結(jié)構(gòu)力學(xué)(一)第三版龍馭球球第六章力法

溫度支座一、回顧上節(jié)課內(nèi)容：多因素下的位移計(jì)算一般公式§5-7線性變形體系的互等定理本節(jié)介紹線性變形體系的四個(gè)互等定理，其中最基本的是功的互等定理，其它三個(gè)定理均可由此推導(dǎo)出來(lái)。

線彈性結(jié)構(gòu)的互等定理1.功的互等定理:

在線性變形體系中，①狀態(tài)的外力在②狀態(tài)位移上所做虛功，恒等于②狀態(tài)外力在①狀態(tài)位移上所做虛功。N1

M1

Q1N2

M2

Q2F1F2②P1P2①功的互等定理:即第一狀態(tài)的外力在第二狀態(tài)的位移上所作的虛功，等于第二狀態(tài)的外力在第一狀態(tài)的位移上所作的虛功?！?-7線性變形體系的互等定理2)位移互等定理在功的互等定理中，令：FP1=FP2=1由功的互等定理式（a）則有：即：(a)第一狀態(tài)FP1＝112δ21(b)第二狀態(tài)FP2＝112δ12§5-7

線性變形體系的互等定理位移互等定理:

即第二個(gè)單位力所引起的第一個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移，等于第一個(gè)單位力所引起的第二個(gè)單位力作用點(diǎn)沿其方向上的位移。在位移互等定理中：?jiǎn)挝涣Α獜V義力（單位力偶、單位集中力）；位移——廣義位移（線位移、角位移）?！?-7線性變形體系的互等定理

左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座1發(fā)生單位位移Δ1＝1時(shí)，使支座2產(chǎn)生的反力r21；另一種即為支座2發(fā)生單位位移Δ2＝1時(shí)，使支座1產(chǎn)生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一個(gè)特例。(a)第一狀態(tài)r21Δ1＝112(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r12§5-7

線性變形體系的互等定理

左圖分別表示二種狀態(tài)，即支座1發(fā)生單位位移Δ1＝1時(shí)，使支座2產(chǎn)生的反力r21；另一種即為支座2發(fā)生單位位移Δ2＝1時(shí)，使支座1產(chǎn)生的反力r12。3）反力互等定理反力互等定理也是功的互等定理的一個(gè)特例。Δ1＝112(a)第一狀態(tài)r21(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r12§5-7

線性變形體系的互等定理根據(jù)功的互等定理有：反力互等定理:

即支座1發(fā)生單位位移所引起支座2的反力，等于支座2發(fā)生單位位移所引起的支座1的反力。(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r12(a)第一狀態(tài)r21§5-7線性變形體系的互等定理

注意：該定理對(duì)結(jié)構(gòu)上任何兩支座都適用，但應(yīng)注意反力與位移在作功的關(guān)系上應(yīng)相對(duì)應(yīng)，即力對(duì)應(yīng)線位移；力偶對(duì)應(yīng)角位移。由反力互等定理，則有：

r12=r21即反力偶r12等于反力r21（數(shù)值上相等，量綱不同）(a)第一狀態(tài)

r2112φ1＝1(b)第二狀態(tài)Δ2＝1r1212§5-7線性變形體系的互等定理4)反力位移互等定理這個(gè)定理同樣是功的互等定理的一種特殊情況。由兩個(gè)狀態(tài)應(yīng)用功的互等定理，則有∵主功力與反力的功相反∴相差一負(fù)號(hào)(b)第二狀態(tài)（由φ1=1引起δ21）δ2112φ1＝1（a）第一狀態(tài)（由FP2=1引起r12）FP2＝1r1212§5-7

線性變形體系的互等定理單位載荷引起某支座的反力，等于因該支座發(fā)生單位位移時(shí)所引起的單位載荷作用處相應(yīng)的位移，但符號(hào)相反——反力位移互等定理§5-7線性變形體系的互等定理小結(jié)二、虛功原理We=Wi力：滿足平衡位移：變形連續(xù)虛設(shè)位移虛位移原理（求未知力）虛功方程等價(jià)于平衡條件虛力原理（求未知位移）虛功方程等價(jià)于位移條件虛設(shè)力系三、Δ=剛架、梁桁架支座移動(dòng)組合結(jié)構(gòu)、拱各項(xiàng)含義正負(fù)號(hào)的確定虛設(shè)廣義單位荷載的方法一、位移標(biāo)準(zhǔn)圖形的面積和形心位置非標(biāo)準(zhǔn)圖形乘直線形的處理方法五、互等定理適用條件內(nèi)容W12=W21r12=r21四、圖乘法求位移圖乘法求位移的適用條件y0的取法?ò?==DPEIydxEIMM0w2112dd=第6章力法

