現(xiàn)代控制實驗報告

第一章實驗目的上機實驗的主要目標如下：通過上機操作，加深最優(yōu)控制理論知識的理解。學習并掌握連續(xù)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)。通過上機實驗，提高動手能力，提高分析和解決問題的能力第二章實驗環(huán)境每人一臺PC機和一套MATLAB6.X軟件。第三章實驗內容與任務3.1實驗一有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題的最優(yōu)控制MATLAB仿真訓練連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，操作和解題訓練實驗系統(tǒng)。實驗系統(tǒng)如下：1)fx=u(t)<1fx=u(t)<1IX=x(t)22fx(0)=0-01'0一■0-001X+0-1-4-61x=u2)0lx<1x(0)=02y=Il0實驗任務就實驗實例，求出最優(yōu)控制率，并用MATLAB編寫好相應的仿真實驗程序。改變性能函數(shù)中的各項的權系數(shù)值，分析其對系統(tǒng)性能的影響。在不同的權值下繪制系統(tǒng)的階躍響應曲線，并根據(jù)曲線定性分析仿真結果。分析仿真對象的仿真結果。3.2實驗二有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題的最優(yōu)控制MATLAB仿真訓練連續(xù)系統(tǒng)線性二次型最優(yōu)控制的MATLAB實現(xiàn)，操作和解題訓練實驗系統(tǒng)。實驗系統(tǒng)如下：fx=x(t)<121x=u(t)2fx(0)=xJ1 10x(0)=x2 20y(t)=xJt)性能指標為：-rt(t)-y(t)1+u2(t)lt20r第四章實驗步驟4．1有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題(1)第一題>>A=[00;01];B=[1;0];eig(A)ans=01因為系統(tǒng)的特征方程存在有正實部的根所以系統(tǒng)不穩(wěn)定，不滿足線性二次型求解要求。(2)第二題可控性客觀性判斷調用函數(shù)可控性可觀性大致判斷程序如下：X=eig(A),S=ctrb(A,B);nl二rank(S)，V=obsv(A,C);n2二rank(V);得出結果為：n1=3,n2=3由此可知系統(tǒng)穩(wěn)定且可控可觀。參數(shù)探索—各項權系數(shù)對系統(tǒng)性能的影響

設計系統(tǒng)狀態(tài)反饋控制器時，一個關鍵的問題就是二次型性能指標泛函中加權矩陣Q和R的選取。為了使問題簡化及加權矩陣具有比較明確的物理意義，我們將Q取為對角陣。假設Q110Q110Q220Q33這樣得到的性能指標泛函為gIJgIJ=iQx2+Q1110x2222+Qx2+ru2333由上式可以看出，Q是對x的平方的加權，Q的相對增加就意味著對X的iiiiii要求相對其它狀態(tài)變量嚴格，在性能指標中的比重大，x的偏差狀態(tài)相對減小。ir是對控制量u的平方加權，當r相對較大時，意味著控制費用增加，使得控制能量較小，反饋減弱，而r取值較小時，系統(tǒng)控制費用減小，反饋增加，系統(tǒng)動態(tài)響應迅速。為了得到較快的響應速度與一定的穩(wěn)定度，設置不同組別的Q、R參數(shù)，即各項的權系數(shù)值，如本次實驗中，保持Q=[100;010;001];設置R處于不同的值，分析R對控制效果的影響，有下圖：

