2018屆數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)瘋狂專練9立體幾何理VIP

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精PAGEPAGE16學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精立體幾何一、一、選擇題（5分/題）1．［2017·銅梁一中]右圖為一正方體的平面展開圖，在這個(gè)正方體中，有下列四個(gè)命題:①//； ②與成角；③與成異面直線且； ④與面所成角為．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】將正方體紙盒展開圖還原成正方體，如圖知與不平行，故①錯(cuò)誤;連接、,將平移到，則與成角，故②正確;同理與成角，故③錯(cuò)誤；與面所成角不為,故④錯(cuò)誤，綜上可得只有②正確，故選A．2．［2017·天水一中］設(shè)是兩條不同的直線，是三個(gè)不同的平面，給出下列四個(gè)命題，其中正確命題的序號(hào)是(）①若,則； ②若，則;③若，則； ④若，則．A．①② B．②③ C．③④ D．①④【答案】A【解析】①可以作為線面垂直的性質(zhì)定理，①正確;②在時(shí),有，又，得，②正確；③在時(shí)，可能相交，可能異面,也可能平行，③錯(cuò)誤；④把門繞軸旋轉(zhuǎn)，它在每一個(gè)位置都與地面垂直，但門所在的各個(gè)位置并不垂直，④錯(cuò)誤，故選A．3．[2017·福建聯(lián)考]已知矩形，，，將沿矩形的對(duì)角線所在的直線進(jìn)行翻折,在翻折過程中（)A．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直B．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直C．存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直D．對(duì)任意位置，三對(duì)直線“與”，“與”，“與"均不垂直【答案】C【解析】如圖，，，依題意，,，，．A,若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，則∵,∴平面,從而,這與已知矛盾，排除A;B，若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，則平面，從而平面平面，即在底面上的射影應(yīng)位于線段上，這是不可能的，排除B；C，若存在某個(gè)位置，使得直線與直線垂直，則平面，平面平面，取中點(diǎn)，連接,則，∴就是二面角的平面角，此角顯然存在，即當(dāng)在底面上的射影位于的中點(diǎn)時(shí)，直線與直線垂直，故C正確；D，由上所述，可排除D；故選C．4．［2017·河西南師大附中］已知三棱錐中，，，面，，點(diǎn)、分別在、上，使面，且，則平面與平面所成的二面角的正弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】略．5．[2017·臺(tái)州中學(xué)］如圖1，在等腰中，,,分別是上的點(diǎn)，，為的中點(diǎn)．將沿折起，得到如圖2所示的四棱錐．若平面,則與平面所成角的正弦值等于（）A． B． C． D．【答案】B【解析】過作與點(diǎn)，連接，可知即為與平面所成角．,，．,．在中，．即與平面所成角的正弦值為．故B正確．6．［2017·江淮十校]如圖,正四面體中，、分別是棱和的中點(diǎn)，則直線和所成的角的余弦值為（）A． B． C． D．【答案】B【解析】如圖所示，作底面，垂足為，為底面等邊的中心，建立空間直角坐標(biāo)系．不妨取，則：,設(shè)點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則：，，,．利用空間向量求解余弦值有:．∴異面直線AE與CF所成角的余弦值為．7．［2017·邢臺(tái)一中]已知三棱錐中，，,且各頂點(diǎn)均在同一個(gè)球面上，則該球的體積為(）A． B． C． D．【答案】A【解析】四棱錐四個(gè)頂點(diǎn)都在底面邊長為，高為的長方體的頂上，故棱錐的外接球也是長方體的外接球，球的半徑，，故選A．8．［2017·橫峰中學(xué)］在等邊中，在上運(yùn)動(dòng),在上運(yùn)動(dòng)，,將沿折起使二面角的平面角為,當(dāng)四棱錐體積最大時(shí)，等于（)A． B． C． D．【答案】B【解析】設(shè),，則，∴，設(shè)的中點(diǎn)為，則，∵二面角的平面角為，∴,∴,∴當(dāng)時(shí)，四棱錐體積取得最大值，∴,故選B．9．