高等代數(shù)線性代數(shù)集合映射線性空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)

高等代數(shù)線性代數(shù)集合映射線性空間的定義及簡(jiǎn)單性質(zhì)1第一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一、集合二、映射§6.1

集合·映射2第二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一、集合把一些事物匯集到一起組成的一個(gè)整體就叫做集合；常用大寫字母A、B、C等表示集合；當(dāng)a是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a屬于A，記作：

當(dāng)a不是集合A的元素時(shí)，就說(shuō)a不屬于A，記作：

1、定義組成集合的這些事物稱為集合的元素．

用小寫字母a、b、c等表示集合的元素．

☆3第三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日☆集合的表示方法一般有兩種：描述法、列舉法

描述法：給出這個(gè)集合的元素所具有的特征性質(zhì).列舉法：把構(gòu)成集合的全部元素一一列舉出來(lái).例1例2N＝，2Z＝例3

M＝｛x|x具有性質(zhì)P｝

M＝｛a1，a2，…，an｝4第四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2、集合間的關(guān)系

☆如果B中的每一個(gè)元素都是A中的元素，則稱B是

A的子集，記作，（讀作B包含于A）當(dāng)且僅當(dāng)

☆空集：不含任何元素的集合，記為φ．注意：｛φ｝≠φ

☆如果A、B兩集合含有完全相同的元素，則稱

A與

B相等，記作A＝B

.A＝B當(dāng)且僅當(dāng)且

約定：

空集是任意集合的子集合.5第五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日3、集合間的運(yùn)算

交：；

并：

顯然有，6第六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日二、映射設(shè)M、M′是給定的兩個(gè)非空集合，如果有一個(gè)對(duì)應(yīng)法則σ，通過(guò)這個(gè)法則σ對(duì)于M中的每一個(gè)元素a，都有M′中一個(gè)唯一確定的元素a′與它對(duì)應(yīng),則稱

σ為稱a′為a在映射σ下的象，而a稱為a′

在映射σ下的M到M′的一個(gè)映射，記作:原象，記作σ(a)＝a′1、定義7第七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日①設(shè)映射,集合稱之為M在映射σ下的象，通常記作Imσ．②集合M到M自身的映射稱為M的一個(gè)變換．

顯然，注

8第八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例1判斷下列M到M′對(duì)應(yīng)法則是否為映射

1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3,4｝

σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

δ：δ(a)＝1,δ(b)＝2,δ(c)＝3,δ(c)＝4τ：τ(b)＝2，τ(c)＝4

2）M＝Z，M′＝Z＋，σ：σ(n)＝|n|,

τ：τ(n)＝|n|＋1,

（不是）

（是）

（不是）

（不是）

（是）

9第九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日σ：σ(a)＝a0，

4）M＝P，M′＝，（P為數(shù)域）τ：τ(a)＝aE，（E為n級(jí)單位矩陣）5）M、M′為任意兩個(gè)非空集合，a0是M′中的一個(gè)固定元素.

（是）（是）6）M＝M′＝P[x]（P為數(shù)域）

σ：σ(f(x))＝f′(x)，（是）3）M＝，M′＝P，（P為數(shù)域）

σ：σ(A)＝|A|，（是）

10第十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例2

M是一個(gè)集合，定義I：

I(a)＝a，即I把M上的元素映到它自身，I是一個(gè)映射，例3

任意一個(gè)在實(shí)數(shù)集R上的函數(shù)y＝f(x)

都是實(shí)數(shù)集R到自身的映射，即，函數(shù)可以看成是稱I為M上的恒等映射或單位映射．

映射的一個(gè)特殊情形．

11第十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日2、映射的乘積設(shè)映射，

乘積定義為：

(a)＝τ(σ(a))

即相繼施行σ和τ的結(jié)果，是M到M"的一個(gè)

映射．

①對(duì)于任意映射，有

②設(shè)映射，

有注：12第十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日3、映射的性質(zhì):設(shè)映射1）若，即對(duì)于任意，均存在（或稱

σ為映上的）；

2）若M中不同元素的象也不同，即

（或），

則稱σ是M到M′的一個(gè)單射（或稱σ為1—1的）；

3）若σ既是單射，又是滿射，則稱σ為雙射,，使

，則稱σ是M到M′的一個(gè)滿射（或稱σ為1—1對(duì)應(yīng)）

13第十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例4判斷下列映射的性質(zhì)1）M＝｛a，b，c｝、M′＝｛1,2，3｝σ：σ(a)＝1，σ(b)＝1，σ(c)＝2

