線性代數(shù)課程介紹

線性代數(shù)課程簡(jiǎn)介一.教材與參考書(shū)線性代數(shù)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)自編講義《線性代數(shù)及其應(yīng)用》（第二版）王建軍主編上海交通大學(xué)出版社教材選用：課后上機(jī)材料：

線性代數(shù)是一門(mén)基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程,其核心內(nèi)容是研究有限維線性空間的結(jié)構(gòu)和線性變換.其理論和方法有著廣泛的應(yīng)用.行列式矩陣線性方程組向量空間矩陣的特征值二次型1.教材內(nèi)容:2.學(xué)習(xí)方法與要求;預(yù)習(xí)+課堂學(xué)習(xí)+討論+自學(xué)線性代數(shù)(LinearAlgebra)簡(jiǎn)介加法與乘法被看成是代數(shù)系統(tǒng)中的一般運(yùn)算。一.代數(shù):是指由字母或符號(hào)來(lái)研究數(shù)及其結(jié)構(gòu)的科學(xué)。1.初等代數(shù)

代數(shù)的起源可以追溯至3000多年前的古埃及人和古巴比倫人。初期的代數(shù)主要源于解方程.我國(guó)古代的《九章算術(shù)》中就有方程問(wèn)題。初等代數(shù)研究的對(duì)象:代數(shù)式的運(yùn)算和方程的求解。整式、分式和根式是初等代數(shù)的三大類(lèi)代數(shù)式。

四則運(yùn)算，乘方和開(kāi)方運(yùn)算,通常稱(chēng)為初等代數(shù)的代數(shù)運(yùn)算.初等代數(shù)的十條規(guī)則:(1)五條基本運(yùn)算律：加法交換律、加法結(jié)合律、乘法交換律、乘法結(jié)合律、分配律；(2)兩條等式基本性質(zhì):等式兩邊同時(shí)加上一個(gè)數(shù)，等式不變；等式兩邊同時(shí)乘以一個(gè)非零的數(shù)，等式不變；(3)三條指數(shù)律：同底數(shù)冪相乘，底數(shù)不變指數(shù)相加；指數(shù)的乘方等于底數(shù)不變指數(shù)相乘；

積的乘方等于乘方的積。人們?cè)诮夥匠痰难芯窟^(guò)程中發(fā)現(xiàn)了無(wú)理數(shù)、負(fù)數(shù)和復(fù)數(shù)，從而使數(shù)的概念得到了擴(kuò)充。2、代數(shù)的基本定理1799年高斯（Gauss）證明：復(fù)數(shù)域上任意一個(gè)一元n次（n>0）方程任何一個(gè)一元n次方程在復(fù)數(shù)域上有且僅有n個(gè)根（重根按重?cái)?shù)計(jì)算）至少有個(gè)根,這就是說(shuō),至少有個(gè)復(fù)數(shù)x滿足這個(gè)等式；3.多項(xiàng)式方程的代數(shù)解問(wèn)題方程的代數(shù)解是指:方程經(jīng)過(guò)有限次代數(shù)運(yùn)算得到的解。例如：的解.

，，

阿貝爾（Abel）(1802～1829)證明了五次方程不可能有代數(shù)解4、方程根與系數(shù)的關(guān)系韋達(dá)定理:設(shè)一元二次方程在復(fù)數(shù)域上的兩個(gè)根為,則有一般地:設(shè)在復(fù)數(shù)域上的n個(gè)根為,則有…2.高等代數(shù)1832年法國(guó)數(shù)學(xué)家伽羅瓦運(yùn)用“群”的思想徹底解決了用根式求解代數(shù)方程的可能性,由此代數(shù)轉(zhuǎn)變成為研究代數(shù)運(yùn)算結(jié)構(gòu)的科學(xué).二.線性代數(shù)“線性”的含義是指未知量的一次式。

