河北聯(lián)合大學輕工學院機器人基礎微分運動與雅可比矩陣

第1節(jié)機器人的微分運動第2節(jié)機器人的雅克比矩陣第3節(jié)雅克比矩陣的性質(zhì)

第五章

微分運動與雅可比矩陣*機器人研究所2第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分運動:指機器人的微小運動（推導不同桿件間的速度關系），而微分關系是指微分運動與速度之間的關系。機械手的變換主要包括平移變換、旋轉(zhuǎn)變換、。將變換的變量進行微分就可以表示為微分平移和微分旋轉(zhuǎn)。*機器人研究所3第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分平移*機器人研究所4第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)*機器人研究所5第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)微分旋轉(zhuǎn)*機器人研究所6第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標系之間的變換

已知坐標系{T}，相對于參考坐標系變換T+dT可表示為從上式解出dT(微分變換矩陣)*機器人研究所7第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標系之間的變換

已知坐標系{T}，相對于{T}坐標系變換T+dT可表示為從上式解出dT*機器人研究所8第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標系之間的變換將微分平移和微分旋轉(zhuǎn)帶入到和中：*機器人研究所9第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標系之間的變換繞矢量K的微分旋轉(zhuǎn)等價于分別繞三個坐標軸x，y，z分別旋轉(zhuǎn)(弧度)，即帶入到Δ中*機器人研究所10第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)用微分平移和微分旋轉(zhuǎn)表示坐標系之間的變換同理可得*機器人研究所11第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)剛體或坐標系的微分運動矢量寫成矩陣形式：相對于{T}坐標系的微分運動矢量微分平移矢量微分旋轉(zhuǎn)矢量*機器人研究所12第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)例題1：已知坐標系{A}和對基坐標系的微分平移與微分旋轉(zhuǎn)分別為求微分變換dA*機器人研究所13第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)解：由，則*機器人研究所14第1節(jié)機器人的微分運動1.微分平移和微分旋轉(zhuǎn)解：*機器人研究所15第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換微分運動矢量D在不同坐標系中的表示是不同的，在一個坐標系中的微分運動給出后，如何求出在另一個坐標系中的微分運動？*機器人研究所16第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換由于*機器人研究所17第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換矩陣相乘，可得又由的定義式*機器人研究所18第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換兩矩陣對應元素相等式中，R為旋轉(zhuǎn)變換矩陣；S(p)矩陣為*機器人研究所19第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換例題2：已知坐標系{A}和對基坐標系的微分平移與微分旋轉(zhuǎn)分別為求對坐標系{A}的等價微分平移和微分旋轉(zhuǎn)。*機器人研究所20第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換解：旋轉(zhuǎn)矩陣R為S(p)矩陣為*機器人研究所21第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換解：先求矩陣-RTS(p)*機器人研究所22第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換解：再帶入公式中*機器人研究所23第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換解：對坐標系{A}的等價微分平移和微分旋轉(zhuǎn)分別為*機器人研究所24第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換解：下面來驗證例題1所求結(jié)果由，則先求*機器人研究所25第1節(jié)機器人的微分運動2.微分運動的等價變換解：下面來驗證例題1所求結(jié)果由，則*機器人研究所26第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義操作臂的雅克比矩陣:為操作速度與關節(jié)速度的線性關系。操作臂的運動方程代表操作空間X與關節(jié)空間q之間的位移關系將上式兩邊對時間t求導，得出q與X的微分關系*機器人研究所27第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義稱為機器人末端在操作空間的廣義速度，為關節(jié)速度；為的偏導數(shù)矩陣，稱為雅克比矩陣。*機器人研究所28第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：R-P平面機械手如圖所示，有兩個關節(jié)，一個旋轉(zhuǎn)關節(jié)(θ)，一個移動關節(jié)(r)。運動方程為*機器人研究所29第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：將方程兩邊對時間t求導，得到操作速度與關節(jié)速度之間的關系*機器人研究所30第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：表示成矢量形式為末端抓手的操作速度矢量；為關節(jié)速度矢量；為雅克比矩陣。*機器人研究所31第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：由式，可以解出關節(jié)速度稱為逆雅克比矩陣。*機器人研究所32第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題1：當時，逆矩陣不存在，與操作速度對應的關節(jié)速度可能變?yōu)椴桓F大。這種形位稱為奇異狀態(tài)。奇異狀態(tài)*機器人研究所33第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題2：平面2R機械手，有兩個平行的轉(zhuǎn)動關節(jié)，運動學方程為將等式兩端對時間求導：(x,y)*機器人研究所34第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題2：*機器人研究所35第2節(jié)機器人的雅克比矩陣1.雅克比矩陣的定義例題2：判斷機器人的奇異狀態(tài)當或時，，機器人處于奇異狀態(tài)。*機器人研究所36第2節(jié)機器人的雅克比矩陣2.雅克比矩陣的求法*機器人研究所37第2節(jié)機器人的雅克比矩陣2.雅克比矩陣的求法對于移動關節(jié)i因此得到雅克比矩陣的第i列表示坐標系{i}的Z軸單位向量。*機器人研究所38第2節(jié)機器人的雅克比矩陣2.雅克比矩陣的求法對于轉(zhuǎn)動關節(jié)i，在末端抓手上產(chǎn)生的角速度為同時在抓手上產(chǎn)生的線速度為

表示末端抓手坐標系的原點相對于坐標系{i}的位置在基坐標系{0}的表示，*機器人研究所39第2節(jié)機器人的雅克