4章培優(yōu)2 數(shù)列求和的方法(精講)

4章優(yōu)數(shù)求的法

考一裂相

則則【例云彌勒市一中月考（理）若列

項(xiàng)和

滿足

.(1)求證數(shù)列

n(2)設(shè)

logn2

，求數(shù)列n項(xiàng)和b

.【答案）詳見(jiàn)解析（）

T

【解析】證明：當(dāng)

時(shí)，

a2a11

，計(jì)算得出

a1

，當(dāng)時(shí)根據(jù)題意得，

，所以S

nn

，即

aanann

，即

nn

數(shù)，公比為2的比數(shù)列由（1）知，

nn

nlognn2

n

n

1n

，T

13n【一隅三反】1湖天·長(zhǎng)郡中學(xué)月）設(shè)列

1

2a（n2nn

3

.（）

式（）數(shù)列項(xiàng).ann【答案）

an

（nN

*

）

13(2n【解析】

2ann

(

2可知數(shù)列

是等差數(shù)列設(shè)差為d,因?yàn)?/p>

a1

,所

ad1231

,解得

,所以

的通項(xiàng)公式:

a2nn

(N

*

);

(2)由1)

n

113)n2n

,1所以數(shù)列項(xiàng):an1S592

1n3n3n1)(2n

.2石山市第三中學(xué)月考）已知

n

是公差不為零的等差數(shù)列，

a1

，且

a1

成等比數(shù)列（）數(shù)列

n

式（）數(shù)列項(xiàng).an【答案）

an

）

Sn

【解析）設(shè)等差數(shù)列

n

d

（d

為

a1

，a,a1

成等比數(shù)列，所以

3

2

a，即)1

2

d)

，解得d（舍去）或d，以

an

，（）（）得

111(nnnn

，所以

11n3nnn考二錯(cuò)相【例貴省思南中學(xué)月考）已知數(shù)列{}n{}的通項(xiàng)公式；（）數(shù)列n

滿足

anann

，且

a1（）

bnn

n

，求數(shù)列

前項(xiàng).n【答案）

an

）

Sn

n

N*)

.【解析）

nn

，得nnnn，得nnnnn

時(shí)，有

aa23a1

2341n

a，即a1

，故

an

，又

時(shí)也適合該式，n（）為

bn2

，所以

S13n

2

n

①則

S2n

2

3

4

2

n

②①②得，1n

nn

2(1)21

nnN*).n【一隅三反】1贛榆智賢中學(xué)月考數(shù)

的等差列項(xiàng)為S足S2

，且

，a，a125

恰為等比數(shù)列

n

．（）數(shù)列

n

式（）

cn

，數(shù)列

項(xiàng)為，求證：n

Tn

．【答案）

an

，

n

n

）解析【解析）由題意，

ad2a2

，由

，得

a1

，d．以

a2nn

．由

，

，得公比

q

，所以

n

n

．（）為

n13c，所以3n303

①得

15nnT33nn

②①②得

2nT323

nnnn

n

2nn

．所以

Tn

33n

．從而

Tn

．2江蘇泗·桃州中學(xué)月考數(shù)

n

項(xiàng)n

項(xiàng)為

n

，

且b3

.（）

n

式（）

cn

，求數(shù)列

項(xiàng)和

.【答案）

an；bnn

3n【解析）當(dāng)n時(shí)

=S=4；1當(dāng)n2

時(shí)，

n

n

nn2

，且

亦滿足此關(guān)系，∴

ann設(shè)

，則

3

63

，則

q

2

，∴

bnn3

；（）題意，

3ncn

，而

103n2n2

，2T4

3nn

，兩式相減，有

2

，3n214．3江泗·桃州中學(xué)月考）已知數(shù)列

滿足

ann

(n

，

1

.（）數(shù)列

式

（）數(shù)列

n

項(xiàng)

(

.【答案）

n

n

）

nn

n

(

．【解析）∵

a2an

，∴

，而

，∴數(shù)列

{a等數(shù)列，公比為1，首項(xiàng)為，∴

n

n

，∴

n

；（）（）

na

，S(2n

2

n

)(1

2

n

)設(shè)

Tn

2

n

，則

n

2

3

n

n

，兩式相減得

n

n

n

，∴Tn

，∴

nn

n

．考三分求【例贛智賢中學(xué)月考）已知等差數(shù)列

項(xiàng)和為S

，等比數(shù)列

n

項(xiàng)和T

.若

a，a112

，（）數(shù)列

n

式（）數(shù)列

nn

項(xiàng)和.【答案）

a2n

n

（）

32【解析）由

a,a114

，則

4134

123

，設(shè)等差數(shù)列

d

，則

ad621

，所以

d

，

bbbb所以

a2nn

，設(shè)等比數(shù)列

n

q，

a

4

2

，b，解得q，以q2n，（）n

n

n

，數(shù)列

n

項(xiàng)

n

n

32

32【一隅三反】1河高二月考數(shù)列

n

項(xiàng)

T

各項(xiàng)均不相等的等差數(shù)列

n

，且，，成比數(shù)列，15（）數(shù)列

n

n

式（）

a2n

2

，求數(shù)列

項(xiàng)和S．n【答案）

n1

，

2n

n

）

2

2n3

．【解析）設(shè)數(shù)列

n

，則

，2

，∵，，成比數(shù)列，∴15

b2

，即

．整理得

d2bd1

，解得d（去）或

d221

，∴

n1

．當(dāng)

