第七章-線性變換-習題答案

3．在中，，，證明：．『解題提示』直接根據(jù)變換的定義驗證即可．證明任取，則有，于是．4．設是線性變換，如果，證明：．『解題提示』利用數(shù)學歸納法進行證明．證明當時，由于，可得，因此結論成立．假設當時結論成立，即．那么，當時，有，即對結論也成立．從而，根據(jù)數(shù)學歸納法原理，對一切結論都成立．『特別提醒』由可知，結論對也成立．5．證明：可逆映射是雙射．『解題提示』只需要說明可逆映射既是單射又是滿射即可．證明設是線性空間上的一個可逆變換．對于任意的，如果，那么，用作用左右兩邊，得到，因此是單射；另外，對于任意的，存在，使得，即是滿射．于是是雙射．『特別提醒』由此結論可知線性空間上的可逆映射是到自身的同構．．而根據(jù)上一題結論可知是單射，故必有，又由于是線性無關的，因此．從而線性無關．反之，若是線性無關的，那么也是的一組基．于是，根據(jù)教材中的定理1，存在唯一的線性變換，使得，．顯然，，．再根據(jù)教材中的定理1知，．所以是可逆的．證法2設在基下的矩陣為，即．中的定理2，將線性變換可逆轉化成了矩陣可逆．9．設三維線性空間上的線性變換在基下的矩陣為．1）求在基下的矩陣；2）求在基下的矩陣，其中且；故在基下的矩陣為．2）由于，，．故在基下的矩陣為．3）由于從到的過渡矩陣為，故在基下的矩陣為．『方法技巧』根據(jù)線性變換的矩陣的定義，直接給出了1）和2）所求的矩陣；3）借助了過渡矩陣，，用作用于上式，得，但，因此．于是，再用作用上式，同樣得到．依此下去，可得．從而線性無關．16．證明：與相似，其中是的一個排列．『解題提示』利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的或直接相似的定義．證法1設是一個維線性空間，且是的一組基．另外，記，．于是，在基下，矩陣對應的一個線性變換，即．故與相似．證法２設與．對交換兩行，再交換兩列，相當于對左乘和右乘初等矩陣和，而即為將中的和交換位置得到的對角矩陣．于是，總可以通過這樣的一系列的對調變換，將的主對角線上的元素變成，這也相當于存在一系列初等矩陣，使得，令，則有，即與相似．『方法技巧』證法１利用同一個線性變換在不同基下的矩陣是相似的這一性質；證法２利用了矩陣的相似變換，直接進行了證明．17．如果可逆，證明與相似．證明由于可逆，故存在．于是，因此，根據(jù)相似的定義可知與相似．19．求復數(shù)域上線性變換空間的線性變換的特征值與特征向量．已知在一組基下的矩陣為：1）；4）；5）．解1）設在給定基,下的矩陣為．由于的特征多項式為其中為任意非零常數(shù)．當時，方程組，即為解得它的基礎解系為，從而的屬于特征值的全部特征響向量為，其中為任意非零常數(shù)．4）設在給定基下的矩陣為，由于的特征多項式為，故的特征值為，，．當時,方程組，即為求得其基礎解系為，故的屬于特征值2的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)．當時,方程組，即為求得其基礎解系為，故的屬于特征值的全部特征向量為其中為任意非零常數(shù)．故的特征值為（二重），．當時，方程組，即為求得其基礎解系為，故的屬于特征值1的全部特征向量為其中為任意不全為零的常數(shù)．當時，方程組，即為求得其基礎解系為，故的屬于特征值的全部特征向量為，其中為任意非零常數(shù)．『方法技巧』求解一個線性變換的特征值即求其矩陣的特征多項式的根，再對每個根求得所對應的特征向量，但一定要注意表達成基向量的線性組合形式．24．1）設是線性變換的兩個不同特征值，是分別屬于的特征向量，證明：不是的特征向量；2）證明：如果線性空間的線性變換以中每個非零向量作為它的特征向量，那么是數(shù)乘變換．證明1）反證法．假設是屬于特征值的特征向量，即．而由題設可知，且，故再根據(jù)是屬于不同特征值的特征向量，從而是線性無關性，因此，即．這與矛盾．所以不是的特征向量．2）設是的一組基，則它們也是的個線性無關的特征向量，不妨設它們分別屬于特征值，即，．根據(jù)1）即知．否則，若，那么，且不是的特征向量，這與中每個非零向量都是它的特征向量矛盾．所以，對于任意的，都有，即是數(shù)乘變換．25．設是復數(shù)域上的維線性空間，是上的線性變換，且．證明：1）如果是的一個特征值，那么是的不變子空間；2）至少有一個公共的特征向量．證明1）設，則，于是，由題設知，因此．根據(jù)不變子空間的定義即知