工程力學(xué)靜定結(jié)構(gòu)的內(nèi)力分析B

第三分冊結(jié)構(gòu)力學(xué)

剛架是由梁和柱以剛性結(jié)點相連組成的，其優(yōu)點是將梁柱形成一個剛性整體，使結(jié)構(gòu)具有較大的剛度，內(nèi)力分布也比較均勻合理，便于形成大空間。下圖是常見的幾種剛架：圖（a）是車站雨蓬，圖（b）是多層多跨房屋，圖（c）是具有部分鉸結(jié)點的剛架。(a)(b)(c)剛架結(jié)構(gòu)優(yōu)點：（1）內(nèi)部有效使用空間大；（2）結(jié)構(gòu)整體性好、剛度大；（3）內(nèi)力分布均勻，受力合理。一、平面剛架結(jié)構(gòu)特點：§3-3靜定剛架結(jié)構(gòu)力學(xué)1、懸臂剛架2、簡支剛架3、三鉸剛架4、主從剛架二、常見的靜定剛架類型結(jié)構(gòu)力學(xué)下圖所示兩跨剛架可先建立投影方程計算，再對和的交點O取矩，建立力矩方程，計算RA，最后建立投影方程計算。Y=?0RCRCRBMO=?0X=?0RBxy0ABCO.剛架分析的步驟一般是先求出支座反力，再求出各桿控制截面的內(nèi)力，然后再繪制各桿的彎矩圖和剛架的內(nèi)力圖。三、靜定剛架支座反力的計算

在支座反力的計算過程中，應(yīng)盡可能建立獨立方程。結(jié)構(gòu)力學(xué)

如圖（a）三鉸剛架，具有四個支座反力，可以利用三個整體平衡條件和中間鉸結(jié)點C處彎矩等于零的局部平衡條件，一共四個平衡方程就可以求出這四個支座反力。XAl/2l/2qABCf(a)qfl/2l/2ABC(b)YAYBXB結(jié)構(gòu)力學(xué)XAqfl/2l/2ABC(b)YAYBXBfl/2C(c)YBXBBXCYC于是O對O點取矩即得：結(jié)構(gòu)力學(xué)l/2l/2qABCfOABDCOO′注意：三鉸剛架結(jié)構(gòu)中，支座反力的計算是內(nèi)力計算的關(guān)鍵所在。通常情況下，支座反力是兩兩偶聯(lián)的，需要通過解聯(lián)立方程組來計算支座反力，因此尋找建立相互獨立的支座反力的靜力平衡方程，可以大大降低計算反力的復(fù)雜程度和難度。FRCXDYDFRCO，XDYDO結(jié)構(gòu)力學(xué)XCXCYCXDYBYAXAQCABqYCqPDC(b)PQqABDC(a)(c)

如右圖(a)是一個多跨剛架，具有四個支座反力，根據(jù)幾何組成分析：Ｃ以右是基本部分、以左是附屬部分，分析順序應(yīng)從附屬部分到基本部分。結(jié)構(gòu)力學(xué)①分段：根據(jù)荷載不連續(xù)點、結(jié)點分段。②定形：根據(jù)每段內(nèi)的荷載情況，定出內(nèi)力圖的形狀。③求值：由截面法或內(nèi)力算式，求出各控制截面的內(nèi)力值。④畫圖：畫M圖時，將兩端彎矩豎標(biāo)畫在受拉側(cè)，連以直線，再疊加上橫向荷載產(chǎn)生的簡支梁的彎矩圖。Q，N

圖要標(biāo)＋，－號；豎標(biāo)大致成比例。四、剛架的內(nèi)力分析及內(nèi)力圖的繪制結(jié)構(gòu)力學(xué)