§6-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)

§6-2力法的基本概念

§6-3超靜定剛架和排架

§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)

§6-5對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算

§6-6、7超靜定拱

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算

§6-9具有彈性支座的計(jì)算

§6-10超靜定結(jié)構(gòu)位移的計(jì)算§6-11超靜定結(jié)構(gòu)計(jì)算的校核

§6-12靜定、超靜定結(jié)構(gòu)特征比較主要內(nèi)容1）超靜定結(jié)構(gòu)

拱

組合結(jié)構(gòu)§6-1超靜定結(jié)構(gòu)的組成和超靜定次數(shù)——由于有多余約束，其反力、內(nèi)力不能由靜力平衡條件全部確定的結(jié)構(gòu)?！獛缀尾蛔儯卸嘤嗉s束。2）特征3）超靜定結(jié)構(gòu)的類型

桁架

超靜定梁

剛架（1）超靜定次數(shù)——結(jié)構(gòu)多余約束或多余未知力的數(shù)目，即為超靜定次數(shù)。（2）確定超靜定次數(shù)的方法——通過(guò)去掉多余約束來(lái)確定。（去掉n個(gè)多余約束，即為n次超靜定）。（3）去掉（解除）多余約束的方式4）超靜定次數(shù)確定

a、去掉或切斷一根鏈桿——去掉1個(gè)約束（聯(lián)系）；X1

b、去掉一個(gè)單鉸——

去掉2個(gè)約束；

c、切斷剛性聯(lián)系或去掉一個(gè)固定端——去掉3個(gè)約束；X1X2X1X2X3X1X2X3

d、將剛性連結(jié)改為單鉸——去掉1個(gè)約束。注意事項(xiàng)（1）對(duì)于同一超靜定結(jié)構(gòu)，可以采取不同方式去掉多余約束，而得到不同形式的靜定結(jié)構(gòu)，但去掉多余約束的總個(gè)數(shù)應(yīng)相同。（2）去掉多余約束后的體系，必須是幾何不變的體系，因此，某些約束是不能去掉的。X1舉例：X1X2X1X2X1X3X2X4X3X1X2X1X2舉例：X1X2X3X1X2X3每個(gè)無(wú)鉸封閉框超三次靜定超靜定次數(shù)3×封閉框數(shù)=3×5=15超靜定次數(shù)3×封閉框數(shù)－單鉸數(shù)目=3×5－5=10舉例：（4）對(duì)于復(fù)雜結(jié)構(gòu)，可用計(jì)算自由度的方法確定超靜定次數(shù)①組合結(jié)構(gòu)：n—超靜定次數(shù)；m—?jiǎng)偲瑪?shù)；h—單鉸數(shù)；r—支座鏈桿數(shù)。例：確定圖示結(jié)構(gòu)超靜定次數(shù)。

該結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)此兩鏈桿任一根都不能去掉此鏈桿不能去掉②桁架結(jié)構(gòu)：n—超靜定次數(shù)；j—結(jié)點(diǎn)數(shù)；b—桿件數(shù)；r—支座鏈桿數(shù)。例：確定圖示桁架超靜定次數(shù)。該結(jié)構(gòu)為二次超靜定結(jié)構(gòu)。③框架結(jié)構(gòu)：

n—超靜定次數(shù)；f—封閉框格數(shù)；h—單鉸個(gè)數(shù)。例：確定圖示結(jié)構(gòu)的超靜定次數(shù)。

該結(jié)構(gòu)為3次超靜定結(jié)構(gòu)該結(jié)構(gòu)為11次超靜定結(jié)構(gòu)211111課間休息聽(tīng)段音樂(lè)§6-2力法的基本概念1）解題思路——將超靜定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為靜定問(wèn)題求解（1）確定超靜定次數(shù)——具有一個(gè)多余約束，原結(jié)構(gòu)為一次超靜定結(jié)構(gòu)。（2）取基本體系——去掉多余約束（鏈桿B），代之以多余未知力X1。

基本體系X1例：圖示單跨超靜定梁X1—稱為力法的基本未知量。2）解題步驟qABqABl

原結(jié)構(gòu)（3）求基本未知量X1

==+

①建立變形協(xié)調(diào)方程

Δ11：由多余未知力X1單獨(dú)作用時(shí)，基本結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿X1方向產(chǎn)生的位移Δ1P：由荷載q單獨(dú)作用時(shí)，基本結(jié)構(gòu)B點(diǎn)沿X1方向產(chǎn)生的位移由迭加原理，上式寫(xiě)成：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0

——變形協(xié)調(diào)方程?；倔w系與原結(jié)構(gòu)在去掉多余約束處沿多余未知力方向上的位移應(yīng)一致，即：Δ1＝0§6-2力法的基本概念qABlABX1qqABABX1

