北京市海淀區(qū)2021-2022學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試卷(含詳解)

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)師達(dá)中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷

（12月份）

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)

1.如圖，將給出的四張撲克牌擺成第一行的樣子，然后將其中的一張撲克牌旋轉(zhuǎn)180。成第二行的樣子，那

么被旋轉(zhuǎn)過(guò)的那張撲克牌應(yīng)該是從左數(shù)（）

C.第三張D.第四張

2.二次函數(shù)^=奴2+法+。的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

B.b>0C.c>0D.

3.拋物線y=f+4x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（）

A.(2,5)B.(2,1)C.(-2,5)D.(-2,1)

4.如圖，在測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中,小達(dá)同學(xué)在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子

中看到旗桿的頂部.若眼睛距離地面A3=1.5米，同時(shí)量得BC=2米，CD=10米，則旗桿高度ZJE為

E

()

A.7.5米B.一米C.7米D.9.5米

3

5.如圖，在AABC中，D、E兩點(diǎn)分別在A3、AC邊上，DE//BC.若DE:BC=2:3,則

6.如圖，PA和PB是。0的切線，點(diǎn)A和B的切點(diǎn)，AC是。0的直徑，已知NP=50°,則NACB的大

相關(guān)數(shù)據(jù)CD=10m,a=45。，4=50。

設(shè)鐵塔頂端到地面的高度房為xm,根據(jù)以上條件，可以列出的方程為（）

A.x=(x-10)tan50°B,x=(%-10)cos50°

C.x-10=xtan50°D.x=(x+10)sin50°

8.如圖，過(guò)半徑為6的。O上一點(diǎn)A作。O的切線P為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)H,連接

%.如果以=x,AH=y,那么下列圖象中，能大致表示y與x的函數(shù)關(guān)系的是（）

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處.若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△ACE,則tan8

將半徑為2cm的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心0,則折痕A8的長(zhǎng)

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，^ABC與4A'B'C'頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整

數(shù).若aABC與aA'B'C是位似圖形，則位似中心的坐標(biāo)是

12.拋物線）=涓+次+c對(duì)稱(chēng)軸為41,點(diǎn)P,點(diǎn)。是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)尸的坐標(biāo)為（3,

0）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

13.如圖，將矩形4BC。沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在的F處，若A8：BC=2：3,則cos/OCF值為=

△ABC中，點(diǎn)。在邊A3上，且NACZ)=NABC,若AC=J5，4)=1,

則OB的長(zhǎng)為.

15如圖，點(diǎn)E在回A8CC的邊CO的延長(zhǎng)線上，連接8E分別交A。、AC于尸、

G.圖中相似的兩個(gè)三角形共有.對(duì).

若關(guān)于x的一元二次方程一f+4x—/=（）（，為實(shí)數(shù)）在1<%<5

的范圍內(nèi)有解，則，的取值范圍是.

三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分；第22題6分，第23題5分，第24-26題,

每題6分；第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程17.計(jì)算:

8sin2600-4sin30°cos45°+遙tan30°.

18.如圖，把一副三角板如圖甲放置，其中/ACB=/OEC=90°,乙4=45°,/。=30°,斜邊AB=

6cm,DC=7cm,把三角板。CE繞點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△DCE（如圖乙）.這時(shí)AB與C。'相交于點(diǎn)

O,O'E與AB相交于點(diǎn)凡求線段4。的長(zhǎng).

19.下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)

己知：如圖,。。及。。上一點(diǎn)P.

求作：過(guò)點(diǎn)P的。。的切線.

作法：如圖，作射線OP；

①在直線OP外任取一點(diǎn)A,以A為圓心，AP為半徑作。A,與射線0P交于另一點(diǎn)B；

②連接并延長(zhǎng)BA與。A交于點(diǎn)C；

③作直線PC；

則直線PC即為所求.根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明:

證明：BC是。A的直徑，

NBPC=90°（填推理依據(jù)）.

OP1PC.

又；0P是。O的半徑，

PC是OO的切線（填推理依據(jù)）.

20.如圖，AABC中，ZA=30°,AC=2百，tan8=走，求A3的

2

21.補(bǔ)圖并證明.如圖NA="=90°,AB^AC，DE=DC,連接A。、BE,求證:

△ACDsMCE.

22.如圖，AB，CO均為同圓中的兩條弦，且AB_LCD.

（1）判斷AC+B。與BC+AO關(guān)系（)

D

B

A.AC+BD>BC+ADB.AC+BD=BC+AD

C.AC+BD<BC+ADD.以上三種情況均有可能

（2）若點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，連接正并延長(zhǎng)交8c于點(diǎn)求證：EH1BC

23.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面寬為4米時(shí)，拱頂距離水面2米；當(dāng)水面高度下降1米時(shí)，水面寬度為

多少米？請(qǐng)你以點(diǎn)。為原點(diǎn)、A3所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題.