例1.試計算圖(a)所示簡支剛架的支座反力，并繪制Ｍ、Q和N圖。2m2m4mABCD40kN20kN/m(1)支座反力(a)20kN/mAB4m20kN/mAB4m160kN·m(b)(c)[解]。(2)求桿端力并畫桿單元彎矩圖。40160AB(d)M圖（右側(cè)受拉）結(jié)構(gòu)力學(xué)2m2m40kNBD602m2mBD40kN160kN·m16040BD40160AB160D4020kN/mAB4m802060Q圖（kN)M圖(kN·m）M圖2m2m4mABCD40kN20kN/m602080（下拉）結(jié)構(gòu)力學(xué)802060Q圖（kN)200B20N圖（kN)40160AB160D40M圖(kN·m）2m2m4mABCD40kN20kN/m6020＋結(jié)構(gòu)力學(xué)例2.試計算下圖所示懸臂剛架的支座反力，并繪制Ｍ、Q和N圖。2a2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDE解：（1）計算支座反力結(jié)構(gòu)力學(xué)2a2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDE（2）計算各桿端截面力，繪制各桿M圖1）桿CD2qa2CD6qaDB00D結(jié)點D2）桿DB2qa2M圖M圖結(jié)構(gòu)力學(xué)2a2a4a4a3aq6qa2q2qa2ABCDExy3aE4aqB3)桿BE2qaAB8qa10qa14qa2M圖M圖4）桿AB結(jié)構(gòu)力學(xué)2qa22qa26qa2qa2q2q2qa2CDDBBEBA1082BM圖（3）繪制結(jié)構(gòu)M圖也可直接從懸臂端開始計算桿件彎矩圖結(jié)構(gòu)力學(xué)M圖2qa22a2a4a4a3aq6qa

2q2qa2ABCDEQ圖2.4qa10qaN圖3.2qa6qa8qa（4）繪制結(jié)構(gòu)Q圖和N圖結(jié)構(gòu)力學(xué)例3試?yán)L制下圖所示剛架的彎矩圖。30kN20kN·m2m2m4m10kN20kN10kN10kNABCDE10kN10kN40kN·mADBE10kN20kN40kN·mD2040E40DCE20kN·m40kN·m402040M圖（kN·m）結(jié)構(gòu)力學(xué)qaaaa1.5aqa2qaAEGCBFDqa2qaAEGCXMqa1.5aBFD例4.求繪圖示結(jié)構(gòu)的彎矩圖。結(jié)構(gòu)力學(xué)作剛架Q、N圖的另一種方法首先作出M圖；然后取桿件為分離體，建立矩平衡方程，由桿端彎矩求桿端剪力；最后取結(jié)點為隔離體，利用投影平衡由桿端剪力求桿端軸力。a↑↑↑↑↑↑↑↑aqABCqa2/2qa2/8M圖qa2/2QCBQCBCBqa2/2∑MC＝qa2/2+QCBa=0QBC=QCB=－qa/2QCA↑↑↑↑↑↑↑↑QACqa2/2q∑MC＝qa2/2+qa2/2－QACa=0QAC=（qa2/2+qa2/2）/a=qa∑MA＝0QCA=（qa2/2－qa2/2）/a=0qa/20NCBNCA∑X＝0，NCB＝

0∑Y＝0，NCA＝qa/2∥結(jié)構(gòu)力學(xué)6QDCQCDDC3.35m3kN9kN2kN2kN664.5N圖（kN）M圖（kN.m）2－－3α↓↓↓↓↓↓3m3m3mABq=4kN/m1.5mCDE＋2＋1.79Q圖（kN）∑MD=6－QCD×3.35＝0QCD=1.79(kN)=QDC∑MC=6+3×4×1.5+3.35QEC＝0QEC=－7.16kN∑ME=6－3×4×1.5+3.35QCE＝0QCE=3.58kN↓↓↓↓↓↓↓QCEQEC4kN/mCE3.35m－3.587.16＋－932α1.79NDC3.13α927.16NEC－5.8205279.1558.3=×-=45.0-=kNNCE0sin)79.158.3(cos)13.3(=+-+=?aaNXCEcos)58.379.1(sin)45.013.3(-++aa=?Y校核NCE3.583.131.79αα0.45－結(jié)構(gòu)力學(xué)1、懸臂剛架

可以不求反力，由自由端開始直接求作內(nèi)力圖。LLqL2?qL2↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqL22q2m2m↓↓↓↓↓q2q6q彎矩圖的繪制

如靜定剛架僅繪制其彎矩圖，并不需要求出全部反力，只需求出與桿軸線垂直的反力。BABCACD結(jié)構(gòu)力學(xué)2、簡支型剛架彎矩圖簡支型剛架繪制彎矩圖時，往往只須求出一個與桿件垂直的支座反力，然后由支座作起。qL2/2qaqa2/2qa2/2ql注意：BC桿和CD桿的剪力等于零，相應(yīng)的彎矩圖與軸線平行ql2/2qlqll/2l/2↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓DqABCaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓qa2/8結(jié)構(gòu)力學(xué)1反力計算