=BBX1=+§6-2力法的基本概念由于X1是未知的，△11無(wú)法求出，為此令：△11=δ11×X1

δ11——表示X1為單位力時(shí)，在B處沿X1方向產(chǎn)生的位移。式：Δ1＝Δ11＋Δ1P＝0

可改寫(xiě)成：

δ11X1＋Δ1P＝0式中δ11、Δ1P被稱為系數(shù)和自由項(xiàng)，可用求解靜定結(jié)構(gòu)位移的方法求出。一次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程1×X1AAqBlqqX1ABAδ11X1

②求系數(shù)δ11、自由項(xiàng)Δ1P由圖乘法，得：δ11Δ1P——均為靜定結(jié)構(gòu)在已知力作用下的位移，故可由積分法或圖乘法求得。

ABlM1圖作、圖，MMP

MP圖lAB§6-2力法的基本概念

③

將δ11、Δ1P代入力法方程，求得X1由上式，得：

④按靜定結(jié)構(gòu)求解其余反力、內(nèi)力、繪制內(nèi)力圖

其中：（與所設(shè)方向一致）δ11X1＋Δ1P＝0——迭加原理繪制ABlqM圖§6-2力法的基本概念

3）力法概念小結(jié)

解題過(guò)程（1）判定超靜定次數(shù)，確定基本未知量；（2）取基本體系；（3）建立變形協(xié)調(diào)方程（力法方程）；（4）求力法方程系數(shù)、自由項(xiàng)（作Mp、M圖）；（5）解力法方程，求基本未知量（X）；（6）由靜定的基本結(jié)構(gòu)求其余反力、內(nèi)力、位移?！?-2力法的基本概念力法的特點(diǎn)

（1）以多余未知力作為基本未知量，并根據(jù)基本結(jié)構(gòu)與原結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)的位移條件，求解基本未知量；（2）力法的整個(gè)計(jì)算過(guò)程自始至終都是在基本體系上進(jìn)行的。因此，就是把超靜定結(jié)構(gòu)的計(jì)算問(wèn)題，轉(zhuǎn)化成了前面已學(xué)習(xí)過(guò)的靜定問(wèn)題；（3）基本體系與原結(jié)構(gòu)在受力、變形和位移方面完全相同，二者是等價(jià)的。（4）基本體系的選取不是唯一的?！?-2力法的基本概念（3）根據(jù)變形條件，建立力法方程——二次超靜定結(jié)構(gòu)的力法方程BAqC

基本體系X2X1LLqABC

原結(jié)構(gòu)

4）力法的典型方程——多次超靜定結(jié)構(gòu)討論解：（1）超靜定次數(shù)：2次（2）選擇支座B的約束為多余約束，取基本體系如圖所示。例：圖示一超靜定結(jié)構(gòu)?！?-2力法的基本概念

δ11、δ12、Δ1P——、和荷載分別單獨(dú)作用于基本體系時(shí)，B點(diǎn)沿X1方向產(chǎn)生的位移；X1＝1X2＝1δ11δ21δ12δ21Δ1PΔ2P

δ21、δ22、Δ2P——、和荷載分別單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，B點(diǎn)沿X2方向產(chǎn)生的位移；X1＝1X2＝1荷載作用X2＝1作用X2＝1X1＝1作用X1＝1ACBqCBACBA§6-2力法的基本概念（4）求系數(shù)、自由項(xiàng)——上述各系數(shù)和自由項(xiàng)均可由上式積分或通過(guò)、、圖的圖乘求得。MPM2M1（5）解力法方程，求基本未知量：X1、X2?！?-2力法的基本概念推廣至n次超靜定結(jié)構(gòu)（1）力法方程——力法典型方程

注：對(duì)于有支座沉降的情況，右邊相應(yīng)的項(xiàng)就等于已知位移（沉降量），而不等于零?！?-2力法的基本概念（2）系數(shù)（柔度系數(shù)）、自由項(xiàng)

主系數(shù)δii(i＝1,2,…n)——單位多余未知力單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，所引起的沿其本身方向上的位移，恒為正；Xi＝1

副系數(shù)δ

i

j(

i≠j)——單位多余未知力單獨(dú)作用于基本結(jié)構(gòu)時(shí)，所引起的沿Xi方向的位移，可為正、負(fù)或零，且由位移互等定理：

δ

i

j=δ

j

iX

j＝1§6-2力法的基本概念

自由項(xiàng)ΔiP

——荷載FP單獨(dú)作用于基本體系時(shí)，所引起Xi方向的位移，可正、可負(fù)或?yàn)榱?。?）典型方程的矩陣表示（4）最后彎矩§6-2力法的基本概念§6-3超靜定剛架和排架1）剛架