已知:△ABC中,

r）p1AF

AD為上中線，點(diǎn)E在A。上,且匕=上，射線CE交于點(diǎn)尸.求竺的值.

AE3FB

如圖，在△ABC中，NC=90°,點(diǎn)E在AB上，以AE為直徑的。。

平分/BAC；

（2）若。。的半徑為5,sinZDAC=y,求8。的長(zhǎng).

26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線產(chǎn)以斗（1-2〃）x-2（存0）與y軸交于點(diǎn)C.

8

7

6

5,

4

3

（1）當(dāng)。=1時(shí)，該拋物線與X軸的兩個(gè)交點(diǎn)為

8-7-6-5-43-2-1?12345678工

-11

6

A,B（點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)），求點(diǎn)A,B的坐標(biāo);

（2）若該拋物線與（1）中的線段A8總有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求。的取值范圍.27.如圖1,

在正方形ABCO中，點(diǎn)F在邊BC上，過(guò)點(diǎn)F作EFLBC,且FE=FC（CEVCB）,連接CE、AE,點(diǎn)G是

AE的中點(diǎn)，連接FG.

（1）用等式表示線段BF與

圖2

（2）將圖1中的ACEF繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使△（7￡下的頂點(diǎn)尸恰好在正方形A8CD的對(duì)角線AC上，

點(diǎn)G仍是AE的中點(diǎn)，連接FG、DF.

①在圖2中，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段DF與FG的數(shù)量關(guān)系并證明.

28.在平面直角坐標(biāo)系X。），中，對(duì)于P,。兩點(diǎn)給出如下定義：若點(diǎn)P到兩坐標(biāo)軸的距離之和等于點(diǎn)。到

兩坐標(biāo)軸的距離之和，則稱(chēng)P,Q兩點(diǎn)為同族點(diǎn).如圖P,。兩點(diǎn)即為同族點(diǎn).

(1)已知點(diǎn)A

的坐標(biāo)為(-3,1),點(diǎn)B在x軸上，且A,B兩點(diǎn)為同族點(diǎn)，則點(diǎn)B的坐標(biāo)為；

(2)直線/：y=x-3,與x軸交于點(diǎn)C,與y軸交于點(diǎn)。，

①M(fèi)為線段8上一點(diǎn)，若在直線》="上存在點(diǎn)N,使得M,N兩點(diǎn)為同族點(diǎn)，求”的取值范圍；

②M為直線/上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若以(加,0)為圓心，、反為半徑的圓上存在點(diǎn)N,使得N兩點(diǎn)為同族

點(diǎn)，直接寫(xiě)出〃?的取值范圍.

2021-2022學(xué)年北京市海淀區(qū)師達(dá)中學(xué)九年級(jí)（上）月考數(shù)學(xué)試卷

（12月份）

一、選擇題（共16分，每題2分）第1-8題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)

1.如圖，將給出的四張撲克牌擺成第一行的樣子，然后將其中的一張撲克牌旋轉(zhuǎn)180。成第二行的樣子，那

么被旋轉(zhuǎn)過(guò)的那張撲克牌應(yīng)該是從左數(shù)（）

C.第三張D.第四張

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，找出四張牌中成中心對(duì)稱(chēng)的一張即可.

【詳解】解：被旋轉(zhuǎn)過(guò)的1張牌是從左數(shù)第二張牌.理由如下：

第一張牌，因?yàn)樽钪虚g的圖案不是中心對(duì)稱(chēng)，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

第二張牌是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

第三張牌，因?yàn)樽钪虚g只有一張，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

第四張牌，因?yàn)樽钪虚g圖案不是中心對(duì)稱(chēng)，所以不是中心對(duì)稱(chēng)圖形，

?.?將其中的1張牌旋轉(zhuǎn)180。成第二行的樣子，

被旋轉(zhuǎn)過(guò)的1張牌是從左數(shù)第二張.

故選B

【點(diǎn)睛】本題考查的是中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義，掌握“中心對(duì)稱(chēng)圖形的定義”是解本題的關(guān)鍵.

2.二次函數(shù),=必2+辰+。的圖象如圖所示，則下列說(shuō)法正確的是（）

C.c>0D.b2-4ac>0

【答案】D

【解析】

【分析】利用拋物線開(kāi)口方向可對(duì)A選項(xiàng)進(jìn)行判斷；利用對(duì)稱(chēng)軸位于x軸正半軸，則可對(duì)B選項(xiàng)進(jìn)行判

斷；利用拋物線與），軸的交點(diǎn)位置可對(duì)c選項(xiàng)錯(cuò)誤；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)數(shù)，可對(duì)D選項(xiàng)進(jìn)行判斷.