例如:y=ax表示變量y是變量x的一個(gè)線性函數(shù)，y=ax1+bx2表示變量y是x1，x2的線性關(guān)系。一個(gè)線性表示不能包含諸如x2和x1x2的二次項(xiàng)，這些二次項(xiàng)是非線性的。線性代數(shù)的研究對(duì)象:線性方程組、線性空間和線性變換。行列式和矩陣的是線性代數(shù)的兩個(gè)重要工具.1、求解線性方程組例1：明代程大為著的《算法統(tǒng)宗》中記載：100個(gè)和尚分100個(gè)饅頭。大和尚一人3個(gè)，小和尚3人一個(gè)，剛好分完。問(wèn)大、小和尚各多少人？解：設(shè)有大和尚x人，小和尚y人，于是有用代入法求得：，代入，解出：例2：中國(guó)古代算書(shū)《張丘建算經(jīng)》記載百雞問(wèn)題：公雞每只值五文錢(qián)，母雞每只值三文錢(qián)，小雞三只值一文錢(qián)，現(xiàn)在用一百文錢(qián)買(mǎi)一百只雞，問(wèn)：在這一百雞中，公雞、母雞、小雞各有多少只？解：設(shè)有公雞x只，母雞y只，小雞z只，則有有（2）×3－（1）得

因?yàn)閥是整數(shù)，可設(shè)代入得：又y>0,可知k=1,2,3,由此得或或例:總收入問(wèn)題某地區(qū)有1個(gè)工廠,生產(chǎn)甲,乙,丙3種產(chǎn)品,xi(i=1,2,3),表示工廠生產(chǎn)這3種產(chǎn)品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示第i種產(chǎn)品的單價(jià),y表示這3種產(chǎn)品的總收入,則有:若某地區(qū)有1,2,3,4個(gè)工廠,生產(chǎn)甲,乙,丙3種產(chǎn)品,xki(k=1,2,3,4;i=1,2,3)是k工廠生產(chǎn)i種產(chǎn)品的數(shù)量,ai(i=1,2,3)表示i種產(chǎn)品的單價(jià),yk表示k工廠的總收入,則有:2、線性代數(shù)的數(shù)學(xué)模型在一個(gè)經(jīng)濟(jì)系統(tǒng)中,一個(gè)企業(yè)既是生產(chǎn)者又是消費(fèi)者,作為生產(chǎn)者,它有產(chǎn)出,作為消費(fèi)者它有投入,企業(yè)之間的這種平衡關(guān)系可以用一系列的線性方程組來(lái)表示,這就是列昂節(jié)夫(諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎(jiǎng)獲得者)的投入產(chǎn)出數(shù)學(xué)模型.例全球定位系統(tǒng)GPS

要想知道卡車(chē)在公路上行駛時(shí)的位置可利用GPS系統(tǒng).這個(gè)系統(tǒng)是由24顆高軌道衛(wèi)星組成,卡車(chē)從其中3顆衛(wèi)星接受信號(hào),接受器里的軟件利用線性代數(shù)方法來(lái)確定卡車(chē)的位置.

當(dāng)卡車(chē)和一顆衛(wèi)星聯(lián)系時(shí),接受器從信號(hào)往返的時(shí)間能確定卡車(chē)到衛(wèi)星的距離,例如14000公里,從衛(wèi)星來(lái)看,知道卡車(chē)位于以衛(wèi)星為球心,半徑為14000公里的球面上的某地.設(shè)卡車(chē)位置(x,y,z),第一顆衛(wèi)星位置(a1,b1,c1)即同理假設(shè)第2,3顆衛(wèi)星的位置分別是(a2,b2,c2)和(a3,b3,c3)距卡車(chē)的距離分別是17000和16000公里,則有這些關(guān)系式不是線性關(guān)系式,要求(x,y,z)由(1)減(2),(3)得:例:動(dòng)畫(huà)問(wèn)題動(dòng)畫(huà)設(shè)計(jì)中常常用到坐標(biāo)變換如:平移旋轉(zhuǎn)等設(shè)平面上的點(diǎn)為(x,y)平移變換后為則:設(shè)平面上的點(diǎn)為(x,y)旋轉(zhuǎn)變換后為則:(x,y)αθr§1n階行列式的定義的主要內(nèi)容是:一.2階行列式和3階行列式的定義(一)2階行列式的定義(二)3階行列式的定義二.n階行列式的定義行列式簡(jiǎn)介行列式出現(xiàn)于線性方程組的求解。