以圖示剛架為例解：●

判定超靜定次數(shù)，選擇基本體系X2X1原結(jié)構(gòu)為：二次超靜定拆去A端的固定支座，以多余未知力X1、X2代之，其基本體系如圖所示。

原結(jié)構(gòu)CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本體系

●根據(jù)基本體系與原結(jié)構(gòu)變形協(xié)調(diào)條件，建立力法方程。由水平位移Δ1＝0垂直位移Δ2＝0——力法典型方程得：

原結(jié)構(gòu)CBAD2IIaa/2a/2FPBFPCAD2II基本體系

X1X2§6-3超靜定剛架和排架

注：計(jì)算系數(shù)和自由項(xiàng)時(shí)，對(duì)于剛架通常可略去軸力和剪力的影響，而只考慮彎矩一項(xiàng)，為此，只需繪出彎矩圖。X1＝1

M1圖Mp圖X2＝1

M2圖●作基本體系的圖，求系數(shù)及自由項(xiàng)2ICBAIFPCBA2IIaCBI2IA

a§6-3超靜定剛架和排架利用圖乘法，可求得：Mp圖FPCBI2IAX1＝1

M1圖2ICBAI

aX2＝1

M2圖CBA2IIa§6-3超靜定剛架和排架利用圖乘法，可求得：Mp圖FPCBI2IA

M1圖X1＝12ICBAI

a

M2圖X2＝1CBA2IIa§6-3超靜定剛架和排架

M1圖X1＝12ICBAI

a

M2圖X2＝1CBA2IIa●將系數(shù)、自由項(xiàng)代入方程中，求得多余未知力§6-3超靜定剛架和排架解得：●求內(nèi)力圖（1）M圖—由§6-3 超靜定剛架和排架迭加原理繪制aa/2a/2FP

M圖

M1圖X1＝12ICBAI

a

M2圖X2＝1CBA2IIa（2）FQ圖—可由基本體系逐桿、分段定點(diǎn)繪制，也可利用M圖繪制?！?-3 超靜定剛架和排架FQ圖ABFPCD2II基本體系

X1X2○○+BCAD○+

M圖ADCB（3）FN圖—可由FQ圖中取出結(jié)點(diǎn)，由平衡方程求得各桿FN，同桿也可以由基本體系逐桿，分段求得。?FQCBFNCBFNCD取C結(jié)點(diǎn)：FQCAFN圖BCADFQ圖○+BCAD○+○○○§6-3 超靜定剛架和排架說(shuō)明：1）超靜定結(jié)構(gòu)在載荷作用下，其內(nèi)力與各桿件EI的具體數(shù)值無(wú)關(guān)，只與各桿EI的比值（相對(duì)剛度）有關(guān)；2）對(duì)于同一超靜定結(jié)構(gòu)，其基本結(jié)構(gòu)的選取可有多種，只要不為幾何可變或瞬變體系均可。然而不論采用哪一種基本體系,所得的最后內(nèi)力圖是一樣的。ABFPCD2II基本體系1

X1X2X1X2A

基本體系2CBD2IIFPFP

基本體系3X2X1如前面的剛架：§6-3 超靜定剛架和排架2）排架——單層工業(yè)廠房（1）排架結(jié)構(gòu)與計(jì)算簡(jiǎn)圖結(jié)構(gòu)形式計(jì)算簡(jiǎn)圖基礎(chǔ)柱子桁架EA=∞§6-3 超靜定剛架和排架（2）計(jì)算假定

計(jì)算橫向排架（受側(cè)向力作用的排架），就是對(duì)柱子進(jìn)行內(nèi)力分析。通常作如下假設(shè)：

認(rèn)為聯(lián)系兩個(gè)柱頂?shù)奈菁埽ɑ蛭菝娲罅海﹥啥酥g的距離不變，而將它看作是一根軸向剛度為無(wú)限大（即EA=∞）的鏈桿。計(jì)算簡(jiǎn)圖EA=∞§6-3 超靜定剛架和排架（3）計(jì)算方法及步驟●將橫梁作為多余約束，并將其切斷，代之以多余反力，得到基本結(jié)構(gòu)；●作Mp、圖，求系數(shù)及自由項(xiàng)；

M

●解力法方程，求出多余未知力；

●按靜定問(wèn)題求作最后內(nèi)力圖。

●利用切口處相對(duì)位移為零的條件，建立力法方程；

§6-3 超靜定剛架和排架（4）舉例

計(jì)算圖示兩跨排架，作出彎矩圖。E＝C，I2＝5I1，h1＝3m，h2＝10m，ME=20KN·m，MH＝60KN·m，CD桿、HG桿的EA=∞。DC原結(jié)構(gòu)I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFGX1X2DC基本體系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG§6-3 超靜定剛架和排架解：（1）此排架為二次超靜定，選取基本結(jié)構(gòu)如圖。（2）建立力法方程。（3）作、、圖，求系數(shù)及自由項(xiàng)。X1X2DC基本體系I1I1I1I2I2h1h2ABEHMEMHFG§6-3 超靜定剛架和排架X2=1M1圖Mp圖