【詳解】解：?.?拋物線開(kāi)口向上,

。>0,所以A選項(xiàng)錯(cuò)誤;

對(duì)稱(chēng)軸位于x軸正半軸,

b

------>0,a>0,

la

b<0,所以B選項(xiàng)錯(cuò)誤;

拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上,

c<0,所以C選項(xiàng)錯(cuò)誤;

拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn),

^b2-4ac>0,所以D選項(xiàng)正確.

故選：D.

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系：對(duì)于二次函數(shù)）=以2+云+c6川），二次項(xiàng)系數(shù)〃決定拋

物線的開(kāi)口方向和大小.當(dāng)”>0時(shí)，拋物線向上開(kāi)口；當(dāng)。<0時(shí)，拋物線向下開(kāi)口；一次項(xiàng)系數(shù)b和二

次項(xiàng)系數(shù)。共同決定對(duì)稱(chēng)軸的位置.當(dāng)。與6同號(hào)時(shí)（即必>0）,對(duì)稱(chēng)軸在y軸左；當(dāng)a與b異號(hào)時(shí)（即

ab<0\對(duì)稱(chēng)軸在y軸右.常數(shù)項(xiàng)c決定拋物線與y軸交點(diǎn)位置：拋物線與y軸交于（0,c）.拋物線與x

軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)由決定：/=廬4次;>0時(shí)，拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)；/=墳4/。=0時(shí)，拋物線與x軸

有1個(gè)交點(diǎn)；/=ZA4acV0時(shí)，拋物線與x軸沒(méi)有交點(diǎn).

3.拋物線y=f+4x+5的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（)A.(2,5)B.(2,1)C.

2,5)D.(-2,1)

【答案】D

【解析】

【分析】利用頂點(diǎn)公式(-=,竺JL),進(jìn)行解題.

2a4a

【詳解】解：；拋物線y=x2+4x+5

b

.x=-=-2,產(chǎn)也二2=1

2a24〃

???頂點(diǎn)為(-2,1)

故選：D.

【點(diǎn)睛】此題主要考查二次函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，解題的關(guān)鍵是熟知二次函數(shù)的頂點(diǎn)公式為(-2,

2a

4ac-b2)

-?

4.如圖，在測(cè)量旗桿高度的數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小達(dá)同學(xué)在腳下放了一面鏡子，然后向后退，直到他剛好在鏡子

中看到旗桿的頂部.若眼睛距離地面A5=L5米，同時(shí)量得BC=2米，CD=10米，則旗桿高度。石為

()

E

/'弋

40

，/A.7.5米B.一米C.7米D.9.5米

一'3

【答案】A

【解析】

【分析】由平面鏡反射可得：ZACB=NDCE,再證明AABCSAEOC,再利用相似三角形的性質(zhì)可得答

案.

【詳解】解：由平面鏡反射可得：ZACB=ZDCE,

Q1ABC?EDC90?,\VABCSVEOC,\空=史，...AB=1.5米，3C=2米，8=10米,

DECD

152

\——二解得：DE=75,經(jīng)檢驗(yàn)：符合題意，

?.?旗桿高度OE為7.5米.

故選A

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的應(yīng)用，掌握“利用相似三角形的性質(zhì)列方程求解”是解本題的關(guān)鍵.

5.如圖，在AABC中，D、E兩點(diǎn)分別在A3、AC邊上，DE//BC.若DE:BC=2:3,則

C.9:4D.4:9

【答案】D

【解析】

【分析】由。七〃證明△ADESAABC,再利用相似三角形的性質(zhì)可得答案.

【詳解】解：DE//BC

4

..^ADE^^ABC,\故選D

9

【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握“相似三角形的面積之比等于相似比的平方”是解

本題的關(guān)鍵.

6.如圖，PA和PB是。0的切線，點(diǎn)A和B的切點(diǎn)，AC是。O的直徑，已知/P=50°,則/ACB的大

小是（）

B.60°C.55°D.50°

【答案】A

【解析】

【詳解】分析：由PA、PBIO的切線內(nèi)得NOAP=NOBP=90。,根據(jù)四邊形內(nèi)角和，求出/AOB,再根據(jù)圓周

角定理即可求/ACB的度數(shù).

詳解：連接OB,如圖，

VPA,PB是。。的切線,

/.OA1PA,OB±PB,

ZOAP=ZOBP=90",

ZAOB=360°-90°-90°-50°=130°,

,/OB=OC,

.".ZOCB=ZOBC,

而ZAOB=ZOCB+ZOBC,

.".ZOCB=1X130°=65°,

即/ACB=65°.

本題考查了切線的性質(zhì)，圓周角定理，解決本題的關(guān)鍵是連接0B,利用直徑對(duì)的

圓周角是直角來(lái)解答.

設(shè)鐵塔頂端到地面的高度FE為切1,根據(jù)以上條件，可以列出的方程為()A%=(x-10)tan50°

B.x=(x-10)cos50°

C.x-10=xtan50°D,x=(x+10)sin50°

【答案】A

【解析】

EF

【分析】由a=45°得DH=FH=CE,故在Rtz\EFC中使用tan5()°=—即可列出方程.

