廣東省廣州市華僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析

廣東省廣州市華僑中學(xué)高二數(shù)學(xué)理聯(lián)考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有是一個(gè)符合題目要求的1.函數(shù)在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)是

(

)

A．

B．

C．

D．參考答案：D2.某單位為了了解用電量y(千瓦時(shí))與氣溫x(℃)之間的關(guān)系，隨機(jī)統(tǒng)計(jì)了某4天的用電量與當(dāng)天氣溫，并制作了對(duì)照表：氣溫x(℃)181310－1用電量y(千瓦時(shí))24343864由表中數(shù)據(jù)得線性回歸方程y＝bx＋a中b≈－2，預(yù)測(cè)當(dāng)氣溫為－4℃時(shí)，用電量約為(

).A．58千瓦時(shí)

B．66千瓦時(shí)

C．68千瓦時(shí)

D．70千瓦時(shí)參考答案：C3.某人在打靶中，連續(xù)射擊2次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(

)A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶參考答案：C【考點(diǎn)】互斥事件與對(duì)立事件．【專題】常規(guī)題型．【分析】事件“至少有一次中靶”包含兩次都中靶和兩次中有一次中靶，它的互斥事件是兩次都不中靶，實(shí)際上它的對(duì)立事件也是兩次都不中靶．【解答】解：∵事件“至少有一次中靶”包含兩次都中靶和兩次中有一次中靶，它的互斥事件是兩次都不中靶，故選C．【點(diǎn)評(píng)】本題考查互斥事件和對(duì)立事件，對(duì)立事件是指同一次試驗(yàn)中，不會(huì)同時(shí)發(fā)生的事件，遇到求用至少來(lái)表述的事件的概率時(shí)，往往先求它的對(duì)立事件的概率．4.在△ABC中,tanA是以為第3項(xiàng),4為第7項(xiàng)的等差數(shù)列的公差;tanB是以為第3項(xiàng),9為第6項(xiàng)的等比數(shù)列的公比,則該三角形為（

）A．等腰三角形

B．銳角三角形C．直角三角形

D．鈍角三角形參考答案：B略5.已知向量=（2，﹣3），=（x，6），且，則|+|的值為（）A． B． C．5 D．13參考答案：B【考點(diǎn)】平行向量與共線向量；向量的模；平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算．【分析】根據(jù)兩個(gè)向量平行的坐標(biāo)表示求出x的值，然后運(yùn)用向量的坐標(biāo)加法運(yùn)算求出兩個(gè)和向量的坐標(biāo)，最后利用求模公式求模．【解答】解：由向量=（2，﹣3），=（x，6），且，則2×6﹣（﹣3）x=0，解得：x=﹣4．所以，則=（﹣2，3）．所以=．故選B．6.設(shè)命題則為(

)

A.

B.

C.

D.參考答案：C7.設(shè)函數(shù)f(x)＝cos(x＋φ)(0<φ<π)，若f(x)＋f′(x)為奇函數(shù)，則φ＝（

）A.

B.

C.

D.參考答案：D8.已知函數(shù)，若是圖象的一條對(duì)稱軸的方程，則下列說(shuō)法正確的是（

）A.圖象的一個(gè)對(duì)稱中心 B.在上是減函數(shù)C.的圖象過(guò)點(diǎn) D.的最大值是A參考答案：A【分析】利用正弦函數(shù)對(duì)稱軸位置特征，可得值，從而求出解析式，利用的圖像與性質(zhì)逐一判斷即可。【詳解】∵是圖象的一條對(duì)稱軸的方程，∴，又，∴，∴.圖象的對(duì)稱中心為，故A正確；由于的正負(fù)未知，所以不能判斷的單調(diào)性和最值，故B，D錯(cuò)誤；，故C錯(cuò)誤.故選A.【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)。9.若-1，a,b,c,-9成等比數(shù)列，那么（

）A．b=3,ac=9

B．b=-3,ac=9

C．b=3,ac=-9

D．b=-3,ac=-9參考答案：B10.在各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列中，首項(xiàng)為3，前3項(xiàng)和為21，則（