X1=1DCABEHFG2060DCABEHFGDCABEHFG1010377M2圖2060§6-3 超靜定剛架和排架M1圖X1=1DCABEHFG10103X2=1DCABEHFG77M2圖Mp圖

2060DCABEHFG2060§6-3 超靜定剛架和排架由圖乘法，得：M1圖X1=1DCABEHFG10103§6-3 超靜定剛架和排架X2=1DCABEHFG77M2圖M1圖X1=1DCABEHFG10103§6-3 超靜定剛架和排架Mp圖

2060DCABEHFG2060X2=1DCABEHFG77M2圖M1圖X1=1DCABEHFG10103§6-3 超靜定剛架和排架（4）解力法方程，求多余未知力解得：（5）由迭加法繪制彎矩圖§6-3 超靜定剛架和排架M圖26.3713.916.067.506.0946.09EHDCABFG§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)（1）解題步驟及相關(guān)公式a、判定超靜定次數(shù)，選取基本體系——切斷多余桁架桿。b、根據(jù)切口處變形協(xié)調(diào)條件，建立力法方程。

——切口兩側(cè)截面相對(duì)軸向線位移應(yīng)為零。c、求力法典型方程中的系數(shù)和自由項(xiàng)。

——分別求出基本結(jié)構(gòu)在單位多余未知力和載荷作用下各桿的內(nèi)力和NP，然后利用靜定桁架位移計(jì)算公式求解。Xi＝1N1）桁架d、解力法方程，求出多余未知力Xie、求出各桿最后軸力——按迭加法求得

即：即：

§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)（2）例題

求圖示超靜定桁架的內(nèi)力，EA為常數(shù)。解：a、確定超靜定次數(shù)，取基本體系。aaCADB

原結(jié)構(gòu)FP

一次超靜定，切斷BC桿b、建立力法典型方程由：得：X1§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)FP基本體系c、求各桿的、及、

其系數(shù)、自由項(xiàng)為：§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)X1-1-1-1-1圖FPFP圖FPd、解方程，求X1e、求各桿最后的軸力§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)FPFN圖其中：2）組合結(jié)構(gòu)（1）解題要點(diǎn)及公式

其解題步驟與桁架基本相同，但對(duì)于系數(shù)和自由項(xiàng)的計(jì)算略有不同。對(duì)于梁式桿計(jì)彎矩的影響，對(duì)于鏈桿計(jì)軸力的影響。、、

的計(jì)算公式：組合結(jié)構(gòu)梁式桿桿鏈§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)ACDB2）例題

求所示組合結(jié)構(gòu)的內(nèi)力。解：a、取基本體系b、列力法方程原結(jié)構(gòu)基本體系該結(jié)構(gòu)為一次超靜定，切斷CD桿，代之以X1?！?-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)A

由：得：L/2L/2aaA

CDBEI1A2A1A3

qkN/mCDBEI1A2A1A3

qkN/mX1（3）計(jì)算δ11、Δ1P

§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)a/2ha/2hL/4A

CBEI1A1DA2A3X1=1-1L/4（3）計(jì)算δ11、Δ1P

§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)A

CDBEI1A2A1A3X1=1a/2ha/2h-1000qL2/8（4）解力法方程，求X1（5）求最后的內(nèi)力N、M

由迭加法求得§6-4超靜定桁架、組合結(jié)構(gòu)

FN、M圖aX1/2haX1/2hX1LX1/4×qL2/8§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算1、對(duì)稱結(jié)構(gòu)3EI3EIEIEI2EI3EIEIEI1）定義——結(jié)構(gòu)的幾何形狀、支承狀況和各桿的剛度（EI、EA）均對(duì)稱于某一軸線，這種結(jié)構(gòu)被稱為對(duì)稱結(jié)構(gòu)。2）兩類問(wèn)題——正對(duì)稱與反對(duì)稱問(wèn)題（1）正對(duì)稱問(wèn)題——對(duì)稱結(jié)構(gòu)在正對(duì)稱載荷作用下的情況（2）反對(duì)稱問(wèn)題——對(duì)稱結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱載荷作用下的情況§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算（a）正對(duì)稱FPFPFPFP（b）反對(duì)稱2、正對(duì)稱問(wèn)題（a）原結(jié)構(gòu)（b）基本體系§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算FPFP33LFPFP33LX1X2X3力法方程：66L/2L/2L/21113FP3FP作圖，求系數(shù)與自由項(xiàng)：§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算FPFPMP圖X1=1M1圖X2=1X3=1M2圖M3圖§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算3FP3FPFPFPMP圖66X1=1M1圖L/2L/2L/2X2=1M2圖111X3=1M3圖由上可見(jiàn)：MP、M1、M3圖是正對(duì)稱的，M2圖是反對(duì)稱的，由圖乘可知：由②式得：