CE

【詳解】?.?a=45°,，DH=FH,

貝!JFH=CE,

設(shè)FE為x,CE=x-10,

EFx

在RtAEFC,tan5()°=—=-----

CEx-10

BPx=(x-10)tan50°,選A.

【點(diǎn)睛】此題主要考察三角函數(shù)的應(yīng)用.

8.如圖，過(guò)半徑為6的。。上一點(diǎn)A作。。的切線P為。。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，作于點(diǎn)H,連接

PA.如果B4=x,AH=y,那么下列圖象中，能大致表示丁與X的函數(shù)關(guān)系的是()

【答案】C

【解析】

【詳解】解：作直徑AB,連接BP.

,ZAPB=90°,

/8+/BA尸=90。，

?；/是切線，

NBAH=90。,

：.ZPAH+ZBAP=90°,

：.ZPAH=ZB,'：PH1.AH,

：.ZBPA^ZAHP=9Q°,

：.MABBs△PHA,

：.AB：AP=PA：PH,

12：x=x：yjx2-y2>

"?y=t36—(6----)~>

觀察圖象，只有C符合，故選C.

二、填空題（共16分，每題2分）

9.如圖，A、B、C三點(diǎn)在正方形網(wǎng)格線的交點(diǎn)處.若將△ACB繞著點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△4CB，，則tanB，

1

3

【解析】

【分析】過(guò)C點(diǎn)作垂足為。，根據(jù)旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，把求tan夕的問(wèn)題，轉(zhuǎn)化為在

RtASCZ）中求tanB.

【詳解】解：過(guò)C點(diǎn)作垂足為。.

BD33

故答案為：—.

3

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)后對(duì)應(yīng)角相等；三角函數(shù)的定義及三角函數(shù)值的求法.

10.如圖，將半徑為257的圓形紙片折疊后，圓弧恰好經(jīng)過(guò)圓心。，則折痕的長(zhǎng)為<

【答案】2月

【解析】

【分析】在圖中構(gòu)建直角三角形，先根據(jù)勾股定理得A。的長(zhǎng)，再根據(jù)垂徑定理得A8的長(zhǎng).

【詳解】解：作于D,連接OA.

o

片丁、尸艮據(jù)題意得：如pg。

再根據(jù)勾股定理得：ADfcm,

根據(jù)垂徑定理得：AB=26cm.

故答案為：2百.

【點(diǎn)睛】本題考查了翻折變換（折疊問(wèn)題），勾股定理以及垂徑定理.注意由題目中的折疊即可發(fā)現(xiàn)。外

1

-04=1.

2

11.如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，AABC與AA'B'C'頂點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)都是整數(shù).若AABC與

【答案】（8,0）

【解析】

【分析】

【詳解】位似圖形的主要特征是：每對(duì)位似對(duì)應(yīng)點(diǎn)與位似中心共線.

解：直線AA，與直線BB，的交點(diǎn)坐標(biāo)為（8,0）,所以位似中心的坐標(biāo)為（8,0）.

故答案為（8,0）.

“點(diǎn)睛”本題考查位似中心的找法，各對(duì)應(yīng)點(diǎn)所在直線的交點(diǎn)即為位似中心.

12.拋物線）=五+公+。的對(duì)稱(chēng)軸為41,點(diǎn)P,點(diǎn)。是拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3,

0）,則點(diǎn)。的坐標(biāo)為.

【答案】（-1.0）

【解析】

【分析】根據(jù)拋物線的對(duì)稱(chēng)軸結(jié)合點(diǎn)尸的橫坐標(biāo)，即可求出點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)，此題得解.

【詳解】解：???拋物線的對(duì)稱(chēng)軸為直線X=l,點(diǎn)P的坐標(biāo)為(3,0),

???點(diǎn)Q的橫坐標(biāo)為1x2-3=-1,

.?.點(diǎn)。的坐標(biāo)為(-1,0).

故答案為：(-1,0).

【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線與x軸的交點(diǎn)以及二次函數(shù)的性質(zhì)，牢記拋物線的對(duì)稱(chēng)性是解題的關(guān)鍵.

13.如圖，將矩形ABCD沿CE折疊，點(diǎn)B恰好落在AO的尸處，若48：BC=2：3,則cos/QCF值為=

【分析】由四邊形A8C。是矩形，AB：BC=2：3,設(shè)AB=2,w,則8C=3m,可得CF=3〃i,從而解決問(wèn)

題.

【詳解】解：???四邊形ABC。是矩形，AB：BC=2：3,

設(shè)A8=2〃3則8c=3〃?，

：.AB=CD=2m,AD=BC=CF=3m,ZD=90°,

DC2m_2

cosZDCF=-----

FC3m3

2

故答案為：—.

