2021年1月浙江省普通高中學業(yè)水平考試數(shù)學試題及答案

絕密★用前2021年1月江省普高中學水平考數(shù)學試注意事：1、答題前填寫好自己的姓名、班級、考號等信息2請將答案正確填寫在答題卡上一、單選題1．已知集合

A

，則

A

B

（）A．C．

{4,6}

B．D．

{5}答案B【分析】根據(jù)題意，找兩個集合的公共元素，即可得

A

B

.解：因為故選：

A，以

2．函數(shù)

f()

x

x

的定義域是（）A．C．

[[

(

B．D．

([答案C【分析】根據(jù)函數(shù)解析式，列不等式組

xx0

求解即可.解：根據(jù)題意可得，以x0

x

.故選：log3．33A．1

（）B．

C．

D．4答案B【分析】利用對數(shù)的運算性質(zhì)計算即可得答.解：

log2log33

3

log3

.故選：4．以

為直徑端點的圓方程是（）

A．

x

y

2

B．

y

2

20C．

2

D．

x2答案D【分析】由中點坐標公式求圓心坐標

，再求半徑即可得答.解：解：根據(jù)題意得中點即為圓心坐標，為

，半徑為r

5，所以以

為直徑端點的圓方程是

x2

y

2

.故選：5．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是（）A．

B．4

C．

D．

答案A【分析】根據(jù)三視圖知該幾何體為三棱柱，由三視圖得幾何元素的長度，由三棱柱的體積公式求出幾何體的體積.解：如圖，由三視圖可知該幾何體是一個平放的三棱柱，底面三角形的底邊長

，高為

，幾何體的高為2

，所以三棱柱的體積為

VSh

.故選：6．不等式2x(A．

的解集是（）

B．

(

xyxyxyC．xyxyxy

(3,1)

D．

((1,答案A【分析】根據(jù)題意得

，再解絕對值不等式即可得答.解：解：由指數(shù)函數(shù)y2在R

上單調(diào)遞增，2

所以

，進而得

，即

x3

.故選：7．若實數(shù)滿不等式組

xyx1,，yx1,

的最大值是（）A答案C

B．4C．6【分析實數(shù)滿的約束條件畫出可行域

xy

化為

y

，平移直線

，由直線在y軸的截距最大時，目標函數(shù)取得最大值求.解：由實數(shù)滿約束條件

xyx1,x1,

，畫出可行域如圖所示陰影部分：將

xy

，轉(zhuǎn)化為

y

，平移直線

，當直線經(jīng)過點

時，直線在y軸的截距最大，此時目標函數(shù)取得最大值，最大值是，故選：8．直線（）

l:40與l:3a)2

平行，則l與l間距離是1

A．

15

B．

C．

D．

答案C【分析】根據(jù)l與l平行，列式求解得1

，利用平行線間的距離公式代入求解即解因為l與l平行以12

得所

l:3xy所以l與2l2

間的距離為

d

2

2

35

.故選：9中

BC

所對的邊分別為

bc

A

3則

）A．

B．

或6

C．

D．

2或答案D【分析】根據(jù)A

3，用正弦理得到2sinB3A求.解：因為在ABC中，b

3，所以sinA

3因為

，所以sin

32

，因為則

,B

或3故選：10．知平面直線l，下列說正確的是（）A．若

l

,l//

，則/

B．若

l//l則/

C．若

l則

D．若

ll則答案C【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系依次討論各選項即可得答.解：解：對于A選，若

l

,l

，則//

或相交，故A選不正確；對于B選，若

ll則/

或相交，故B選不正確；對于C選，若

l為面面垂直的判定定理，故C選項正確；

2222對于D選，若2222

ll則/

，故D選不正確故選：11．

ab，則

”是“a

”的（）A．充分不必要條件C．充要條件答案A

B．必要不充分條件D．既不充分也不必要條件【分析】結(jié)合

ab

，

2ab和分，必要條件的念求解即.解：解：當

，由于

ab，a

2

2

，故充分性成立；當

ab，不設b，

2

2

成立，

不成立，故必要性不成立故“

”是“

”的充分不必要條件故選：12．數(shù)

fx)