）A、189

B、84

C、72

D、33參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.雙曲線的漸近線方程是

．參考答案：

12.已知的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，則的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)__.參考答案：-112【分析】由二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，求得，得到，再由二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，即可求解．【詳解】由題意，二項(xiàng)式的二項(xiàng)展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)是第3項(xiàng)和第4項(xiàng)，所以二項(xiàng)展開(kāi)式共有6項(xiàng)，所以，則，又由二項(xiàng)式的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令或，解得或，則展開(kāi)式的常數(shù)項(xiàng)為．【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，其中解答中熟記二項(xiàng)式系數(shù)的最大項(xiàng)，以及二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，合理準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于基礎(chǔ)題．13.過(guò)拋物線C：y2=4x的焦點(diǎn)F作直線l將拋物線C于A、B，若|AF|=4|BF|，則直線l的斜率是

．參考答案：【考點(diǎn)】KN：直線與拋物線的位置關(guān)系．【分析】由拋物線方程求出拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)，設(shè)出直線l的方程，和拋物線方程聯(lián)立，化為關(guān)于y的一元二次方程后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到A，B兩點(diǎn)縱坐標(biāo)的和與積，結(jié)合|AF|=3|BF|，轉(zhuǎn)化為關(guān)于直線斜率的方程求解．【解答】解：∵拋物線C方程為y2=4x，可得它的焦點(diǎn)為F（1，0），∴設(shè)直線l方程為y=k（x﹣1），由，消去x得y2﹣y﹣k=0．設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），可得y1+y2=，y1y2=﹣4①．∵|AF|=4|BF|，∴y1+4y2=0，可得y1=﹣4y2，代入①得﹣3y2=，且﹣4y22=﹣4，解得y2=±1，解，得k=±．故答案為：．14.設(shè),則代數(shù)式=_________參考答案：【分析】由二項(xiàng)展開(kāi)式，兩邊求導(dǎo)得，令，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，可知，兩邊求導(dǎo)可得：，令，可得，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二項(xiàng)式定理的性質(zhì)及其應(yīng)用，以及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，其中解答中對(duì)二項(xiàng)展開(kāi)式兩邊求導(dǎo)，再，準(zhǔn)確計(jì)算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運(yùn)算能力，屬于中檔試題.15.一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是3，將這組數(shù)據(jù)中的每一個(gè)數(shù)據(jù)都乘以2，所得到的一組數(shù)據(jù)的平均數(shù)是

▲

.參考答案：6略16.對(duì)于等差數(shù)列{an}有如下命題：“若{an}是等差數(shù)列，a1=0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有（s﹣1）at﹣（t﹣1）as=O”．類比此命題，給出等比數(shù)列{bn}相應(yīng)的一個(gè)正確命題是：“

”．參考答案：若{bn}是等比數(shù)列，b1=1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有【考點(diǎn)】類比推理．【分析】仔細(xì)分析題干中給出的不等式的結(jié)論“若{an}是等差數(shù)列，且a1=0，s、t是互不相等的正整數(shù)，則（s﹣1）at﹣（t﹣1）as=0”的規(guī)律，結(jié)合等差數(shù)列與等比數(shù)列具有類比性，且等差數(shù)列與和差有關(guān)，等比數(shù)列與積商有關(guān)，因此等比數(shù)列類比到等差數(shù)列的：成立．【解答】解：等差數(shù)列中的bn和am可以類比等比數(shù)列中的bn和am，等差數(shù)列中的（s﹣1）at可以類比等比數(shù)列中的ats﹣1，等差數(shù)列中的“差”可以類比等比數(shù)列中的“商”．等差數(shù)列中的“a1=0”可以類比等比數(shù)列中的“b1=1”．故故答案為：若{bn}是等比數(shù)列，b1=1，s、t是互不相等的正整數(shù)，則有．17.設(shè)復(fù)數(shù)（為虛數(shù)單位），則的虛部是

