概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)8

2.4事件的獨(dú)立性兩個(gè)事件的獨(dú)立性多個(gè)事件的獨(dú)立性獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用顯然P(A|B)=P(A)這就是說,已知事件B發(fā)生,并不影響事件A發(fā)生的概率,這時(shí)稱事件A、B獨(dú)立.一、兩事件的獨(dú)立性A={第二次擲出6點(diǎn)}，B={第一次擲出6點(diǎn)}，先看一個(gè)例子：將一顆均勻骰子連擲兩次，設(shè)

由乘法公式知，當(dāng)事件A、B獨(dú)立時(shí)，有

P(AB)=P(A)P(B)

用P(AB)=P(A)P(B)刻劃獨(dú)立性,比用

P(A|B)=P(A)或

P(B|A)=P(B)更好,它不受P(B)>0或P(A)>0的制約.若兩事件A、B滿足

P(AB)=P(A)P(B)

(1)則稱A、B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱A、B獨(dú)立.兩事件獨(dú)立的定義

例從一副不含大小王的撲克牌中任取一張，記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的}可見,P(AB)=P(A)P(B)

由于P(A)=4/52=1/13,故事件A、B獨(dú)立.問事件A、B是否獨(dú)立？解P(AB)=2/52=1/26.P(B)=26/52=1/2,

前面我們是根據(jù)兩事件獨(dú)立的定義作出結(jié)論的，也可以通過計(jì)算條件概率去做:

從一副不含大小王的撲克牌中任取一張,記A={抽到K},B={抽到的牌是黑色的},

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

可見P(A)=P(A|B),

即事件A、B獨(dú)立.則P(A)=1/13,P(A|B)=2/26=1/13

在實(shí)際應(yīng)用中,往往根據(jù)問題的實(shí)際意義去判斷兩事件是否獨(dú)立.

由于“甲命中”并不影響“乙命中”的概率，故認(rèn)為A、B獨(dú)立.甲、乙兩人向同一目標(biāo)射擊,記A={甲命中},B={乙命中}，A與B是否獨(dú)立？例如（即一事件發(fā)生與否并不影響另一事件發(fā)生的概率）

一批產(chǎn)品共n件，從中抽取2件，設(shè)

Ai={第i件是合格品}i=1,2若抽取是有放回的,則A1與A2獨(dú)立.因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果受到第一次抽取的影響.又如：因?yàn)榈诙纬槿〉慕Y(jié)果不受第一次抽取的影響.若抽取是無放回的，則A1與A2不獨(dú)立.請(qǐng)問：如圖的兩個(gè)事件是獨(dú)立的嗎？

即若A、B互斥，且P(A)>0,P(B)>0,則A與B不獨(dú)立.反之，若A與B獨(dú)立，且P(A)>0,P(B)>0,則A

、B不互斥.而P(A)≠0,P(B)≠0故A、B不獨(dú)立我們來計(jì)算：P(AB)=0P(AB)≠P(A)P(B)即設(shè)A、B為互斥事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：

前面我們看到獨(dú)立與互斥的區(qū)別和聯(lián)系，1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)設(shè)A、B為獨(dú)立事件，且P(A)>0,P(B)>0,下面四個(gè)結(jié)論中，正確的是：1.P(B|A)>02.P(A|B)=P(A)3.P(A|B)=04.P(AB)=P(A)P(B)再請(qǐng)你做個(gè)小練習(xí).=P(A)[1-P(B)]=P(A)-P(AB)P(A)=P(A-A

B)A、B獨(dú)立概率的性質(zhì)=P(A)-P(A)P(B)僅證A與獨(dú)立定理2

若兩事件A、B獨(dú)立,則

也相互獨(dú)立.證明=P(A)P()故A與獨(dú)立二、多個(gè)事件的獨(dú)立性

對(duì)于三個(gè)事件A、B、C，若

P(AB)=P(A)P(B)

P(AC)=P(A)P(C)

P(BC)=P(B)P(C)