它是數(shù)學(xué)語(yǔ)言上的改革,它的簡(jiǎn)化的記法常常是深?yuàn)W理論的源泉。

———P.S.Laplace是一種速記表達(dá)式.行列式的概念最早是由十七世紀(jì)日本數(shù)學(xué)家關(guān)孝和提出來(lái)的(1683年)

Vandermonde首次對(duì)行列式理論進(jìn)行系統(tǒng)的闡述成為行列式理論的奠基人.用消元法解二元線性方程組一.2階行列式和3階行列式的定義(一)2階行列式的定義方程組的解為由方程組的四個(gè)系數(shù)確定.

由四個(gè)數(shù)排成二行二列（橫排稱(chēng)行、豎排稱(chēng)列）的數(shù)表定義即主對(duì)角線副對(duì)角線對(duì)角線法則二階行列式的計(jì)算若記對(duì)于二元線性方程組系數(shù)行列式則二元線性方程組的解為注意

分母都為原方程組的系數(shù)行列式.例1解(二)三階行列式的定義解三元一次方程組由（1）（2）消x3,同理（1）（3）消x3得由二元一次方程組可知:若系數(shù)行列式:即:那么:三元線性方程組:若系數(shù)行列式不等于零,有解:(二)三階行列式的定義定義記（1）式稱(chēng)為數(shù)表所確定的三階行列式.(1)沙路法三階行列式的計(jì)算.列標(biāo)行標(biāo)(2)對(duì)角線法則注意

紅線上三元素的乘積冠以正號(hào)，藍(lán)線上三元素的乘積冠以負(fù)號(hào)．說(shuō)明

對(duì)角線法則只適用于二階與三階行列式．

例

解按對(duì)角線法則，有二.四階行列式與n階行列式的定義不適用對(duì)角線定義.1+1×三階行列式的沙路法和對(duì)角線法不適用四階行列式二.四階行列式與n階行列式的定義例:求x4=?(1)(2)(3)(4)由(2)+(3)得:得:103觀察2階和3階行列式:=?三階行列式:+1232313121322133210個(gè)2個(gè)2個(gè)偶排列1個(gè)1個(gè)3個(gè)奇排列記:為排列的逆序數(shù)總數(shù).規(guī)定=行列式的一般項(xiàng)定義.補(bǔ)充說(shuō)明:行列式的一般項(xiàng)定義中列標(biāo)可按自然順序排列.例如:n階行列式的一般項(xiàng)定義行列式的一般項(xiàng)簡(jiǎn)記其中aij是行列式的元數(shù).例1計(jì)算對(duì)角行列式分析展開(kāi)式中一般項(xiàng)中的元素積:所以只能等于,同理可得解即行列式中不為零的項(xiàng)為例如3或2階行列式的按第1行展開(kāi)式歸納如下:四階行列式與n階行列式按行展開(kāi)式定義.按照這一規(guī)律觀察2階:=規(guī)定:在階行列式中，把元素所在的第行和第列劃去后，留下來(lái)的階行列式叫做元素的余子式，記作叫做元素的代數(shù)余子式．例如

的余子式和代數(shù)余子式1.余子式與代數(shù)余子式

的余子式和代數(shù)余子式定義:由n2個(gè)數(shù)aij(ij=1,2,…n)組成的n階行列式n階行列式按第1行展開(kāi)的定義是一個(gè)算式.當(dāng)n=1時(shí),定義D=當(dāng)n≥2時(shí),定義為其中:例1=40按第1行的元素展開(kāi)例:利用行列式的按第1行展開(kāi)定義證明:證明:對(duì)n