1）整體對左底鉸建立矩平衡方程

MA=

qa2+2qa2-2aYB=0(1)2）對中間鉸C建立矩平衡方程

MB=0.5qa2+2aXB-aYB=0(2)解方程(1)和(2)可得

XB=0.5qa

YB=1.5qa

3）再由整體平衡

X=0解得XA=-0.5qaY=0解得YA=0.5qa2繪制彎矩圖qa2注意：三鉸剛架繪制彎矩圖往往只須求一水平反力,然后由支座作起！1/2qa20qqaXAYAYBXBACBaaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qa2/2qa2/23、三鉸剛架彎矩圖1/2qa2結(jié)構(gòu)力學(xué)YBXBRAOM/2MM/2畫三鉸剛架彎矩圖注意：1、三鉸剛架僅半邊有荷載，另半邊為二力體，其反力沿兩鉸連線，對O點取矩可求出B點水平反力，由B支座開始做彎矩圖。2、集中力偶作用處，彎矩圖發(fā)生突變，突變前后彎矩兩條線平行。3、三鉸剛架繪制彎矩圖時，關(guān)鍵是求出一水平反力！Mo=m－2a×XB=0,得XB=M/2aA C BaaaMABC結(jié)構(gòu)力學(xué)qL2/4qL2/43/4qLAO整體對O點建立平衡方程得∑MO=qL×1.5L－2LXA=0得XA=3qL/4qLLLBCRBYA結(jié)構(gòu)力學(xué)三鉸剛架彎矩圖qaaaa2aaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqaqa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qqaqa2qa2qa2/2qa2/2qa2/2M圖（kN.m）ABHCDEFG4、主從結(jié)構(gòu)繪制彎矩圖

可以利用彎矩圖與荷載、支承及連結(jié)之間的對應(yīng)關(guān)系，不求或只求部分約束力。結(jié)構(gòu)力學(xué)↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓q=20kN/m2m2m3m4m2m5mABCDEF20kN80kN20kN120901206018062.5M圖kM.m

僅繪M圖,并不需要求出全部反力。然后先由A.B支座開始作彎矩圖。先由AD∑Y=0得YA=80kN再由整體平衡方程∑X=0得XB=20kNMEA=80×6?×20×62=12012060180結(jié)構(gòu)力學(xué)繪制圖示剛架的彎矩圖Aaaaaaa↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓qBYB=0YA=0XB=1.5qa4.5qa25qa2M圖haP2P2Paa2aPh2Ph2PhPhPhPh2Ph整體：∑MA＝03qa×a/2－XB×a＝0XB=1.5qaXA=4.5qa結(jié)構(gòu)力學(xué)5、對稱性的利用對稱結(jié)構(gòu)在對稱荷載作用下，反力和內(nèi)力都呈對稱分布；對稱結(jié)構(gòu)在反對稱荷載作用下，反力和內(nèi)力都呈反對稱分布。h↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓l/2l/2qmmhmql2/8ql2/8ql2/8結(jié)構(gòu)力學(xué)溫故而知新內(nèi)力圖形狀特征1.無何載區(qū)段2.均布荷載區(qū)段3.集中力作用處平行軸線斜直線Q=0區(qū)段M圖平行于軸線Q圖M圖備注↓↓↓↓↓↓二次拋物線凸向即q指向Q=0處，M達(dá)到極值發(fā)生突變P＋－出現(xiàn)尖點尖點指向即P的指向集中力作用截面剪力無定義4.集中力偶作用處無變化發(fā)生突變兩直線平行m集中力偶作用點彎矩?zé)o定義＋－5、在自由端、鉸支座、鉸結(jié)點處，無集中力偶作用，截面彎矩等于零，有集中力偶作用，截面彎矩等于集中力偶的值。6、剛結(jié)點上各桿端彎矩及集中力偶應(yīng)滿足結(jié)點的力矩平衡。兩桿相交剛結(jié)點無集中力偶作用時，兩桿端彎矩等值，同側(cè)受拉。結(jié)構(gòu)力學(xué)靜定剛架的M圖正誤判別另外根據(jù)這些關(guān)系?？刹唤?jīng)計算直觀檢查M圖的輪廓是否正確。M圖與荷載情況不符。M圖與結(jié)點性質(zhì)、約束情況不符。作用在結(jié)點上的各桿端彎矩及結(jié)點集中力偶不滿足平衡條件。結(jié)構(gòu)力學(xué)利用上述內(nèi)力圖與荷載、支承和聯(lián)結(jié)之間的對應(yīng)關(guān)系，可在繪制內(nèi)力圖時減少錯誤，提高效率?！齫PABCDE（a）↓↓↓↓↓↓↓↓↓qPABCDE（b）ABC↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓↓（e）ABC（f）××××××結(jié)構(gòu)力學(xué)ABCDABCDmm（h）mBAC（g）mm××結(jié)構(gòu)力學(xué)↓↓↓↓↓↓（3）（）↓↓↓↓↓↓↓↓（5）（）（2）（）（4）（）（1）（）（6）（）××××××√√結(jié)構(gòu)力學(xué)↓（9）（）題2-1圖（10）（）↓（11）（）↓↓↓↓↓↓↑↑↑↑↑（12）（）↓（7）（）（8）（）