t(s)Unit-stepResponseofLQRatR=10t(s)Unit-stepResponseofLQRatR=10圖4-1參數(shù)R對輸出相應的影響（1）為了更好的研究R的變化對系統(tǒng)系能的影響，這里還給出了一下幾組數(shù)據(jù)：Unit-stepResponseofLQRatR=10 Unit-stepResponseofLQRatR=20t(s)t(s)圖4-2參數(shù)Rt(s)t(s)圖4-2參數(shù)R對輸出相應的影響（2）由上述兩組圖可發(fā)現(xiàn)，僅第一組參數(shù)變化時對系統(tǒng)性能影響較大，不管是快速性還是穩(wěn)定性都有影響。R較小時，如R=0.1時，總是存在一定的穩(wěn)定誤差，隨著R的增大，穩(wěn)態(tài)誤差變少直至沒有。這里選擇R=5作為R的最佳狀態(tài)。下面固定R=5,確定Q對系統(tǒng)性能的影響。有如下幾組模擬圖：Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=1Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=10Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=1Unit-stepResponseofLQRatQ(1,1)=10圖4-3參數(shù)Q（這里討論的是Q]]對輸出響應的影響（1）0510152005101520t(s)t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=10對輸出響應的影響（2）圖4-4參數(shù)Q（這里討論的是Q22Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=10510152005101520t(s)t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(2,2)=10對輸出響應的影響（2）圖4-4參數(shù)Q（這里討論的是Q22Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ(3,3)=10圖4-5參數(shù)Q（這里討論的是Q對輸出響應的影響（3）33可見，隨著Q取值的增加，快速性雖有一定的提高，但是總的穩(wěn)態(tài)誤差變11大?？刂菩Ч儾睿鳴、Q的變化對系統(tǒng)性能影響不大。這點很好理解，由2233于輸出Y僅與X有關，而其他參數(shù)對其沒有較大的影響。1當Q陣中的參變量m相比于R充分大時系統(tǒng)能得到快速的響應。而提高R陣中的比重則意味著需要更有效地抑制與之相應的控制量的幅值及由它引起的能量消耗。③最佳模擬實驗結果經過上述參數(shù)探索，得出Q=[0.100;010;001];R=5時候，系統(tǒng)性能接近最佳，此時有反饋增益矩陣K=0.01000.04580.0242帶入控制矩陣u*（t）=-k（t）X（t），即可得到控制量。最終響應曲線如下圖4-6，而不同狀態(tài)x1,x2,x3對時間的響應曲線見圖4-7

Unit-stepResponseofLQRSystem圖4-6線性二次型的單位輸入響應曲線穩(wěn)態(tài)誤差低，響應速度一般，控制效果較好各個狀態(tài)的響應曲線如下圖ResponseCurvesx1,x2,x3versust圖4-7各輸入狀態(tài)變量x1,x2,x3對時間響應曲線

