大學物理下冊課件第五版95933738

第二節(jié)常數(shù)項級數(shù)的審斂法一、正項級數(shù)及其審斂法二、交錯級數(shù)及其審斂法三、任意項級數(shù)的斂散性預備知識：2.單調(diào)有界數(shù)列必有極限。1.收斂數(shù)列必有界。3.級數(shù)收斂與發(fā)散的定義4.級數(shù)的性質(zhì)1一、正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)：正項級數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界.定理1部分和數(shù)列單增：證級數(shù)收斂有界,〔比較審斂法〕設定理21)若收斂,收斂;則2)若發(fā)散,發(fā)散.則大斂那么小斂，小散那么大散.證明提示：由定理1易證2例如,級數(shù)故原級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,而推論1若存在自然數(shù)N,使得當和都是正項級數(shù),設成立,n≥N時,⑴則收斂;⑵成立,發(fā)散.則收斂,若發(fā)散,若3例1討論P-級數(shù)的收斂性,其中解當時,當時,4意義：p-級數(shù)是比較審斂法的重要參照.級數(shù)當時收斂;當時發(fā)散.結(jié)論推論2為正項級數(shù),設則級數(shù)收斂;⑵如果則級數(shù)發(fā)散.⑴如果有p>1,使例2.判別以下級數(shù)的斂散性:解發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散。收斂,故原級數(shù)收斂。5注:用比較審斂法判斷正項級數(shù)的斂散性:1)假設要判斷該級數(shù)收斂,需要找一個比該級數(shù)大的收斂的級數(shù)與它進行比較;2)假設要判斷該級數(shù)發(fā)散,需要找一個比該級數(shù)小的發(fā)散的級數(shù)與它進行比較.定理3〔比較審斂法的極限形式〕設為正項級數(shù),若則的斂散性相同.與補充說明：證對存在自然數(shù)N,當n>N

時,有由比較審斂法知結(jié)論成立.6例3、補例、例4判別級數(shù)的斂散性.解(1)取而發(fā)散,故原級數(shù)發(fā)散.解(2)收斂,故原級數(shù)收斂.解(3)

而收斂,故原級數(shù)收斂.取取7用比較審斂法判別級數(shù)的斂散性.PP2521(5)解8定理4〔比值審斂法,D’Alembett判別法〕設正項級數(shù)當時，級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)收斂;當時，斂散性不定.〔不需借助其它級數(shù),僅由級數(shù)本身的一般項判定級數(shù)斂散性的判別法.〕解級數(shù)收斂.級數(shù)發(fā)散.級數(shù)收斂.例5、例6、PP252:2(3)判別級數(shù)的斂散性:9(i)

<1,證由極限定義,存在自然數(shù)m,當n≥m時有不等式取適當小的正數(shù)

,使得

+=r<1,因此而為公比r<1的等比級數(shù),收斂.故級數(shù)收斂.從而故級數(shù)發(fā)散.(ii)

>1,取適當小的正數(shù)

,使得

>1,由極限定義,當n≥m時有不等式類似可證,(iii)

=1,級數(shù)可能收斂也可能發(fā)散.易就p級數(shù)舉出反例.10

PP317:2(3)判別級數(shù)的斂散性:解.收斂,故原級數(shù)收斂.11解級數(shù)收斂.收斂,故原級數(shù)收斂.故原級數(shù)收斂.而收斂,的斂散性:例

判別級數(shù)(PP317:2(3))12例7

判別級數(shù)的斂散性.解比值審斂法失效.但而收斂，收斂.由比較審斂法，得注：1.比值判斂法一般適用于中含有n!或關于n的若干連乘積.