m

m√√結(jié)構(gòu)力學(xué)速繪彎矩圖PaPaa↑↑↑↑↑alPaPPPPaPa2m/3m/3m/32m/3aaammqa2/2結(jié)構(gòu)力學(xué)mPaaaaaaaamaaaamP2PaaammPa/2Pa/2000m/2am/2am/2am/2am/2am/2am/2m/2m/2mOm/2am/2am/2am/2am/2am/2mm/20002P2P2PPPPPa2PaPa結(jié)構(gòu)力學(xué)PaaaaaaPPmaaaaPPPh0000PPPPPaPa2PaPaPaPhPhPhPhPh結(jié)構(gòu)力學(xué)拱的實例三鉸拱的特點P2HVAVBP1H三鉸拱的類型、基本參數(shù)lf曲線形狀：拋物線、園、懸鏈線……..一、概述§3-4三鉸拱結(jié)構(gòu)力學(xué)二、三鉸拱的支座反力和內(nèi)力1、支座反力與同跨度同荷載對應(yīng)簡支梁比較P2HAVAVBP1HBP1P2a1a2b1b2xxdDVAHP1dcl1ffyll1l2cc結(jié)構(gòu)力學(xué)QoMoP1VAHP1QoHMDxy2、內(nèi)力計算

以截面D為例截面內(nèi)彎矩要和豎向力及水平力對D點構(gòu)成的力矩相平衡，設(shè)使下面的纖維受拉為正。ＨＱo3、受力特點（1）在豎向荷載作用下有水平反力

H;（2）由拱截面彎矩計算式可見，比相應(yīng)簡支梁小得多;（3）拱內(nèi)有較大的軸向壓力N.x-a1結(jié)構(gòu)力學(xué)xq=2kN.mP=8kN3mx2=3mVAHVB2y2y012345678AB例1、三鉸拱及其所受荷載如圖所示拱的軸線為拋物線方程（1）計算支座反力6m6mf=4m7.5kN結(jié)構(gòu)力學(xué)xq=2kN.mP=8kN3mx2=3m7.5kNVAHVB2y2y012345678AB（2）內(nèi)力計算6m6mf=4m以截面2為例結(jié)構(gòu)力學(xué)xq=2kN.mP=8kN2y2y012345678AB6m6m0.0001.1251.5001.1250.0000.3750.3754.5000.0000.6000.3540.0030.4721.0001.4213.3250.6001.0603.331M圖（kN.m）Q圖（kN）N圖（kN）13.30010.9589.0157.7497.43311.6656.79611.23511.7007.500繪制內(nèi)力圖結(jié)構(gòu)力學(xué)三、三鉸拱的合理軸線在固定荷載作用下，使拱處于無彎矩狀態(tài)的軸線稱為合理軸線。由上述可知，按照壓力曲線設(shè)計的拱軸線就是合理軸線。它是由兩項組成，第一項是相應(yīng)簡支梁的彎矩，而后一項與拱軸形狀有關(guān)。令在豎向荷載作用下，三鉸拱的合理軸線的縱標(biāo)值與簡支梁的彎矩縱標(biāo)值成比例。從結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計觀點出發(fā)，尋找合理軸線即拱結(jié)構(gòu)的優(yōu)化選型。對拱結(jié)構(gòu)而言，任意截面上彎矩計算式子為：結(jié)構(gòu)力學(xué)