［2017·安陽模擬]北宋數(shù)學(xué)家沈括的主要數(shù)學(xué)成就之一為隙積術(shù)，所謂隙積，即“積之有隙”者，如果棋、層壇之類,這種長方臺(tái)形狀的物體垛積．設(shè)隙積共層,上底由個(gè)物體組成,以下各層的長、寬一次各增加一個(gè)物體，最下層（即下底）由個(gè)物體組成，沈括給出求隙積中物體總數(shù)的公式為．已知由若干個(gè)相同小球粘黏組成的幾何體垛積的三視圖如圖所示，則該垛積中所有小球的個(gè)數(shù)為（)A．83 B．84 C．85 D．86【答案】C【解析】從題設(shè)及三視圖中所提供的圖形信息和數(shù)據(jù)信息可知,代入公式，應(yīng)選答案C．10．［2017·嘉興一中］正方體中,點(diǎn)在上運(yùn)動(dòng)（包括端點(diǎn)），則與所成角的取值范圍是(）A． B． C． D．【答案】D【解析】以點(diǎn)為原點(diǎn)，、、分別為建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)正方體棱長為，設(shè)點(diǎn)坐標(biāo)為，則，設(shè)的夾角為，所以，所以當(dāng)時(shí),取最大值．當(dāng)時(shí)，取最小值．因?yàn)椋蔬xD．11．[2017南昌二中］如圖，已知正方體的棱長為，動(dòng)點(diǎn)在此正方體的表面上運(yùn)動(dòng)，且，記點(diǎn)的軌跡的長度為，則函數(shù)的圖像可能是（）A． B． C． D．【答案】B【解析】的軌跡為以為球心，為半徑的球面與正方體的交線，當(dāng)時(shí)，,此時(shí)由一次函數(shù)的單調(diào)性和圖象可知軌跡為直線，排除C，D，當(dāng)時(shí)，其軌跡長度為，排除A，故選B．12．[2017·江西質(zhì)檢］如圖所示，正方體的棱長為1，，分別是棱，的中點(diǎn)，過直線的平面分別與棱，交于，，設(shè)，,給出以下命題：①四邊形為平行四邊形；②若四邊形面積,，則有最小值；③若四棱錐的體積，，則為常函數(shù);④若多面體的體積,，則為單調(diào)函數(shù)．⑤當(dāng)時(shí)，四邊形為正方形．其中假命題的個(gè)數(shù)為（）A．0 B．3 C．2 D．1【答案】D【解析】對(duì)①，因?yàn)槠矫嫫矫?平面平面，平面平面，所以，同理，所以四邊形為平行四邊形，正確；對(duì)②，因?yàn)槠矫?，，所以平面，平?所以，所以四邊形面積，因?yàn)闉槎ㄖ担援?dāng)分別為,的中點(diǎn)時(shí)有最小值，正確；對(duì)③，，因?yàn)闉槎ㄖ?，到平面的距離為定值，所以的體積為定值，即為常函數(shù)，正確；對(duì)④，如圖：過作平面平面，分別交，，于,則多面體的體積,而，，,所以,常數(shù)，錯(cuò)誤；對(duì)⑤，當(dāng)時(shí),四邊形為正方形正確；故選D．二、二、填空題（5分/題）13．[2017·交大附中］如圖，在直三棱柱中，，，已知與分別是棱和的中點(diǎn)，與分別是線段與上的動(dòng)點(diǎn)（不包括端點(diǎn))．若，則線段的長度的取值范圍是__________．【答案】【解析】如圖,以為原點(diǎn),，，分別為，，軸建立空間直角坐標(biāo)系，，，，,∵,∴,，當(dāng)時(shí)，,當(dāng)時(shí)，（不包含端點(diǎn)，故不能?。?,∴長度取值為．14．[2017·黃山模擬］已知兩個(gè)等高的幾何體在所有等高處的水平截面的面積相等，則這兩個(gè)幾何體的體積相等．橢球體是橢圓繞其軸旋轉(zhuǎn)所成的旋轉(zhuǎn)體．如圖,將底面直徑皆為，高皆為的橢半球體及已被挖去了圓錐體的圓柱體放置于同一平面上．以平行于平面的平面于距平面任意高處可橫截得到及兩截面，可以證明總成立．則短軸長為,長軸為的橢球體的體積為_____．【答案】【解析】根據(jù)題意可得：橢半球體的體積等于圓柱截去圓錐所剩下部分的體積，所以橢半球體體積為，故橢球體的體積為．15．[2017·名族中學(xué)]已知正四面體的棱長為，為棱的中點(diǎn),過作其外接球的截面,則截面面積的最小值為__________．【答案】【解析】將四面體放置于正方體中,可得正方體的外接球就是四面體的外接球，∵正四面體的棱長為，∴正方體的棱長為，可得外接球半徑滿足,解得，為棱的中點(diǎn)，過作其外接球的截面，當(dāng)截面到球心的距離最大時(shí)，截面圓的面積取最小值，此時(shí)球心到截面的距離等于正方體棱長的一半,可得截面圓的半徑為,得到截面圓的面積最小值為．16．［2017·鷹潭一中]在正四棱錐內(nèi)有一半球,其底面與正四棱錐的底面重合,且與正四棱錐的四個(gè)側(cè)面相切，若半球的半徑為，則當(dāng)正四棱錐的體積最小時(shí),其高