第五章 第2單元 動(dòng)能定理

一、動(dòng)能1．定義：物體由于

而具有的能量叫做動(dòng)能．物體的

動(dòng)能跟物體的

和

都有關(guān)系，物體的

越

大、

越大，它的動(dòng)能就越大．運(yùn)動(dòng)速度質(zhì)量速度質(zhì)量2．公式：Ek＝mv23．單位：與功的單位

，在國(guó)際單位制中都是

．相同焦耳4．矢標(biāo)性：動(dòng)能是

，只有正值．5．動(dòng)能是狀態(tài)量，動(dòng)能的變化量是

量．標(biāo)量過(guò)程動(dòng)能具有相對(duì)性，其值與參考系的選取有關(guān)，一般取地面為參考系．二、動(dòng)能定理1．內(nèi)容：力在一個(gè)過(guò)程中對(duì)物體所做的功，等于物體在這個(gè)過(guò)程中

.2．表達(dá)式：W＝

.動(dòng)能的變化Ek2－Ek13．物理意義：動(dòng)能定理指出了外力對(duì)物體所做的總功與物體

動(dòng)能變化之間的關(guān)系，即合外力的功是物體

的

量度．動(dòng)能變化4．動(dòng)能定理的適用條件：動(dòng)能定理既適用于直線運(yùn)動(dòng)，也

適用于

；既適用于恒力做功，也適用于

．力可以是各種性質(zhì)的力，既可以同時(shí)作用，也可

以

．曲線運(yùn)動(dòng)變力做功不同時(shí)作用1.一個(gè)物體的動(dòng)能變化ΔEk與合外力對(duì)物體所做功W具有等量

代換關(guān)系．(1)若ΔEk＞0，表示物體的動(dòng)能增加，其增加量等于合外力對(duì)

物體所做的正功；(2)若ΔEk＜0，表示物體的動(dòng)能減少，其減少量等于合外力對(duì)

物體所做的負(fù)功的絕對(duì)值；(3)若ΔEk＝0，表示合外力對(duì)物體所做的功等于零．反之

亦然．這種等量代換關(guān)系提供了一種計(jì)算變力做功的

簡(jiǎn)便方法．2．動(dòng)能定理公式中等號(hào)的意義等號(hào)表明合力做功與物體動(dòng)能的變化間的三個(gè)關(guān)系(1)數(shù)量關(guān)系：即合外力所做的功與物體動(dòng)能的變化具有等量

代換關(guān)系．可以通過(guò)計(jì)算物體動(dòng)能的變化，求合力的功，

進(jìn)而求得某一力的功．(2)單位相同，國(guó)際單位都是焦耳．(3)因果關(guān)系：合外力的功是物體動(dòng)能變化的原因．3．動(dòng)能定理中涉及的物理量有F、X、m、v、W、Ek等，

在處理含有上述物理量的力學(xué)問(wèn)題時(shí)，可以考慮使用

動(dòng)能定理．由于只需要從力在整個(gè)位移內(nèi)做的功和這

段位移始、末兩狀態(tài)動(dòng)能變化去考慮，無(wú)需注意其中

運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化的細(xì)節(jié)，同時(shí)動(dòng)能和功都是標(biāo)量，無(wú)方

向性，所以無(wú)論是直線運(yùn)動(dòng)或曲線運(yùn)動(dòng)，計(jì)算都會(huì)特

別方便．4．動(dòng)能定理中的位移和速度必須是相對(duì)于同一個(gè)參考系

的，一般以地面為參考系．功和動(dòng)能都是標(biāo)量，動(dòng)能定理表達(dá)式是一個(gè)標(biāo)量式，不能在某一個(gè)方向上應(yīng)用動(dòng)能定理，但牛頓第二定律是矢量方程，可以在互相垂直的方向上分別使用分量方程．質(zhì)量為m的小球被系在輕繩一端，在豎直平面內(nèi)做半徑為R的圓周運(yùn)動(dòng)，如圖5－2－1所示，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球受到空氣阻力的作用．設(shè)某一時(shí)刻小球通過(guò)軌道的最低點(diǎn)，此時(shí)繩子的張力為7mg，在此后小球繼續(xù)做圓周運(yùn)動(dòng)，經(jīng)過(guò)半個(gè)圓周恰好能通過(guò)最高點(diǎn)，則在此過(guò)程中小球克服空氣阻力所做的功是[名師歸納]

應(yīng)用動(dòng)能定理，特別是當(dāng)某個(gè)力的大小和方向都不能確定時(shí)，可以應(yīng)用動(dòng)能定理很方便地求出此力的功．可以求恒力的功，可以求變力的功，可以求未知力的功1.運(yùn)用動(dòng)能定理須注意的問(wèn)題(1)若過(guò)程包含了幾個(gè)運(yùn)動(dòng)性質(zhì)不同的分過(guò)程，既可分段考