【點(diǎn)睛】本題考查翻折變換(折疊問(wèn)題)，翻折對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義，解題關(guān)鍵是

掌握翻折對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)定義.

14.如圖，AABC中，點(diǎn)。在邊A3上，且NAC￡)=NA6C,若AC=石，AD=\，則。3的長(zhǎng)為

【答案】2

【分析】由NAC6N4BC、NA=NA,即可得出△A8CsZMC￡>,根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得出

ADAC

—=——，代入AC、的值可求出AB的長(zhǎng)，再根據(jù)即可求出結(jié)論.

ACAB

【詳解】解：'：ZACD=ZABC,N4=NA,

△ABCs”。。,

.ADAC

AC-AB'

，：AC=6AD=l,

.1_V3

??———,

6AB

：.AB=3,

：.BD=AB-AD=3-l^2.

故答案為2

【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，牢記相似三角形的判定定理是解題的關(guān)鍵.15.如圖，點(diǎn)

E在團(tuán)ABCD的邊CD的延長(zhǎng)線上，連接BE分別交A。、AC于F、G.圖中相似的兩個(gè)三角形共有

對(duì).

【解析】

【分析】根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定方法進(jìn)行分析即可.

詳解】解：?.SBC。是平行四邊形

：.AD//BC,AB//DC

V/\ABG^/\CEG,△AGFs^CGB,AEFD^AEBC,^ABF^/\DEF,△ABfsaEBC五對(duì)，還有一

對(duì)特殊的相似即AABC也△AQC,

.?.共6對(duì).

故答案為：6.

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)及相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形的判斷方

法，屬于中考?？碱}型.

16.若關(guān)于x的一元二次方程一f+4x-，=0（「為實(shí)數(shù)）在1<%<5的范圍內(nèi)有解，則/的取值范圍是

【答案】-5</<4

【解析】

【分析】由方程有解轉(zhuǎn)化為考查函數(shù)丁=-爐+4無(wú),丁=/兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)情況，再畫(huà)出兩個(gè)函數(shù)的圖象,

結(jié)合函數(shù)圖象可得答案.

【詳解】解：：一f+4xT=0

\-“2+4x=/考查函數(shù)）=-*2+4x,y=t兩個(gè)函數(shù)的交點(diǎn)情況，如圖,

當(dāng)x=5時(shí)，y=-25+4?5-5,

*'?當(dāng)l<x<5,兩個(gè)函數(shù)y=-x?+4x,y=/有交點(diǎn)時(shí)，

此時(shí)-5<r<4,

關(guān)于x的一元二次方程一丁+4》_「=0（，為實(shí)數(shù)）在l<x<5的范圍內(nèi)有解，則1的取值范圍是

-5</<4.

故答案為：-5<r<4.

【點(diǎn)睛】本題考查是二次函數(shù)的圖象與一元二次方程的聯(lián)系，掌握“利用二次函數(shù)的圖象解決一元二次

方程的解的問(wèn)題”是解本題的關(guān)鍵.

三、解答題（共68分，第17-21題，每題5分；第22題6分，第23題5分，第24-26題，

每題6分；第27-28題，每題7分）解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、演算步驟或證明過(guò)程

17.計(jì)算：8sin2600-4sin30°cos450+V6tan300.

【答案】6

【解析】

【分析】先分別求解特殊角的三角函數(shù)值，再代入計(jì)算即可.

【詳解】解：8sin2600-4sin30°cos45°+76tan30°

=8?鬻4倉(cāng)專(zhuān)曰+#？孝=6-、6+夜=6【點(diǎn)睛】本題考查的是特殊角的三角函數(shù)值的記

憶與運(yùn)算，熟練的運(yùn)用特殊角的三角函數(shù)值進(jìn)行計(jì)算是解本題的關(guān)鍵.18.如圖，把一副三角板如圖甲放

置，其中NACB=NOEC=90°,ZA=45°,ZD=30°,斜邊AB=6aw,DC=7cm,把三角板。CE繞

點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到△OCE（如圖乙）.這時(shí)AB與C。相交于點(diǎn)0,與AB相交于點(diǎn)凡求線段

A。的長(zhǎng).

【分析】由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得/￡>'CE=60°,ZBCE'=15°,可求NCOB=90°,由等腰直角三角形的性

質(zhì)可求4O=CO=8O=3a”，由勾股定理可求解.

【詳解】解：???/ACB=/￡?EC=90°,NA=45°,Z￡>=30°,

/.ZZ）CE=60°,ZB=450

???把三角板DCE繞點(diǎn)、C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)15°得到

：.ZD'CE'=60°,ZBCF=15°,

：.ZOCB=45°,

又：NB=45°,

ZCOB=90°,

又???△AC8是等腰直角三角形，

.,.AO=CO=BO=3cin,

D'O—4cm,

'-AD'=^ACr+iyOr=532+42=5c/n.

【點(diǎn)睛】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，直角三角形的性質(zhì)，等腰直角三角形的性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，靈活運(yùn)

用這些性質(zhì)解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵.