P(ABC)=P(A)P(B)P(C)

四個(gè)等式同時(shí)成立,則稱事件A、B、C相互獨(dú)立.請(qǐng)注意多個(gè)事件兩兩獨(dú)立與相互獨(dú)立的區(qū)別與聯(lián)系兩兩獨(dú)立相互獨(dú)立對(duì)n(n>2)個(gè)事件?對(duì)獨(dú)立事件，許多概率計(jì)算可得到簡(jiǎn)化三、獨(dú)立性的概念在計(jì)算概率中的應(yīng)用即

例4三人獨(dú)立地去破譯一份密碼，已知各人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4，問三人中至少有一人能將密碼譯出的概率是多少？

解將三人編號(hào)為1，2，3，所求為記Ai={第i個(gè)人破譯出密碼}i=1,2,3已知,P(A1)=1/5,P(A2)=1/3,P(A3)=1/4=1-[1-P(A1)][1-P(A2)][1-P(A3)]

例5下面是一個(gè)串并聯(lián)電路示意圖.A、B、C、D、E、F、G、H都是電路中的元件.它們下方的數(shù)是它們各自正常工作的概率.求電路正常工作的概率.

解將電路正常工作記為W，由于各元件獨(dú)立工作，有其中P(W)0.782代入得四、小結(jié)

這一講，我們介紹了事件獨(dú)立性的概念.不難發(fā)現(xiàn)，當(dāng)事件相互獨(dú)立時(shí)，乘法公式變得十分簡(jiǎn)單，因而也就特別重要和有用.如果事件是獨(dú)立的，則許多概率的計(jì)算就可大為簡(jiǎn)化.2.5重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)、

二項(xiàng)概率公式一、伯努利概型的定義二、二項(xiàng)概率公式三、伯努利概型的計(jì)算

重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn)1.定義(重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn))

設(shè)進(jìn)行n次隨機(jī)試驗(yàn),如果在每次試驗(yàn)中任一事件出現(xiàn)的概率與其他各次試驗(yàn)的結(jié)果無關(guān),則稱這n次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的.將一個(gè)試驗(yàn)重復(fù)獨(dú)立進(jìn)行n次,稱為n次重復(fù)獨(dú)立試驗(yàn).則稱這n次重復(fù)試驗(yàn)為n重伯努利試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱為伯努利概型.若n

次重復(fù)試驗(yàn)具有下列特點(diǎn)：2.n重伯努利(Bernoulli)試驗(yàn)1)每次試驗(yàn)的可能結(jié)果只有兩個(gè)A或2)各次試驗(yàn)的結(jié)果相互獨(dú)立，(在各次試驗(yàn)中p是常數(shù)，保持不變）實(shí)例1

拋一枚硬幣觀察得到正面或反面.若將硬幣拋n次,就是n重伯努利試驗(yàn).實(shí)例2

拋一顆骰子n次,觀察是否“出現(xiàn)

1點(diǎn)”,就是

n重伯努利試驗(yàn).一般地，對(duì)于伯努利概型，有如下公式：定理如果在伯努利試驗(yàn)中，事件A出現(xiàn)的概率為p(0<p<1),則在n次試驗(yàn)中，A恰好出現(xiàn)k

次的概率為：3.二項(xiàng)概率公式（其中k=0，1，2，···，n）試驗(yàn)總次數(shù)事件A發(fā)生的次數(shù)一次試驗(yàn)中事件A發(fā)生的概率推導(dǎo)如下：且兩兩互不相容.稱上式為二項(xiàng)分布.記為例1解

例2：金工車間由10臺(tái)同類型的機(jī)床，每臺(tái)機(jī)床配備的電動(dòng)機(jī)功率為10千瓦.已知每臺(tái)機(jī)床工作時(shí)，平均每小時(shí)實(shí)際開動(dòng)12分鐘，且開動(dòng)與否是相互獨(dú)立的?，F(xiàn)因當(dāng)?shù)仉娏?yīng)緊張，供電部門只供50千瓦的電力給這