慮，也可整個(gè)過(guò)程考慮．但求功時(shí)，有些力不是全過(guò)程

都作用的，必須根據(jù)不同的情況分別對(duì)待求出總功．(2)運(yùn)用動(dòng)能定理時(shí)，必須明確各力做功的正、負(fù)．當(dāng)一個(gè)

力做負(fù)功時(shí)，可設(shè)物體克服該力做功為W，將該力做功表

達(dá)為－W，也可以直接用一字母表示該力做功，使其字母

本身含有負(fù)號(hào)．2．應(yīng)用動(dòng)能定理的一般步驟(1)選取研究對(duì)象，明確它的運(yùn)動(dòng)過(guò)程．(2)分析研究對(duì)象的受力及各力做功的情況(①受哪些力？②每個(gè)力是否做功？③在哪段位移哪段過(guò)程中做功？④做正功還是負(fù)功？⑤做多少功？)，求出代數(shù)和．(3)明確過(guò)程始、末狀態(tài)的動(dòng)能Ek1及Ek2.(4)列方程W總＝Ek2－Ek1，必要時(shí)注意分析題目潛在的

條件，補(bǔ)充方程進(jìn)行求解．

(10分)如圖5－2－2所示，質(zhì)量為M＝0.2kg的木塊放在水平臺(tái)面上，臺(tái)面比水平地面高出h＝0.20m，木塊離臺(tái)的右端L＝1.7m．質(zhì)量為m＝0.10M的子彈以v0＝180m/s的速度水平射向木塊，當(dāng)子彈以v＝90m/s的速度水平射出時(shí)，木塊的速度為v1＝9m/s(此過(guò)程作用時(shí)間極短，可認(rèn)為木塊的位移為零)．若木塊落到水平地面時(shí)的落地點(diǎn)到臺(tái)面右端的水平距離為l＝1.6m，求：(1)木塊對(duì)子彈所做的功W1和子彈對(duì)木塊所做的功W2；(2)木塊與臺(tái)面間的動(dòng)摩擦因數(shù)μ.[答案]

(1)－243J

8.1J

(2)0.50[名師歸納]

(1)木塊對(duì)子彈所做的功W1和子彈對(duì)木塊所做的功W2的代數(shù)和并不為零，原因是：功是力對(duì)位移的積累，大小

，但位移大小

．(2)一般不對(duì)系統(tǒng)用動(dòng)能定理．在子彈穿過(guò)木塊階段，子彈和木塊間的一對(duì)摩擦力做的總功為負(fù)功．如果對(duì)系統(tǒng)在全過(guò)程用動(dòng)能定理，就會(huì)把這個(gè)負(fù)功漏掉．相互作用力不相等相等(1)在研究某一物體受到力的持續(xù)作用而發(fā)生狀態(tài)改變時(shí)，如涉及位移和速度而不涉及時(shí)間時(shí)應(yīng)首先考慮應(yīng)用動(dòng)能定理，而后考慮牛頓運(yùn)動(dòng)定律、運(yùn)動(dòng)學(xué)公式，如涉及加速度時(shí)，先考慮牛頓第二定律．(2)用動(dòng)能定理解題，關(guān)鍵是對(duì)研究對(duì)象進(jìn)行準(zhǔn)確的受力分析及運(yùn)動(dòng)過(guò)程分析，并畫出物體運(yùn)動(dòng)過(guò)程的草圖，以便更準(zhǔn)確地理解物理過(guò)程和各量關(guān)系．有些力在物體運(yùn)動(dòng)全過(guò)程中不是始終存在的，在計(jì)算外力做功時(shí)更應(yīng)引起注意．(2009·寧夏高考)冰壺比賽是在水平冰面上進(jìn)行的體育項(xiàng)目，比賽場(chǎng)地示意圖如圖5－2－3所示．比賽時(shí)，運(yùn)動(dòng)員從起滑架處推著冰壺出發(fā)，在投擲線AB處放手讓冰壺以一定的速度滑出，使冰壺的停止位置盡量靠近圓心O.為使冰壺滑行得更遠(yuǎn)，運(yùn)動(dòng)員可以用毛刷擦冰壺運(yùn)行前方的冰面，使冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)減?。O(shè)冰壺與冰面間的動(dòng)摩擦因數(shù)為μ1＝0.008，用毛刷擦冰面后動(dòng)摩擦因數(shù)減小至μ2＝0.004.在某次比賽中，運(yùn)動(dòng)員使冰壺C在投擲線中點(diǎn)處以2m/s的速度沿虛線滑出．為使冰壺C能夠沿虛線恰好到達(dá)圓心O點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)員用毛刷擦冰面的長(zhǎng)度應(yīng)為多少？(g取10m/s2)解析：設(shè)冰壺在未被毛刷擦過(guò)的冰面上滑行的距離為x1，所受摩擦力的大小為Ff1；在被毛刷擦過(guò)的冰面上滑行的距離為x2，所受摩擦力的大小為Ff2，則有x1＋x2＝x式中x為投擲線到圓心O的距離，F(xiàn)f1＝μ1mg