19.下面是小元設(shè)計(jì)的“過(guò)圓上一點(diǎn)作圓的切線”的尺規(guī)作圖過(guò)程.

己知：如圖，。0及。O上一點(diǎn)P.

求作：過(guò)點(diǎn)P的。o的切線.

作法：如圖，作射線OP；

①在直線OP外任取一點(diǎn)A,以A為圓心，AP為半徑作OA,與射線OP交于另一點(diǎn)B；

②連接并延長(zhǎng)BA與。A交于點(diǎn)C；

③作直線PC；

則直線PC即為所求.根據(jù)小元設(shè)計(jì)的尺規(guī)作圖過(guò)程，

（1）使用直尺和圓規(guī)，補(bǔ)全圖形；（保留作圖痕跡）

（2）完成下面的證明：

證明：：BC是。A的直徑，

NBPC=90°（填推理依據(jù)）.

/.OP1PC.

又,:0P是。0的半徑，

PC是O0的切線（填推理依據(jù)）.

【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）直徑所對(duì)的圓周角是直角；過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線

【解析】

【分析】（1）根據(jù)題意作出圖形即可；

（2）根據(jù)圓周角定理得到/BPC=90。，根據(jù)切線的判定定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：（D補(bǔ)全圖形如圖所示，則直線PC即為所求；

（2）證明：：BC是OA的直徑,

圖2

/.ZBPC=90°（圓周角定理），

AOPIPC.

又YOP是。O的半徑，

；.PC是。。的切線（切線的判定）.

故答案為：圓周角定理；切線的判定.

【點(diǎn)睛】本題考查了切線的判定，圓周角定理，正確的作出圖形是解題的關(guān)鍵.20.如圖，AABC中,

NA=30°,AC=20，tan5=—,求A8的長(zhǎng).

2

【答案】5

【解析】

【分析】過(guò)點(diǎn)C作CCAB于Q,利用30。角所對(duì)的直角邊等于斜邊的一半求出CQ,然后根據(jù)勾股定理

求出AO==3,最后根據(jù)NB的正切值求出80，即可得解.

【詳解】解：如圖所示，過(guò)點(diǎn)C作CDLA8于點(diǎn)。，

二/A￡>C=/BDC=90°

VZA=30°,AC=2日

：.CD=-AC=y/3,

2

AD=y/AC2-CD2=3

??55=0=正，

BD2

：.BD=2,

：.AB=AD+BD=5.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了解直角三角形，勾股定理和含30度直角三角形的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是作輔助線構(gòu)

造出兩個(gè)直角三角形.

21.補(bǔ)圖并證明.如圖NA=NZ)=90°,AB=AC,DE=DC,連接A。、BE,求證:

△ACDs叢BCE.

E

【答案】證明見(jiàn)解析

【解析】

4rRC'

【分析】先證明？ACB?DCE45?,BC6AC,CE=6DC,可得--=——，從而可得結(jié)論.

DCEC

【詳解】解：如圖，連接4。,BE,

DE=DC,

\?ACB?DCE45?,5C41AC,CE=41DC,：.ZACD+ZDCB=ZDCB+ZBCE

即NACD=/BCE

、垃

\-AC=-=-DC\4G=+，\VACDSVBCE.【點(diǎn)睛】本題考查的是等腰直角三角形的性質(zhì)，勾

BC2EC9DCEC

股定理的應(yīng)用，相似三角形的判定，掌握“兩邊對(duì)應(yīng)成比例且?jiàn)A角相等的兩個(gè)三角形相似”是解本題的關(guān)

鍵.

22.如圖,A3、CO均為同圓中的兩條弦，且ABLCD.

（1）判斷AC+BO與BC+A。的關(guān)系（）

A.AC+BD>BC+ADB.AC+BD=BC+AD

C.AC+BD<BC+ADD.以上三種情況均有可能

（2）若點(diǎn)尸為的中點(diǎn)，連接EE并延長(zhǎng)交3C于點(diǎn)H,求證：EHd.BC

【答案】（1）B；（2）證明見(jiàn)解析

【解析】

【分析】（1）由證明AC+BD的度數(shù)為：2加0=180?,得到注C,加）組成一個(gè)半圓，則

6C,A￡）也組成一個(gè)半圓，從而可得答案;

(2)由4B_LC。,尸為的中點(diǎn)，證明？AEO90?,FEFO=E4,再證明？?BE”,從而

可得答案.