2.ρ=1時，比值審斂法失效，必須用其它的方法來判別.13設正項級數(shù)當時,級數(shù)發(fā)散;當時,級數(shù)收斂;當時，斂散性不定.定理5〔根值審斂法〕（根值判斂法一般適用于中含有以n為指數(shù)的冪）作業(yè)：3~6例8、PP252：3(3).判別級數(shù)的斂散性:級數(shù)收斂。級數(shù)收斂.解注意:由比值和根值法判斷發(fā)散的級數(shù),其一般項趨于無窮大.14小結(jié)：正項級數(shù)及其審斂法正項級數(shù)收斂的充要條件是部分和數(shù)列有界.（比較審斂法）定理2.定理1.定理3.（比較審斂法的極限形式）定理4.（比值審斂法）定理5.（根值審斂法）15二、交錯級數(shù)及其審斂法交錯級數(shù)：或定理6(萊布尼茨定理)若滿足:那么級數(shù)收斂,且其和其余項證單增且有上界,故證畢16例

判定級數(shù)的斂散性:解所以級數(shù)收斂.所以級數(shù)收斂.17補例

判斷交錯級數(shù)的斂散性.解1〕借助函數(shù)可以用導數(shù)判斷其單調(diào)性.x=n是它的特殊值知：f(x)在x≥1時單調(diào)減少，于是取x=n，故原級數(shù)收斂.2〕考慮到取x=n18三、任意項級數(shù)的斂散性任意項級數(shù)：則稱為絕對收斂.⑴若收斂,例如,條件收斂;絕對收斂.為任意實數(shù).定理7絕對收斂,若級數(shù)必定收斂.則級數(shù)定義⑵若收斂,但發(fā)散,則稱為條件收斂.19證設收斂,令由正項級數(shù)比較審斂法知收斂.由性質(zhì)知,收斂.證畢⑴逆命題不成立，即收斂的級數(shù)未必絕對收斂.⑵若由比值審斂法或根值審斂法判定發(fā)散,則可以斷定發(fā)散.注意20判定級數(shù)的斂散性,假設收斂,是絕對收斂還是條件收斂?解因收斂,故原級數(shù)絕對收斂.發(fā)散,收斂,且為條件收斂.例9、PP252：5(1)、例10

原級數(shù)發(fā)散.21小結(jié)：交錯級數(shù),絕對收斂,條件收斂.定理6(萊布尼茨定理)-交錯級數(shù)審斂法定理7

作業(yè)：7絕對收斂,若級數(shù)必定收斂.則級數(shù)反過來不一定成立但用根值法和比值法判斷出絕對值的級數(shù)發(fā)散，那么一般項極限為無窮大，故原級數(shù)也發(fā)散.22解PP252：5(5)所以原級數(shù)發(fā)散.發(fā)散,判定級數(shù)的斂散性,假設收斂,是絕對收斂還是條件收斂?232.

判別下列級數(shù)的斂散性：242.判別以下級數(shù)的斂散性：解取那么所以,由極限審斂法知,該級數(shù)發(fā)散.解所以,由比值審斂法知,該級數(shù)發(fā)散.(極限審斂法)(比值審斂法)25收斂,故原級數(shù)收斂.解26解而發(fā)散,發(fā)散.對于極限審斂法:假設則發(fā)散,發(fā)散.則收斂,收斂.(比較審斂法)假設27解1）當時,級數(shù)收斂；2）當時,級數(shù)發(fā)散。3）當時,原級數(shù)變?yōu)閯t當時,級數(shù)發(fā)散；當時,級數(shù)收斂。(根值、比值審斂法)283.

正項級數(shù)和都收斂，證明級數(shù)也收斂。證收斂所以收斂,所以收斂,,因為29解4.

級數(shù)收斂,問級數(shù)是否也收斂？試說明理由.且不一定.例305.

討論下列級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性：315.討論以下級數(shù)的絕對收斂性與條件收斂性：解收斂。收斂。所以原級數(shù)絕對收斂。原級數(shù)絕對收斂。原級數(shù)條件收斂。原級數(shù)發(fā)散32解發(fā)散，發(fā)散。對于該交錯級數(shù)，由于1〕2〕條件收斂。33解收斂，因此，原級數(shù)絕對收斂。6.求以下極限：346.求以下極限：解收斂。設對于35解設