sinxln

的圖象大致是（）A．B．C．D．答案A【分析據(jù)件分析出

f

的奇偶性取殊值計算函值分析得到

f

的大致圖象解：因為

x2+2

，且

f

的定義域為R

關(guān)于原點對稱，所以

f

是奇函數(shù)，所以排除BC，

34510033451003又因為當

且x較時，可取

，所以

f

sin

，所以排除D，故選：點評：本題考查根據(jù)函數(shù)解析式辨別函數(shù)圖象，難度一.辨別函數(shù)圖象的常用方法：分析函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，計算特殊值的大小.13．知數(shù)列

n

項為

，且滿足

a1

n

1an

,

*

，則（）A．

40

100

B．

40

100C．

40

D．

40答案D【分析】首先通過列舉數(shù)列的項，得到數(shù)n

列利用周期判斷選.解：

2

311113，a，124

，……所以數(shù)列

n

為周期的周期數(shù)列，前項和

3

，a40

1

所以a1100

，4040

，

，所以

40

.故選：點評：關(guān)鍵點點睛：本題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推公式，列舉數(shù)列周期數(shù)列

n

判數(shù)列是14．圖，正方體

BCD1

中，

,分為棱,A11

的中點，則異面直線DE與AF所角的余弦值是（）

0,0,A．

B．

C．

31010

D．

答案A【分析】取

的中點N，接,FN,可四邊形為平行四邊形，所以/DE

，則

（或其補角）為異面直線DE與所角，在

中由余弦定理可求.解：取

的中點

，接EN,FN,AN由N分為CD,A11

的中點，則

EN//且D111在正方體中

/A且ADA111

,所

//且AD所以四邊形為平行四邊形，所以

/DE則FAN

（或其補角）為異面直線DE與所成.設正方體的棱長為2，則在中

12

DB211

,5所以

FAN

AF

AN2542AF5故選：點評：思路點睛：平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面直線的問題化歸為共面直線問題來解決，具體步驟如下：（1）平移：平移異面直線中的條或兩條，作出異面直線所成的角；（2）認定：證明作出的角就是求異面直線所成的角；（3）計算：求該角的值，常利解三角形；（4）取舍：由異面直線所成的的取值范圍

，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角．15．簡諧運動的圖象如圖所示若A,兩經(jīng)過x秒分別運動到圖象上EF兩，則下列結(jié)論不一定成立的是（）

假設0FFx220000，0000BF,cosx200EF假設0FFx220000，0000BF,cosx200EFcos00000A．ABC．BF答案B

B．ABEFD．AB【分析】簡諧運動的圖象求出三角函數(shù)的表達式，設出的坐標表示逐一驗證四個選項即可得正確答.

,F

兩點的坐標，利用數(shù)量積解：設

f

x

，由圖知A

2

，解得

2

，所以

f

，E

2

0

，AB

EF

2

，

，AEx2對于選項AAB，

2

sin2

，所以ABEF，選項成立對于選項B：AB，EFcosx2

2

cosx

顯然EF最大為，AB不立，故選項B不立；對于選項C：x0

，BF0

，所以BF，選項C成立對于選項D：

ABcos

x0

xBFcos

x0

00F20000F200tfx所以

ABBF2

2

cosx2

，因為

sin

x

，所以

x

，即AB，所以AB，故選項成，故選：點評關(guān)點點睛本題的關(guān)鍵點是求出三角函數(shù)的表達式

f

x

根點與點時間隔相差1秒，若設,sin

2

0

這是解題的關(guān)鍵點16已知函數(shù)

fx

1lnx,xxx

則函數(shù)

f

的零點個數(shù)

）A．2

B．

C．

D．

答案D【分析】令

tf

，利用代數(shù)式法結(jié)合零點存在定理得出函數(shù)

的零點tt3

，然后作出函數(shù)

tf1

、t

、

t的圖象，觀察三條直線

t1

、

、

t

與函數(shù)

tf

x

的圖象的交點個數(shù)，由此可得出結(jié)論.解：令

lnx

.①當

t

時，

f

1t

，則函數(shù)