【詳解】解：(1)-.AB±CD,

\?8?C90?,\用c+加的度數(shù)為：2第0=180?,

即M,加)組成一個(gè)半圓，

\3c,而也組成一個(gè)半圓，

AC+BD^BC+AD>

故選B

(2)?.?A5L8,尸為AO的中點(diǎn),

\7AED90?,FEFD=FA,\?FED?D,?;NB=ND,\?B?FED,Q?AEF?BEH,

\?B?BEH?FED?AEF90?,\?EHB90?,\七"人3C.【點(diǎn)睛】本題考查的是直角三角形

斜邊上的中線等于斜邊的一半，等腰三角形的判定與性質(zhì)，圓周角與弧之間的關(guān)系，熟練的運(yùn)用以上知識(shí)

解題是解題的關(guān)鍵.

23.如圖是拋物線形拱橋，當(dāng)水面寬為4米時(shí)，拱頂距離水面2米；當(dāng)水面高度下降1米時(shí)，水面寬度為

多少米？請(qǐng)你以點(diǎn)。為原點(diǎn)、A3所在直線為x軸建立平面直角坐標(biāo)系，解決這個(gè)實(shí)際問(wèn)題.

時(shí)水面寬度為2指米.

【解析】

【分析】如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，A3所在的直線為x軸建立直角坐標(biāo)系，再根據(jù)坐標(biāo)系得到

A(-2,0),B(2,0),C(0,2),且。為拋物線的頂點(diǎn)，再利用待定系數(shù)法求解拋物線的解析式，求解當(dāng)

丁=-1時(shí)，自變量的值，從而可得答案.

【詳解】解：如圖，以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為*軸建立直角坐標(biāo)系,

結(jié)合題意可得：AB=4,CD=2,

\A(-2,0),6(2,0),C(0,2),且。為拋物線的頂點(diǎn)，設(shè)拋物線為：y=ax2+2,

\4"=-2,.?.a=—L所以拋物線的解析式為：y=--X2+2,

22

當(dāng)水面高度下降1米時(shí)，即y=-1,

\-1%2+2=-1,\》2=6,解得：寧瓜&二飛

所以水面寬度為：瓜-卜4^=2指,

答：水面下降1米，此時(shí)水面寬度為2m米.

【點(diǎn)睛】本題考查的是二次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練的按照要求建立平面直角坐標(biāo)系，并求解二次函數(shù)的解

析式是解本題的關(guān)鍵.

DEI

24.已知：AABC中，AO為8。上的中線，點(diǎn)后在4。上，且——=-,射線CE交A3于點(diǎn)F.求

AE3

AF,,..

----的值.

FB

【解析】

【分析】如圖，過(guò)。作交。產(chǎn)于M,證明VDMESV4F￡,VC￡>"SVC8￡可得:

DM1DM1ra,村上

=一,----=一，從而可得答案.

~AF

3BF2

【詳解】解：如圖，過(guò)。作。交CE于M,

\NDME^NAFEyCDM3CBF=-

AEAF3

\—=-=-,\竺=3.【點(diǎn)睛】本題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握“利用相似三角形

CBBF2BF2

的對(duì)應(yīng)邊成比例建立比例式”是解本題的關(guān)鍵.

25.如圖，在△ABC中，NC=90°,點(diǎn)E在A8上，以AE為直徑的。0切BC于點(diǎn)。，連接40.

(1)求證：平分NBAC；

(2)若0。的半徑為5,sinND4C=g,求8。的長(zhǎng).

20

【答案】(1)見(jiàn)解析(2)BD=—

3

【解析】

【分析】(1)連接0D先依據(jù)平行線的判定定理證明0D〃AC,然后依據(jù)平行線的性質(zhì)和等腰三角形的

性質(zhì)證明N0AO=ND4C,于是可證明AO平分/BAC.

(2)連接E。、0D.由題意可知AE=10.接下來(lái)，在△AD4中，依據(jù)銳角三角函數(shù)的定義可求得的

長(zhǎng)，然后在△AOC中，可求得QC和AC的長(zhǎng)，由。Q〃AC可證明△BOOsaBAC,然后由相似三角形的

性質(zhì)可列出關(guān)于8。的方程.

:.ODLBC,

：.ZODB=90°.

VZC=90°,

：.ZC=ZODB.

：.OD//AC.

：.ZODA=ZDAC.

???OD=OAf

：.ZOAD=ZODA.

：.ZOAD=ZDAC.

???AO平分NAAC.

【小問(wèn)2詳解】

如圖2所示：連接ED

?：ZEAD=ZCADfsinZDAC=—,

5

：.s\nZEAD=—f

5

在放△%￡)￡：中，DE=AExsinZEAD=^-x10=2y/5.

???AD=^AE2-AD2=^102-(2可=46

在?△AQC中，DC=DCXsinZEAD=J^-X475=4,

???AC=NAD?-CD?=#-42=8.

???OD//AC,

:?△BODs/\BAC.

ODBD刖5BD

..-----------，即一二----------，

ACBC8BD+4

解得：BD=—

3

【點(diǎn)睛】本題主要考查的是切線的性質(zhì)、平行線的判定和性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、銳角三角函數(shù)的定

義、相似三角形的判定和性質(zhì)，列出關(guān)于BD的方程是解題的關(guān)鍵.