．參考答案：-1

略三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟18.在直角梯形PBCD中，，A為PD的中點(diǎn)，如圖．將△PAB沿AB折到△SAB的位置，使SB⊥BC，點(diǎn)E在SD上，且，如圖．（Ⅰ）求證：SA⊥平面ABCD；（Ⅱ）求二面角E﹣AC﹣D的正切值．參考答案：【分析】（法一）（1）由題意可知，翻折后的圖中SA⊥AB①，易證BC⊥SA②，由①②根據(jù)直線與平面垂直的判定定理可得SA⊥平面ABCD；（2）（三垂線法）由考慮在AD上取一點(diǎn)O，使得，從而可得EO∥SA，所以EO⊥平面ABCD，過(guò)O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，在Rt△AHO中求解即可（法二：空間向量法）（1）同法一（2）以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，易知平面ACD的法向?yàn)?，求平面EAC的法向量，代入公式求解即可【解答】解法一：（1）證明：在題平面圖形中，由題意可知，BA⊥PD，ABCD為正方形，所以在翻折后的圖中，SA⊥AB，SA=2，四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，因?yàn)镾B⊥BC，AB⊥BC，SB∩AB=B所以BC⊥平面SAB，又SA?平面SAB，所以BC⊥SA，又SA⊥AB，BC∩AB=B所以SA⊥平面ABCD，（2）在AD上取一點(diǎn)O，使，連接EO因?yàn)?，所以EO∥SA因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以EO⊥平面ABCD，過(guò)O作OH⊥AC交AC于H，連接EH，則AC⊥平面EOH，所以AC⊥EH．所以∠EHO為二面角E﹣AC﹣D的平面角，．在Rt△AHO中，∴，即二面角E﹣AC﹣D的正切值為解法二：（1）同方法一（2）解：如圖，以A為原點(diǎn)建立直角坐標(biāo)系，A（0，0，0），B（2，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），S（0，0，2），E（0，）∴平面ACD的法向?yàn)樵O(shè)平面EAC的法向量為=（x，y，z），由，所以，可取所以=（2，﹣2，1）．所以所以即二面角E﹣AC﹣D的正切值為19.設(shè),函數(shù)，若的解集為，求實(shí)數(shù)的取值范圍（10分）參考答案：（1）當(dāng)時(shí)滿足條件；---------------------------------------------2分（2）當(dāng)時(shí)，解得；------------=----------------------3分（3）當(dāng)時(shí)，對(duì)稱軸，，解得，------------3分綜上--------------------------------------------------------------2分20.已知橢圓C：+=1（a＞b＞0），經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），離心率e=．（1）求橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）過(guò)點(diǎn)Q（0，）的直線與橢圓交于A、B兩點(diǎn)，與直線y=2交于點(diǎn)M（直線AB不經(jīng)過(guò)P點(diǎn)），記PA、PB、PM的斜率分別為k1、k2、k3，問(wèn)：是否存在常數(shù)λ，使得+=？若存在，求出λ的值：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．參考答案：【考點(diǎn)】KH：直線與圓錐曲線的綜合問(wèn)題．【分析】（1）由已知條件設(shè)橢圓C的方程為，再由橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），能求出橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．（2）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，有，λ=2；當(dāng)直線AB斜率k存在時(shí)，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：，則，聯(lián)立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，利用韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能推導(dǎo)出，故存在常數(shù)λ=2符合題意．【解答】解：（1）∵橢圓C：+=1（a＞b＞0），離心率e=，∴，，∴a2=4b2，∴橢圓方程為，∵橢圓經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（，），∴，解得b2=1，∴橢圓C的標(biāo)準(zhǔn)方程．…（2）當(dāng)直線AB斜率不存在時(shí)，，有，∴λ=2，…當(dāng)直線AB斜率k存在時(shí)，由已知有k≠0，設(shè)A（x1，y1），B（x2，y2），設(shè)直線AB：，則，…聯(lián)立，得（1+4k2）x2+4kx﹣3=0，∴…∴=，…∵…∴，∴λ=2，故存在常數(shù)λ=2符合題意．…21.等比數(shù)列的首項(xiàng)，前n項(xiàng)和為，且且數(shù)列各項(xiàng)均為正數(shù).

(1)求的通項(xiàng)；(2)求的前n項(xiàng)和.參考答案：解：（Ⅰ）由

得

Ks5u即可得因?yàn)椋?/p>

解得，因而