例1、設(shè)三鉸拱承受沿水平方向均勻分布的豎向荷載，求其合理軸線。yxxqABqfl/2l/2ABC[解]

由式先列出簡支梁的彎矩方程拱的推力為：所以拱的合理軸線方程為：

注意*合理軸線對應(yīng)的是一組固定荷載；*合理軸線是一組。結(jié)構(gòu)力學(xué)桁架是由鏈桿組成的格構(gòu)體系，當(dāng)荷載僅作用在結(jié)點上時，桿件僅承受軸向力，截面上只有均勻分布的正應(yīng)力，是最理想的一種結(jié)構(gòu)形式。理想桁架：（1）桁架的結(jié)點都是光滑無摩擦的鉸結(jié)點；（2）各桿的軸線都是直線，并通過鉸的中心；（3）荷載和支座反力都作用在結(jié)點上。上弦桿腹桿下弦桿滿足上述假設(shè)產(chǎn)生的應(yīng)力稱主應(yīng)力、不滿足上述假設(shè)而產(chǎn)生的應(yīng)力稱次應(yīng)力。一、概述結(jié)構(gòu)力學(xué)§3-5靜定桁架桁架的分類（按幾何構(gòu)造）1、簡單桁架2、聯(lián)合桁架3、復(fù)雜桁架結(jié)構(gòu)力學(xué)2、盡量建立獨立方程llxlyFNFNFNFXFYFNl=FXlx=FYly3、假設(shè)拉力為正+計算時注意：1、在建立平衡方程時，時常需要把桿的軸力FN分解為水平分力FX和豎向分力FY，為計算方便，避免使用三角函數(shù)。結(jié)構(gòu)力學(xué)二、解算桁架內(nèi)力的方法123456784×3m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kNFN13FN121FX13FY13345結(jié)點18024060FN23FN24結(jié)點23406080FN35FX34FY34FN34結(jié)點3-100604060-9050一）、結(jié)點法：以桁架結(jié)點為隔離體，利用平面匯交力系的兩個平衡條件計算各桿的內(nèi)力。結(jié)構(gòu)力學(xué)123456784×3m=12m4m40kN60kN80kNH=0V1=80kNV8=100kN80_606040604030+-900-902015+75758075_100結(jié)構(gòu)力學(xué)結(jié)點單桿概念P結(jié)點平面匯交力系中，除某一桿件外，其它所有待求內(nèi)力的桿件均共線時，則此桿件稱為該結(jié)點的結(jié)點單桿。結(jié)點單桿的內(nèi)力可直接根據(jù)靜力平衡條件求出。結(jié)構(gòu)力學(xué)1234567891011ABCDABC結(jié)構(gòu)力學(xué)Oy截面單桿：任意隔離體中，除某一桿件外，其它所有待求內(nèi)力的桿件均相交于一點時，則此桿件稱為該截面的截面單桿。截面單桿的內(nèi)力可直接根據(jù)隔離體矩平衡條件求出。二)截面法結(jié)構(gòu)力學(xué)AB123451′2′3′4′6ddPPPabcde(1)2′1′12P例1、求圖示平面桁架結(jié)構(gòu)中指定桿件的內(nèi)力。結(jié)構(gòu)力學(xué)AB123451‘2‘3‘4‘6ddPPPabcde(2)B454‘Pde結(jié)構(gòu)力學(xué)AB123451‘2‘3‘4‘6ddPPPabcde4‘B45Pk2d2d(3)結(jié)構(gòu)力學(xué)ABCDP1P212N1DABCDP1P22N2結(jié)構(gòu)力學(xué)PABRARBRB。kPP。kP特殊截面簡單桁架——一般采用結(jié)點法計算；聯(lián)合桁架——一般采用截面法計算。結(jié)構(gòu)力學(xué)三、結(jié)點法與截面法的聯(lián)合應(yīng)用為了使計算簡捷應(yīng)注意：1）選擇一個合適的出發(fā)點；2）選擇合適的隔離體；3）選擇合適的平衡方程CDT1.3P0.5PPT0.5P例：計算桁架中a桿的內(nèi)力。由結(jié)點TDP由截面-右1.25PF由截面-上ABCDEFGHKT2d2d2d2ddd1.3P0.5