26.在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)=0^+(1-2〃)x-2(存0)與y軸交于點(diǎn)C.

ay

8

7

6

5，

4

3

2

1(1)當(dāng)。=1時(shí)，該拋物線與元軸的兩個(gè)交點(diǎn)為

-8-7-6-5-4-3-2-1?12345678x

-11

-2

-3

-4-

-5-

-6

7

-8

A,B(點(diǎn)A在點(diǎn)6左側(cè))，求點(diǎn)A,8的坐標(biāo)；

(2)若該拋物線與(1)中的線段A8總有兩個(gè)公共點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)的圖象，求〃的取值范圍.

【答案】(1)4(-L0),B(2,0)；(2)a的取值范圍為色1或

2

【解析】

【分析】U)先由”=1得到拋物線解析式；解方程1*2=0得A(-1,0),B(2,0)；

(2)先判斷拋物線嚴(yán)加+(1-2。)x-2(厚0)必過(guò)點(diǎn)C點(diǎn)和B點(diǎn)，再討論：當(dāng)a>0,利用戶(hù)-1時(shí)，yK)

時(shí)得到a-l+2a-2K),解不等式得到。的范圍；②當(dāng)〃V0時(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)為3點(diǎn)，利用△=(l-2a)2-4a*(-2)

=0,得。=-,，從而判斷時(shí)拋物線與線段AB總有兩個(gè)公共點(diǎn).

22

【詳解】解：(1)當(dāng)4=1時(shí)，拋物線為)=(”2,

.,.點(diǎn)C的坐標(biāo)為(0,-2),

令產(chǎn)0,則/?1?2=0,解得X2=2,

YA在點(diǎn)6左側(cè)，

：.A(-1,0),B(2,0)；

(2)當(dāng)jt=0時(shí)，尸加+(1?2。)x-2=-2；

當(dāng)42時(shí)，y^ax2+(I-2a)x-2=0,

所以拋物線產(chǎn)以2+(l-2a)x-2(存0)必過(guò)點(diǎn)C(0,-2)和B(2,0)；

①當(dāng)”>0,當(dāng)x=-l時(shí)，心0時(shí)，拋物線與線段A8總有兩

個(gè)公共點(diǎn)，

即a-l+2a-2>0,

解得a>l；

②當(dāng)“<0時(shí)，當(dāng)頂點(diǎn)為B點(diǎn)時(shí)，△=(l-2a)2-4a?(-2)=0,

解得a^--,則時(shí)拋物線與線段AB總有兩個(gè)公共點(diǎn)，

22

綜上所述，4的取值范圍為。打或

2

【點(diǎn)睛】本題考查了二次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系.二次函數(shù)產(chǎn)辦2+法+c(”切)系數(shù)符號(hào)由拋物線開(kāi)口方

向、對(duì)稱(chēng)軸、拋物線與y軸的交點(diǎn)拋物線與x軸交點(diǎn)的個(gè)數(shù)確定.

27.如圖1,在正方形A2CZ)中，點(diǎn)F在邊BC上，過(guò)點(diǎn)尸作EFLBC,且FE=FC(CEVCB),連接

CE、AE,點(diǎn)G是AE的中點(diǎn)，連接

(1)用等式表示線段B尸與尸G的數(shù)量關(guān)系：；

(2)將圖1中的尸繞點(diǎn)C按逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，使△點(diǎn)尸的頂點(diǎn)尸恰好在正方形A8CD的對(duì)角線AC上,

點(diǎn)G仍是AE的中點(diǎn)，連接FG、DF.

①在圖2中，依據(jù)題意補(bǔ)全圖形；

②用等式表示線段。尸與FG的數(shù)量關(guān)系并證明.

【答案】（1）BF=6FG

（2）①見(jiàn)解析；（2）DF=V2FG,證明見(jiàn)解析

【解析】

分析】（1）連接CG、8G,根據(jù)正方形的性質(zhì)得出aCBG和AABG中相等的邊和角，證明

△CBG^AABG,得出NGBF=45°,再證明△CFG絲ZXEFG,得出/CFG=/EPG=135°,則/GFB=

45°,于是得出△G8F是等腰直角三角形，則BF=0FG；

（2）①根據(jù)題意，畫(huà)出△CEF繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到點(diǎn)尸落在4c上時(shí)的圖形即可；

②類(lèi)比①中的方法和結(jié)論，可得。F=&FG,連接8G、BF,先證明尸父△￡>/!「，則凡再

由直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半證明FG=AG,BG=4G,則尸G=BG,由等腰三角形的性質(zhì)

和三角形內(nèi)角和定理的推論證明NFGB=2NBAF=2X45°=90°,則4GB尸是等腰直角三角形，于是得

DF=BF=^2FG.

【小問(wèn)1詳解】

解：BF=72FG,

理由：如圖1,連接CG、BG,

?