X2=0

§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算力法方程變成：①②③結(jié)論：結(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載對(duì)稱，在結(jié)構(gòu)的對(duì)稱點(diǎn)處，只有對(duì)稱的內(nèi)力存在，反對(duì)稱的內(nèi)力等于零。因此上述結(jié)構(gòu)在對(duì)稱荷載作用下，是2次超靜定的。3、反對(duì)稱問(wèn)題§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算（a）原結(jié)構(gòu)FPFP33L力法方程：（b）基本體系FPFP33LX1X2X33FP66L/2L/2L/21113FP作圖，求系數(shù)與自由項(xiàng)：§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算FPFPMP圖X1=1M1圖X2=1X3=1M2圖M3圖§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算3FP3FPFPFPMP圖66X1=1M1圖L/2L/2L/2X2=1M2圖111X3=1M3圖由上可見(jiàn)：M1、M3圖是正對(duì)稱的，M2、MP圖是反對(duì)稱的，由圖乘可知：由①、③式得：

X1=X2=0

§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算力法方程變成：①②③結(jié)論：結(jié)構(gòu)對(duì)稱，荷載反對(duì)稱，在結(jié)構(gòu)的對(duì)稱點(diǎn)處，只有反對(duì)稱的內(nèi)力存在，對(duì)稱的內(nèi)力等于零。因此上述結(jié)構(gòu)在反對(duì)稱荷載作用下，是1次超靜定的。4、未知力分解與載荷分解

1）未知力分解對(duì)于對(duì)稱的超靜定結(jié)構(gòu)，雖然選取了對(duì)稱的基本結(jié)構(gòu)，但若載荷是非對(duì)稱的，那么，多余未知力對(duì)結(jié)構(gòu)的對(duì)稱軸來(lái)說(shuō)卻不是正對(duì)稱或反對(duì)稱的，因此，有關(guān)副系數(shù)不可能為零，因而，達(dá)不到簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。對(duì)于這種情況，為使副系數(shù)盡可能多的等于零，采用將未知力分解（分組）以實(shí)現(xiàn)這一目的?！?-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算FPY1X2FP原結(jié)構(gòu)基本體系=Y1X1Y2Y2基本體系=FPX1=Y1+Y2X2=Y1－Y2§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算Y1=1Y2=1Y2=1FPMP圖Y1=1M1圖力法方程：兩個(gè)獨(dú)立方程M2圖2）載荷分解

當(dāng)對(duì)稱結(jié)構(gòu)承受一般非對(duì)稱載荷時(shí)，除了可將未知力分解外，還可將載荷分解為正，反對(duì)稱的兩組，以實(shí)現(xiàn)簡(jiǎn)化計(jì)算的目的。FP+=§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算原結(jié)構(gòu)正對(duì)稱反對(duì)稱FP/2FP/2FP/2FP/2（b）正對(duì)稱+=§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算qFP（a）原結(jié)構(gòu)LLEIEILLEIEIFP/2FP/2q/2LLFP/2FP/2q/2q/2（b）反對(duì)稱例：利用對(duì)稱性計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)。所有桿長(zhǎng)均為L(zhǎng)，EI也均相同。原結(jié)構(gòu)解：1、由于該結(jié)構(gòu)的反力是靜定的，求出后用反力代替約束。

2、該結(jié)構(gòu)有兩根對(duì)稱軸，因此把力變換成對(duì)稱與反對(duì)稱的。==+原結(jié)構(gòu)=對(duì)稱+反對(duì)稱§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算

對(duì)稱情況，只是三根柱受軸力，由于忽略向變形，不會(huì)產(chǎn)生彎矩，因此不用計(jì)算。

反對(duì)稱情況，在荷載作用下，梁會(huì)發(fā)生相對(duì)錯(cuò)動(dòng)，因此會(huì)產(chǎn)生彎矩。該結(jié)構(gòu)有兩根對(duì)稱軸，對(duì)于豎向?qū)ΨQ軸，荷載是對(duì)稱的，對(duì)于水平對(duì)稱軸荷載是反對(duì)稱的。

+原結(jié)構(gòu)§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算X1X1基本體系反對(duì)稱情況的基本體系如圖所示。該結(jié)構(gòu)應(yīng)是6次超靜定的，但由于荷載相對(duì)水平軸是反對(duì)稱的，因此切開(kāi)的截面處只有反對(duì)稱的內(nèi)力存在，即只有剪力。又由于荷載對(duì)于豎向?qū)ΨQ軸是對(duì)稱的，因此兩個(gè)多余未知力應(yīng)該大小相等，方向相反。