Ff2＝μ2mg設(shè)冰壺的初速度為v0，由功能關(guān)系，得Ff1x1＋Ff2x2＝mv02聯(lián)立以上各式，解得x2＝代入數(shù)據(jù)得x2＝10m.答案：10m5．(2009·上海高考)質(zhì)量為5×103kg的汽車在t＝0時(shí)刻

速度v0＝10m/s，隨后以P＝6×104W的額定功率沿

平直公路繼續(xù)前進(jìn)，經(jīng)72s達(dá)到最大速度，該汽車受

恒定阻力，其大小為2.5×103N.求：(1)汽車的最大速度vm；(2)汽車在72s內(nèi)經(jīng)過(guò)的路程x.[隨堂鞏固]1．下列關(guān)于運(yùn)動(dòng)物體所受合外力做的功和動(dòng)能變化的

關(guān)系正確的是(

)A．如果物體所受合外力為零，則合外力對(duì)物體做的

功一定為零B．如果合外力對(duì)物體所做的功為零，則合外力一定

為零C．物體在合外力作用下做變速運(yùn)動(dòng)，動(dòng)能一定發(fā)生

變化D．物體的動(dòng)能不變，所受合外力一定為零解析：由W合＝F合·xcosα可知，A項(xiàng)正確，B項(xiàng)錯(cuò)；勻速圓周運(yùn)動(dòng)中ΔEk＝0，C項(xiàng)錯(cuò)；物體的動(dòng)能不變，則合外力的功為零，但合外力不一定為零，D項(xiàng)錯(cuò)．答案：

A2．質(zhì)量為m的物體在水平力F的作用下，由靜止開(kāi)始在

光滑地面上運(yùn)動(dòng)，前進(jìn)一段距離之后速度大小為v，再前

進(jìn)一段距離使物體的速度增大為2v，則(

)A．第二過(guò)程的速度增量等于第一過(guò)程的速度增量

B．第二過(guò)程的動(dòng)能增量是第一過(guò)程的動(dòng)能增量的3倍

C．第二過(guò)程合外力做的功等于第一過(guò)程合外力做的功

D．第二過(guò)程合外力做的功等于第一過(guò)程合外力做功的2倍解析：由題意知，A選項(xiàng)正確，由動(dòng)能定理知W1＝mv2，W2＝m(2v)2－mv2＝mv2，故B正確．答案：AB3．兩輛汽車在同一平直路面上行駛，它們的質(zhì)量之比m1∶m2＝1∶2，速度之比v1∶v2＝2∶1.當(dāng)兩車急剎車

后，甲車滑行的最大距離為l1，乙車滑行的最大距離為l2.設(shè)兩車與路面間的動(dòng)摩擦因數(shù)相等，不計(jì)空氣阻力，

則(

)A．l1∶l2＝1∶2B．l1∶l2＝1∶1C．l1∶l2＝2∶1D．l1∶l2＝4∶1解析：由動(dòng)能定理，對(duì)兩車分別列式－F1l1＝0－m1v12，－F2l2＝0－m2v22，F(xiàn)1＝μm1g，F(xiàn)2＝μm2g.由以上四式聯(lián)立得l1∶l2＝4∶1.故選項(xiàng)D是正確的．答案：

D4.如圖5－2－4所示，電梯質(zhì)量為M，地

板上放置一質(zhì)量為m的物體．鋼索拉

電梯由靜止開(kāi)始向上加速運(yùn)動(dòng)，當(dāng)上

升高度為H時(shí)，速度達(dá)到v，則(

)A．地板對(duì)物體的支持力做的功等于mv2B．地板對(duì)物體的支持力做的功等于mgHC．鋼索的拉力做的功等于Mv2＋MgHD．合力對(duì)電梯M做的功等于Mv2解析：對(duì)物體m用動(dòng)能定理：WFN－mgH＝mv2，故WFN＝mgH＋mv2，A、B均錯(cuò)．鋼索拉力做的功WF拉＝(M＋m)gH＋(M＋m)v2，故C錯(cuò)誤．由動(dòng)能定理知，合力對(duì)電梯M做的功應(yīng)等于電梯動(dòng)能的變化