上單調(diào)遞增，由于

f

12

，由零點存在定理可知，存在

t1

；②當

t

時，

f

t，f

t，解得t23

.作出函數(shù)

tf1

、

、t的圖象如下圖所示：

由圖象可知，直線

t1

與函數(shù)

tf

的圖象有兩個交點；直線

t

與函數(shù)

tf

的圖象有兩個交點；直線

t

與函數(shù)

tf

的圖象有且只有一個交點.綜上所述，函數(shù)

f

的零點個數(shù)為.故選：點評：思路點睛：求解復合函數(shù)的零點個數(shù)，步驟如下：（1）確定內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)（2）求出外層函數(shù)的零點

i

n

；（3）定直線

i

n

與內(nèi)層函數(shù)的交點個數(shù)

i

，由此可得到原函數(shù)的零點個數(shù)為

a13

a

n

.17如圖圓

yaa2

的右焦點為

FA

分別為橢圓的上下點P是橢圓上一點，

AP/BF,|

，記橢圓的離心率為

e

，則e

）

2aa22a222b32aa22a222b3aA．

22

B．

C．

D．

158答案B.【分析】首先求直線方程，求點的坐標，根據(jù)PBAF于的次方程，再求2

，整理為關(guān)解：

BF

c

，所以直線

bAP:yx

，與橢圓方程聯(lián)立

2cx

，所以點P的橫坐標是

2a2ca

，y

b3a

，即2a2cP,

，

22a2

2

2a

2

理：4c6a2c4，邊同時除以a6得44e，

，

，所以4

，

2

178

，或

178

（舍）故選：點評：方法點睛：本題考查求橢圓離心率，求橢圓離心率是?？碱}型，涉及的方法包含1.根

b

直接求2.根據(jù)條件建立關(guān)于的齊次方程求解3.據(jù)幾何關(guān)系找到b,c

的等量關(guān)系求解.18．圖，在三棱錐

D

中，ABBCDA

，

ABCF

分別為棱

BCDAAC

的中點，記直線與面BOD

所成角為，的值圍是（）

0,,432,0,,432,A．

B．

C．

D．

答案C【分析】補全底面為正方形ABCG，正方形性質(zhì)有面

GDB

面

ABCG

，進而可證ECHF

為平行四邊形

CHO)

為直線EF與面

所成角eq\o\ac(△,，)eq\o\ac(△,)ABD中由余弦定理知

DAB

，結(jié)合棱錐側(cè)面為全等三角形(0,)

，即可求的值范.解：由ABBC，90底補全為方形ABCG，下圖示，O為ABCG對角線交點且GB

，又

CDDA

有

DO

，DO

，∴

面

GDB

，而

AC

面

ABCG

，故面

GDB

面

ABCG

，若H為DG的點

,

為棱

BC

的中點FH//AG

且AGFH

，而

//

，

AG

，有平且相等，即

為平行四邊形.∴可將平至HC直線EF與面所角為CHO

)

，且Rt

中

90

，令

CD

，OC

2，BD

OC，tan∴△中22ABDABBD2

DAB

，

2∵DCBDCG，(0,2

)

，∴

2

，解得

（

tan

舍去綜上有

)4

，故選：點評：關(guān)鍵點點睛：補全幾何體，應用正方形、中位線、平行四邊形性質(zhì)，根據(jù)線面角的定義確定對應的平面角，結(jié)合余弦定理及空間角的范圍，求線面角的范.二、填空題19．知平面向量ab滿|b則|______.答案【分析】根據(jù)|ba，解：因為||b所以|

，由||

a

2

，

，故答案為：320．圖，正方形內(nèi)的圖形來自國古代的太極.勞而充滿智慧的我國古代勞動人民曾用太極圖解釋宇宙現(xiàn).太圖由正方形的內(nèi)切圓簡稱大圓)和兩個互相外切且半徑相等的圓簡小圓)的圓弧組成，兩個小圓與大圓均內(nèi).若正方形的邊長為，則以兩個小圓的圓心圖兩個黑白點視為小圓的圓)焦點方形對角線所在直線為漸近線的雙曲線實軸長_______.答案2

x2【分析得曲線的漸近線方程為x2

y

c

a

得a

，故實軸為.解：解：以兩焦點所在直線為軸，兩焦點所在線段的中垂線為軸立直角坐標系，設雙曲線的焦距為2c，由題意得雙曲線的漸近線方程為a,所以.，進而得

y

，

4

，故雙曲線的實軸長為：22.故答案為：2點評本解題的關(guān)鍵在于根據(jù)立適當坐標系而根據(jù)題意得該雙曲線的漸近線為y

，

4

，進而求解，考查數(shù)學建模能力與運算求解能力，是中檔.21．知

aR,

，若存在實數(shù)x，使得

bx|

bax

2

成立，則的值范圍是_______.答案【分析】不等式兩邊同除以b，將題意轉(zhuǎn)化為

x

在x上解，即xtxxt12

在x上有解，設

xf()，g()，x，xx2即

tfx)且tg(x)min

max

，再求出函數(shù)對應最值即得結(jié).解：解：因為b，不等式兩邊同除以b，得

x

，b

，即

x22不等式x22

x2在上有解去絕對值即得tx

2x，即

xtx即xt12

在x

上有解，設

f()