綜上所述，該結(jié)構(gòu)在所示荷載作用下是1次超靜定的。§6-5 對(duì)稱結(jié)構(gòu)的計(jì)算MP圖X1=1X1=1M1圖力法方程：后續(xù)計(jì)算省略。關(guān)于對(duì)稱性的結(jié)論1、在對(duì)稱荷載作用下，反對(duì)稱未知力為零，只保留對(duì)稱未知力2、在反對(duì)稱荷載作用下，對(duì)稱未知力為零，只保留反對(duì)稱未知力3、一般荷載可分解為對(duì)稱荷載與反對(duì)稱荷載兩組，分別計(jì)算內(nèi)力后進(jìn)行疊加。4、若選擇了對(duì)稱基本結(jié)構(gòu)而基本未知力不對(duì)稱時(shí)，可采用組合未知力的方法，將基本未知力分解為對(duì)稱和反對(duì)稱兩組分量，形成組合未知力，可使計(jì)算簡(jiǎn)化5、具有兩個(gè)正交對(duì)稱軸的結(jié)構(gòu)，可在兩個(gè)對(duì)稱軸方向上均利用對(duì)稱性，使計(jì)算盡可能簡(jiǎn)化6、剛架、排架若只有結(jié)點(diǎn)集中荷載作用，則只有荷載的反對(duì)稱分量產(chǎn)生彎矩，荷載的對(duì)稱分量不引起彎矩。7、在對(duì)稱荷載或反對(duì)稱荷載作用下，可用半結(jié)構(gòu)進(jìn)行計(jì)算。8、在對(duì)稱單位未知力作用下，反對(duì)稱位移（力法方程中相應(yīng)的副系數(shù)）為零；在反對(duì)稱單位未知力作用下，對(duì)稱位移（相應(yīng)的副系數(shù)）為零。

兩鉸拱為一次超靜定結(jié)構(gòu)，取簡(jiǎn)支曲梁為基本體系。（2）建立力法典型方程§6-6、7超靜定拱1、無(wú)拉桿兩鉸拱

計(jì)算如圖所示兩鉸拱。原結(jié)構(gòu)x1基本體系（曲梁）（1）確定超靜定次數(shù)LfFP2FP1FP2FP1§6-6超靜定拱原結(jié)構(gòu)oyxX1=1yφLfFP2FP1基本體系（曲梁）x（3）計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)在X1=1的作用下，曲梁的受力性能與拱相同，因此計(jì)算系數(shù)δ11時(shí)，應(yīng)考慮彎矩和軸力的影響，計(jì)算公式：X1=1φ§6-6超靜定拱原結(jié)構(gòu)LfFP2FP1（3）計(jì)算系數(shù)及自由項(xiàng)X1=1φoyxyφ基本體系（曲梁）xFP2FP1在FP的作用下，曲梁的受力性能與簡(jiǎn)支梁相同，因此計(jì)算自由項(xiàng)△P時(shí)，只需考慮彎矩的影響，計(jì)算公式：（4）由力法典型方程求多余未知力（水平推力）式中，、——分別表示相應(yīng)簡(jiǎn)支梁的彎矩和剪力。（5）求內(nèi)力水平推力X1求得后，各截面內(nèi)力計(jì)算與三鉸拱內(nèi)力計(jì)算相同。§6-6超靜定拱2、有拉桿兩鉸拱計(jì)算如圖示有拉桿兩鉸拱。1）特點(diǎn)：可避免支座受推力；2）解法：與無(wú)拉桿兩鉸拱相似，只是在計(jì)算δ11時(shí)，要計(jì)入拉桿軸向變形的影響，即:§6-6超靜定拱

原結(jié)構(gòu)FP2FP1Lf

基本體系FP2FP1X1EIEAE1A1§6-6超靜定拱

原結(jié)構(gòu)FP2FP1Lf

基本體系FP2FP1X1EIEAE1A1由力法方程可得多余力計(jì)算公式：任意點(diǎn)的內(nèi)力計(jì)算公式：§6-6超靜定拱有拉桿兩鉸拱FP2FP1LfEIEAE1A1

結(jié)論：●

有拉桿兩鉸拱的推力要比相應(yīng)無(wú)拉桿兩鉸拱的推力小。當(dāng)拉桿的E1A1→∞時(shí)，則有桿兩鉸拱的內(nèi)力與無(wú)拉桿兩鉸拱趨于相同；而當(dāng)E1A1→0時(shí)，則