時(shí)，

c

，當(dāng)2

時(shí)，

cn

．驗(yàn)證：當(dāng)時(shí)

c

滿足上式，∴數(shù)列

n

式

n

2

n

．（）（），

n

2n

2n

，

∴

5

21

n2

2

n3

2

．2河高二月考（理）已在等比數(shù)列式（）數(shù)列

中，

a，是和13

的等差中項(xiàng)（）數(shù)列

n

bn

n

.【答案）

n

n1

）

Snn

.【解析）設(shè)等比數(shù)列

，q，q，a2131

2

2

，由于是和a1

的等差中項(xiàng)，即

2a213

，即

q

2

，解得

q

2

.因此，數(shù)列

式

aqnn1

；（）

2n2nnn

n

，23

(2

n

2

n

n(2n21

2

n

3天市第一中學(xué)）已知等比數(shù)列

n

的各項(xiàng)均為正數(shù)，

，

a34

.（）數(shù)列

n

式（）

baann

，求數(shù)列

項(xiàng)

.【答案）

n

n1

（）

n

n

(n【解析）設(shè)公比為

由題意可知

qq1

，整理得

q

2

0

，解得

q

（舍

q

2

，即

a1則

n

n

n

nfSfSfnfSfSf（）

nlog2n1n((12考四倒相【例全高三其他（文）已函數(shù)

f

，若f

2

f

2018

0)

1，則的小值為（

）A．2

B4

C．6

D．8【答案】A【解析】由題可知：f

ln令

f

f

又

f

2017

f

于是有S

2018ln

因此所以

a1b1a22bba2當(dāng)且僅當(dāng)

a

時(shí)取等號(hào)本題正確選項(xiàng)：【隅反1江高二期中）設(shè)函數(shù)

f

，利用課本（蘇教版必修5

）中推導(dǎo)等差數(shù)列前項(xiàng)的方法，求得

f

的值為（）A．

B

C．

D．

【答案】B

xx24fnxx24fn【解析】

f

，

2

x

2222x222xx

，設(shè)則

，，兩式相加得故選：

2S

，因此，S.2浙麗·高二月考）已知函數(shù)

f

x

，則f

1

f

f

3

f

4033

的值為（）A．C8066【答案】D

B．-4033D．8066【解析】

f

，所以原式

.3江常熟中學(xué)月考）已知函數(shù)

4

4xx

，設(shè)

n

（n

數(shù)列

2019項(xiàng)

的值為（）A．

B

C．

D．

【答案】A【解析】因?yàn)?/p>

4

41，所以fx44所以f4x4x

因?yàn)樗?/p>

fn

，

n2019ff

a

120181.120181.所以

an

，則數(shù)列

的前2018項(xiàng)

2018

，則

20182

2018

2018

2018

2017

所S，以12018又

f

42f，S10092019故選：A考五奇并【例湖高二月考）設(shè)N*，列

項(xiàng)為S，知n

，______.請(qǐng)?jiān)冖?/p>

，，a2

成等比數(shù)列，②

，③S

，這三個(gè)條件中任選一個(gè)補(bǔ)充在上面題干中，并解答下面問(wèn)題（）數(shù)列

式（）數(shù)列

n

滿足bn

a

n

，求數(shù)列

項(xiàng)和Tn【答案）答案見(jiàn)解析答案見(jiàn)解.【解析】選①）由

得：an

為首項(xiàng)2為公差的差數(shù)列∴數(shù)列由a，a，a成比數(shù)列得511a∴

，解得

a1

.（）n

n

，2

2

n

.選②）

得an

2∴數(shù)列

為首項(xiàng)2為公差的差數(shù)列

由

得a，得a1

，∴

a

*

.（）n

n

n

，∴T2

222

..

2

n

.選③）理，由

得a

∴數(shù)列

為首項(xiàng)2為公差的差數(shù)列，由355

得

d35，得11

，∴

an

*

（）n

n

，∴

2n

2

2

n

n

.【一隅三反1（廣東汕金山中學(xué)高二月考（理）設(shè)S是數(shù)列n式⑴求數(shù)列

項(xiàng)，已知

a，2a1n

n⑵設(shè)

b1n

，求數(shù)列

項(xiàng)和．【答案）

為數(shù)（）nn偶數(shù)【解析）因?yàn)?/p>

2an

n

，所以當(dāng)2

時(shí)，

ann兩式相減得

an

n

a

n

，

所以

1當(dāng)

時(shí)，

a1

，a2

，則

2

所以數(shù)列

，公比為

12

的等比數(shù)列，故

（）（）得

b所以

T

故當(dāng)為數(shù)時(shí)，

當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，

n

1為數(shù)2綜上nn偶數(shù)22內(nèi)古集寧一中期中（理）已數(shù)列的通項(xiàng)公式；(1)求數(shù)

項(xiàng)為SSnn

．(2)若b3

，求數(shù)列

和

．【答案）

a

n偶數(shù)）nn奇數(shù)【解析）當(dāng)n

時(shí)，

2a1

.