（既不單射，也不是滿射）

τ：τ(a)＝3，τ(b)＝2，τ(c)＝1

2）M=Z，M′＝Z＋，τ：τ(n)＝|n|＋1,（是滿射，但不是單射）

3）M＝，M′＝P，（P為數(shù)域）

σ：σ(A)＝|A|，（是滿射，但不是單射）

（雙射）14第十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日4）M＝P，M′＝

P為數(shù)域,E為n級(jí)單位矩陣τ：τ(a)＝aE，（是單射，但不是滿射）

σ：σ(a)＝a0，（既不單射，也不是滿射）

6）M＝M′＝P[x]，P為數(shù)域σ：σ(f(x))＝f′(x)，（是滿射，但不是單射）

7）M是一個(gè)集合，定義I：I(a)＝a，

8）M=Z，M′＝2Z，σ：σ(n)＝2n,（雙射）

（雙射）

5）M、M′為任意非空集合，

為固定元素

15第十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日①對(duì)于有限集來(lái)說(shuō)，兩集合之間存在1—1對(duì)應(yīng)的充要條件是它們所含元素的個(gè)數(shù)相同；

②對(duì)于有限集A及其子集B，若B≠A（即B為A的真子集），則

A、B之間不可能存在1—1對(duì)應(yīng)；但是對(duì)于無(wú)限集未必如此.注：如例4中的8），σ是1—1對(duì)應(yīng)，但2Z是Z的真子集．

M=Z，M′＝2Z，σ：σ(n)＝2n,16第十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日4、可逆映射定義：設(shè)映射若有映射使得則稱σ為可逆映射，τ為σ的逆映射，①若σ為可逆映射，則σ－1也為可逆映射，且（σ－1）－1＝σ．注：②為可逆映射，，若σ的逆映射是由σ唯一確定的記作σ－1．17第十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日③σ為可逆映射的充要條件是σ為1—1對(duì)應(yīng)．證：若映射為1—1對(duì)應(yīng)，則對(duì)均存在唯一的，使σ(x)＝y(tǒng)，作對(duì)應(yīng)

即；

即∴σ為可逆映射．

則τ是一個(gè)M′到M的映射,且對(duì)

18第十八頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日即,

所以σ為滿射.

其次，對(duì)，則

即σ為單射.所以．σ為1—1對(duì)應(yīng)．反之，設(shè)

為可逆映射，則

19第十九頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日補(bǔ)充雙射（或者1——1對(duì)應(yīng)）的傳遞性20第二十頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日小結(jié)：集合的概念我們并不陌生。這里重要的集合的表達(dá)和運(yùn)算。另外一個(gè)重要的是映射。我們要了解映射其實(shí)就是一種法則，這種法則使得集合之間的元素產(chǎn)生聯(lián)系，我們可以說(shuō)這種聯(lián)系使得某個(gè)集合中的每一個(gè)元素有了自己的老師（當(dāng)然也可以是其他關(guān)系）。請(qǐng)你們?cè)偃ニ伎迹簡(jiǎn)紊?、滿射和雙射吧。作業(yè)：復(fù)習(xí)集合映射，P268:1,2(選一個(gè))21第二十一頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一、線性空間的定義二、線性空間的簡(jiǎn)單性質(zhì)§6.2

線性空間的定義與簡(jiǎn)單性質(zhì)22第二十二頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日而且這兩種運(yùn)算滿足一些重要的規(guī)律,如對(duì)引例1空間Pn，定義了兩個(gè)向量的加法和數(shù)量乘法：在第三章§2中，我們討論了數(shù)域P上的n維向量23第二十三頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日同樣滿足上述這些重要的規(guī)律，即對(duì)

數(shù)域P上的一元多項(xiàng)式環(huán)P[x]中，定義了兩個(gè)多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的乘法，而且這兩種運(yùn)算引例224第二十四頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日一、線性空間的定義設(shè)V是一個(gè)非空集合，P是一個(gè)數(shù)域，在集合V中定義了一種代數(shù)運(yùn)算，叫做加法：即對(duì)，

在V中都存在唯一的一個(gè)元素與它們對(duì)應(yīng)，稱為的和，記為；在P與V的元素之間還定義了一種運(yùn)算，叫做數(shù)量乘法：即在V中都存在唯一的一個(gè)元素δ與它們對(duì)應(yīng)，稱δ為的數(shù)量乘積，記為如果加法和數(shù)量乘法還滿足下述規(guī)則，則稱V為數(shù)域P上的線性空間：25第二十五頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日加法滿足下列四條規(guī)則：

①

⑤

⑥

數(shù)量乘法與加法滿足下列兩條規(guī)則：

⑦

（具有這個(gè)性質(zhì)的元素0稱為V的零元素）

數(shù)量乘法滿足下列兩條規(guī)則

:②

⑧

④

對(duì)

都有V中的一個(gè)元素β，使得

;（β稱為的負(fù)元素）

③

在V中有一個(gè)元素0，對(duì)26第二十六頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日3．線性空間的判定：注：

1．凡滿足以上八條規(guī)則的加法及數(shù)量乘法也2．線性空間的元素也稱為向量，線性空間也稱向量空間．但這里的向量不一定是有序數(shù)組．稱為線性運(yùn)算．就不能構(gòu)成線性空間．運(yùn)算封閉但不滿足八條規(guī)則中的任一條，則此集合若集合對(duì)于定義的加法和數(shù)乘運(yùn)算不封閉，或者27第二十七頁(yè)，共二十九頁(yè)，2022年，8月28日例1引例1,2中的Pn,P[x]均為數(shù)域P上的線性空