)源,散度絕對(duì)值的大小反映了源的強(qiáng)度.若向量場(chǎng)A

處處有,則稱(chēng)A

為無(wú)源場(chǎng).例如,

勻速場(chǎng)故它是無(wú)源場(chǎng).說(shuō)明:由引例可知,散度是通量對(duì)體積的變化率,且*例5.置于原點(diǎn),電量為q

的點(diǎn)電荷產(chǎn)生的場(chǎng)強(qiáng)為解:

計(jì)算結(jié)果與僅原點(diǎn)有點(diǎn)電荷的事實(shí)相符.內(nèi)容小結(jié)1.高斯公式及其應(yīng)用公式:應(yīng)用:(1)計(jì)算曲面積分(非閉曲面時(shí)注意添加輔助面的技巧)(2)推出閉曲面積分為零的充要條件:2.通量與散度設(shè)向量場(chǎng)P,Q,R,在域G內(nèi)有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),則向量場(chǎng)通過(guò)有向曲面的通量為G內(nèi)任意點(diǎn)處的散度為作業(yè)P1481(2),(3),(6),(8),思(9);思3;5;6;思7思考與練習(xí)所圍立體,判斷下列演算是否正確?(1)(2)為備用題

設(shè)是一光滑閉曲面,所圍立體的體是

外法線(xiàn)向量與點(diǎn)(x,y,z)的向徑試證證:

設(shè)的單位外法向量為則的夾角,積為V,高斯(1777–1855)德國(guó)數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家和物理學(xué)家,是與阿基米德,牛頓并列的偉大數(shù)學(xué)家,他的數(shù)學(xué)成就遍及各個(gè)領(lǐng)域,在數(shù)論、級(jí)數(shù)、復(fù)變函數(shù)及橢圓函數(shù)論等方面均有一系列開(kāi)創(chuàng)性的貢獻(xiàn),他還十分重視數(shù)學(xué)的應(yīng)用,地測(cè)