x，()xx2

，

x

，即

tfx)

min

且t()

max

即可，由

f()

x

在x[0,1)上[1,2)

，

1f

，故

t()min

；由

)

xx2

x

x

，利用基本不等式

x

2

，當且僅當

x

2x

即x

時等號成立，故(x)

22

，即(x)

，故t2

，綜上：的值范圍是

b，即的值范圍是b

.故答案為：點評：方法點睛：由不等式恒成立（或能成立）求參數(shù)（或范圍）時的常用方法：（1）對不等式變形，分離參數(shù)根據(jù)分離參數(shù)后的結(jié)果，構(gòu)造函數(shù)，求出函數(shù)的最值，進而可求出結(jié)果；（2）根據(jù)不等式，直接構(gòu)成函，利用分類討論求函數(shù)的最值，即可得出結(jié).三、雙空題22．等比數(shù)列____.答案421

q，前項和為.若aan

，則，【分析】首先根據(jù)

aq3a

得到q再計算S即可3

ff解：因為

3

1

，所以

q

.S3

11

.故答案為：4四、解答題

；2123．知函數(shù)(x)

x6

，

.（1）求

的值；（2）求函數(shù)

fx)

的最小正周期；（3）當

x0,3

時，求函數(shù)

fx)

的值域答案（））

）

[0,1]

.【分析）本題將

x

代入

f(x)

中進行計算即可得出結(jié)果；（2）本題首先可通過兩角和的弦公式將函數(shù)

f(x)

轉(zhuǎn)化為

f()x

，然后通過周期計算公式即可得出結(jié)果；（3題先可根據(jù)出值域

x0,3

得出x然后通過正弦函數(shù)性質(zhì)即可求3解）f

1sin2

，即

f

.（2）f(x

1cosxxx63

，故

fx)

的最小正周期

.（3）因為

x

，所以,，3當

x

3

即x

3

時，

f()sinmin

；

當

x

，即

x

時，

f(x)

，故

fx)

在

20,

上的值域為[0,1].24．圖，直線l與E:

2y2

相切于點，拋物線

C:

2

4

相交于不同的兩點

A,

，與軸交于點

t)(t

.（1）若是拋物線C的焦點，求直線l的程；（2）若

|2PA

，求t的.答案（）3）

.【分析）由

t)(t

為拋物線焦點，即可設直線

l

的方程為

y

，根據(jù)直線

l

與圓相切可求k值，出直線方.（2）直線l的方程為

ykx，y00

y1

，由直線上兩點距離公式可知

|PA|

2

00

，根據(jù)直線

l

與圓相切、|

求，切線性質(zhì)：直

l

與PE互相垂直及

tkx即可求t的0值解）因為

(0,)(t

是拋物線

Cx

2

4

的焦點，所以t即T(0,1)，設直線

l

的方程為

ykx

，由直線

l

與圓

相切，得

，即k3，所以，直線l方程為3x.（2）設直線l的程為

y，Py00

11

，由

yx24y

，得

t

，

x，2

，∴

||

2

x11

2

x2

222222

2

xx102

0

00

.由直線

l

與圓E

相切，得

|t12

，即

122

.由

TE

，

|

|

，得

2

0

.所以

2y

，又

x0

，解得

y

.由直線l與PE互相垂直，得

10

，ty00i

xx2yy0000yyy00

.點評：關(guān)鍵點點睛：（1）由過拋物線焦點的直線與相切求斜率，寫出直線方.（2）由直線與拋物線、圓的位關(guān)系，結(jié)合弦長公式、點線距離公式、兩直線垂直的性質(zhì)求參數(shù).25．

a

f(x)

4x2

,xR

.（1）若

fx)

是奇函數(shù)，求

的值；（2）當時，明：

fx)

a2