X1→0，拉桿拱將成為簡(jiǎn)支曲梁而喪失拱的作用與特征?！裨O(shè)計(jì)時(shí)應(yīng)加大抗桿抗拉度，以減小拱的彎矩。LfFP2FP1無(wú)拉桿兩鉸拱§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算AhB

原結(jié)構(gòu)

Lbaφ超靜定結(jié)構(gòu)有一個(gè)重要特點(diǎn)，就是在僅支座移動(dòng)、溫度改變等所有使結(jié)構(gòu)發(fā)生變形的因素，都能使結(jié)構(gòu)產(chǎn)生內(nèi)力。用力法求解支座移動(dòng)、溫度改變時(shí)的問(wèn)題，其方法與荷載荷作用時(shí)相同，唯一的區(qū)別在于典型方程中自由項(xiàng)的計(jì)算不同。1、支座移動(dòng)時(shí)的計(jì)算

圖示剛架，設(shè)支座A發(fā)生了圖示位移。（1）判定超靜定次數(shù)，取基本體系。為二次超靜定問(wèn)題基本體系如圖所示。（2）由位移條件，建立力法典型方程。

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算AhB

原結(jié)構(gòu)

Lbaφ

基本體系

BhLbX2X1（3）計(jì)算系數(shù)與自由項(xiàng)系數(shù)——計(jì)算同前由圖乘求得。自由項(xiàng)——基本結(jié)構(gòu)由支座移動(dòng)引起的沿Xi方向的位移，即：X1＝1BA

b

hAB

bX2＝1

1M1圖M2圖

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算

h/L

1/LX1＝1BA

b

hAB

bX2＝1

1M1圖M2圖

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算

h/L

1/L（4）將、代入力法方程，求得X1、X2。（5）求彎矩2、溫度變化時(shí)計(jì)算

圖示剛架各桿內(nèi)側(cè)溫度升高10℃，外側(cè)溫度不變，各桿線膨脹系數(shù)為α。EI和截面高度h均為常數(shù)。＋10°（2）列力法方程：

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算B

原結(jié)構(gòu)

BALLC＋10°基本體系X1BALLC＋10°＋10°（1）確定超靜定次數(shù)一次超靜定，取基本體系如圖所示。（3）求系數(shù)與自由項(xiàng)X1=1BAC

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算CBAX1=1LM1圖1N1圖（4）解方程求X1（5）求最后彎矩和軸力

§6-8支座移動(dòng)、溫度變化的計(jì)算BCAMM圖BCANN圖

圖示梁具有彈性支座，彈簧系數(shù)為k（單位伸長(zhǎng)所需的力）。（1）取基本結(jié)構(gòu)

一次超靜定，取基本體系如圖所示。（2）彈簧處的位移負(fù)號(hào)表示△1的方向與X1相反。（3）建立力法方程Δ1

§6-8具有彈性支座的計(jì)算kFPABCL/2L/2原結(jié)構(gòu)基本體系L/2L/2FPABCX1（4）求系數(shù)與自由項(xiàng)

作圖與圖，由圖乘求得：（5）回代，由力法方程求得X1：

§6-8具有彈性支座的計(jì)算LABL/2L/2FPABCX1=1L

M1圖FP/2MP圖§6-9 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

先回顧一下靜定結(jié)構(gòu)位移計(jì)算的步驟（荷載作用下）：▲

畫(huà)出荷載作用下的彎矩圖；▲

虛設(shè)一個(gè)單位力，并畫(huà)出它的彎矩圖；▲

對(duì)兩個(gè)彎矩圖進(jìn)行圖乘，就可得到的所要的位移。

對(duì)超靜定結(jié)構(gòu)完全可以按照上述步驟及方法進(jìn)行，但這樣做要多次解超靜定結(jié)構(gòu)。如：求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的水平位移。FPBAC§6-9 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

如：求圖示結(jié)構(gòu)B點(diǎn)的水平移。第一步：畫(huà)出MP圖要用力法解一次超靜定。若結(jié)構(gòu)是多次超靜的，工作量將更大。第二步：畫(huà)出M圖又要用力法解一次超靜定。BACFPMPFPMFP=1§6-9 超靜定結(jié)構(gòu)的位移計(jì)算

為了減少工作量，我們可以進(jìn)行如下分析：=

由于基本體系與原結(jié)構(gòu)完全等價(jià)，因此求超靜定結(jié)構(gòu)上某點(diǎn)的位移，可以到靜定的基本體系上去求，步驟如下：1、畫(huà)出基本體系在FP、X1作用下的MP圖，由于X1是未知的，要畫(huà)出MP圖還需用力法求解；

2、虛設(shè)一個(gè)力的狀態(tài)，這時(shí)可以在靜定的基本體系上進(jìn)行，并畫(huà)出M圖（是