4．2無限時間狀態(tài)調節(jié)器問題①參數(shù)探索—各項權系數(shù)對系統(tǒng)性能的影響參數(shù)討論方法同有限時間有限時間狀態(tài)調節(jié)器問題的最優(yōu)控制MATLAB仿真。先設定R=1不變，討論不同Q值變化時的響應曲線。此處選擇Q=0.01、Q=0.1、Q=l、Q=5、Q=10、Q=50、Q=100、Q=1000八種情況，響應曲線見圖4-8、4-9。Unit-stepResponseofLQRatQ=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ=5Unit-stepResponseofLQRatQ=0.01Unit-stepResponseofLQRatQ=0.1Unit-stepResponseofLQRatQ=1t(s)Unit-stepResponseofLQRatQ=5圖4-8參數(shù)Q對輸出響應的影響（1）Unit-stepResponseofLQRatQ=100Unit-stepResponseofLQRatQ=1000Unit-stepResponseofLQRatQ=100Unit-stepResponseofLQRatQ=1000圖4-9參數(shù)Q對輸出響應的影響（2）由圖可知，Q值影響系統(tǒng)的響應時間，Q值越大響應越快。當然Q值不可能取無限大，一般只需要第二個圖中的Q=10或者5就行，這時動態(tài)響應完全滿足要求。Q值整定完后，假設Q=10不變，改變R取值，求響應曲線。這里選擇四種數(shù)據(jù)，R=0.01、R=0.1、R=l、R=10四種情況。響應曲線見圖4-10。Unit-stepResponseofLQRatR=1Unit-stepResponseofLQRatR=10Unit-stepResponseofLQRatR=1Unit-stepResponseofLQRatR=10圖4-10參數(shù)R對輸出響應的影響由此可見，R取值越大，快速性越差，而對穩(wěn)態(tài)誤差影響不大，考慮到可實現(xiàn)性，這里選擇R=0.1作為最佳控制方案。②最佳模擬實驗結果根據(jù)上述討論，選擇Q=10,R=0.1作為最佳組合進行控制，此時有K1=[10.00004.4721P=[4.47211.0000;1.00000.4472]e=[-2.2361+2.2361i;-2.2361-2.2361i]仿真曲線如下，圖4-11為輸出響應，圖4-12為狀態(tài)變量xi,x2對時間的響應曲線Unit-stepResponseofLQR圖4-11單位輸入響應曲線ResponseCurvesx1,x2versust圖4-12ResponseCurvesx1,x2versust圖4-12輸入狀態(tài)變量x1,x2對時間響應曲線2x,1由圖可知，動態(tài)性能與穩(wěn)態(tài)性能均能滿足要求，響應時間也很快。如果實驗中對快速性要求不高，可以適當?shù)母淖僎、R,取折中結果。第五章總結線性系統(tǒng)方程是借助狀態(tài)轉移矩陣來表示的。有狀態(tài)轉移矩陣就可以求出系統(tǒng)在初始狀態(tài)激勵下的自由運動以及在輸入向量作用下的強迫運動。系統(tǒng)自由運動軌線的形態(tài)是由狀態(tài)轉移短陣決定得，也就是有A唯一決定。然而對一個系統(tǒng)來說，A一定時可以人為地采取措施即如狀態(tài)反饋和輸出反饋來改造運動形態(tài)。求出狀態(tài)后，既可以求出輸出響應。對于不同的輸入向量，響應也不同。改變控制方程輸出響應也隨之發(fā)生變化。本次實驗時，開始遇到了一定的問題，由于對Matlab的二次型函數(shù)不夠理解對單位階躍函數(shù)輸出隔向量的意義不夠理解。如：[y,x,t]=step（AA,BB,CC,DD）;,開始時，將x與t弄反，以致做出來的圖像始終無法滿足要求，經過討論修改才改正錯誤。二次型性能指標是一種綜合型性能指標。它可以兼顧終端狀態(tài)的準確性、系統(tǒng)響應的快速性、系統(tǒng)運行的安全性及節(jié)能性各方面因素。實驗中我們得知，選取Q和R時需要注意的幾個方面：（1） 由于我們采用的系統(tǒng)模型是線性化的結果，為使系統(tǒng)個狀態(tài)量能夠在線性范圍工作，要求各狀態(tài)量不應過大。（2） 閉環(huán)系統(tǒng)最好能有一對共軛復數(shù)極點，這樣有利于克服系統(tǒng)的非線性摩擦，但系統(tǒng)主導極點的模不應太大以免系統(tǒng)頻帶過寬，使得系統(tǒng)對噪聲過于敏感，以致系統(tǒng)不能正常工作。（3） 加權矩陣R的減小，會導致大的控制能量，應注意控制U的大小，不要超過系統(tǒng)執(zhí)行機構的能力，使得放大器處于飽和狀態(tài)。線性二次型最優(yōu)控制問題的實質是：用不大的控制能量，來保持較小的輸出誤差，以達到控制能量和誤差綜合最優(yōu)的目的。由實驗各組仿真數(shù)據(jù)我們得知，加權矩陣中的各個元素之間的數(shù)值比例關系，將直接影響系統(tǒng)的工作品質，應適當選擇。第六章參考程序實驗一部分實驗參考程序(此程序為最后的最優(yōu)解時參考程序)% qlq.m A=[010;001;-1-4-6];B=[001]';C=[100];D=0;Q=[0.100;010;001];R=5; %參數(shù)矩陣設置，可以改動，此為最后結果%求向量KK=lqr(A,B,Q,R)%計算LQR控制的階躍響應并畫出曲線AA=A-B*K;BB=B;CC=C;DD=D;[y,x,t]=step(AA,BB,CC,DD); %單位階躍響應曲線plot(t,y);gridtitle('Unit-stepResponseofLQRSystem')xlabel('t(s)');ylabel('y(t)');figure(2)plot(t,x(:,1),':',t,x(:,2),'.-',t,x(:,3),'-'),grid%不同狀態(tài)的響應曲線title('ResponseCurvesx1,x2,x3versust')xlabel('t(s)');ylabel('x1,x2,x3');gtext('\leftarrowx1')gtext('\leftarrow