高中數(shù)學(xué)232數(shù)學(xué)歸納法應(yīng)用評估訓(xùn)練A選修22試題

第2課時數(shù)學(xué)(shùxué)概括法的應(yīng)用雙基達標(biāo)限時20分鐘1．利用數(shù)學(xué)概括法證明1＋1＋1＋＋1<1(n∈N*，且≥2)時，第二步由k到k＋nn＋1n＋22nn時不等式左端的變化是()．1A．增添了2k＋1這一項B．增添了1和1兩項2k＋12k＋2C．增添了1112k＋1和2k＋2兩項，同時減少了k這一項D．以上都不對分析不等式左端一共有n＋1項，且分母是首項為n，公差為1，末項為2n的等差數(shù)111111列，當(dāng)n＝k時，左端為k＋k＋1＋k＋2＋＋2k；當(dāng)n＝k＋1時，左端為k＋1＋k＋21111＋k＋3＋＋2k＋2k＋1＋2k＋2，對比兩式，可得結(jié)論．答案C2．用數(shù)學(xué)概括法證明“當(dāng)n為正奇數(shù)時，xn＋yn能被x＋y整除〞的第二步是()．A．倘若n＝2k＋1時正確，再推n＝2k＋3正確B．倘若n＝2k－1時正確，再推n＝2k＋1正確C．倘若＝k時正確，再推＝＋1正確nnkD．倘若n≤k(k≥1)，再推n＝k＋2時正確(以上k∈N*)分析由于n為正奇數(shù)，據(jù)數(shù)學(xué)概括法證題步驟，第二步應(yīng)先假定第k個正奇數(shù)也成立，本題即假定n＝2k－1正確，再推第(k＋1)個正奇數(shù)即n＝2k＋1正確．答案(dáàn)B3．平面內(nèi)有n條直線(∈N*)，設(shè)這n條直線最多將平面切割成f()個局部，那么f(n＋1)nn等于()．A．f(n)＋n－1B．f(n)＋nC．f(n)＋n＋1D．f(n)＋n＋2分析要使這n條直線將平面所切割成的局部最多，那么這n條直線中任何兩條不平行，任何三條不一共點．由于第n＋1條直線被原n條直線分紅n＋1條線段或許射線，這n＋1條線段或許射線將它們所經(jīng)過的平面地區(qū)都一分為二，故f(n＋1)比f()n多了n＋1局部．答案C4．Sn＝1111，那么S1＝________，S2＝1·3＋3·5＋5·7＋＋2－12＋1nn________，S3＝________，S4＝________，猜想S＝________.n分析分別將1,2,3,4代入察看猜想nnS＝2n＋1.答案1234n35792n＋15．用數(shù)學(xué)概括法證明“當(dāng)n為正偶數(shù)時xn－yn能被x＋y整除〞第一步應(yīng)考證n＝________時，命題建立；第二步概括假定建立應(yīng)寫成________________．分析由于n為正偶數(shù)，故第一個值n＝2，第二步假定n取第k個正偶數(shù)建立，即n＝2k，故應(yīng)假定成x2k－y2k能被x＋y整除．答案2x2k－y2k能被x＋y整除6．用數(shù)學(xué)概括法證明：11111＋22＋32＋＋n2＜2－n(n≥2)．證明(zhèngmíng)：(1)當(dāng)n＝2時，1＋12＝5＜2－1＝3，命題建立．24221111假定當(dāng)n＝k時命題建立，即1＋22＋32＋＋k2＜2－k，當(dāng)n＝k＋1時，111111111111＋22＋32＋＋k2＋k＋12＜2－k＋k＋12＜2－k＋kk＋1＝2－k＋k－k＋1＝2－1，命題建立．k＋1由(1)、(2)知原不等式在n≥2時均建立．綜合進步限時25分鐘11111*7．用數(shù)學(xué)概括法證明不等式n＋1＋n＋2＋＋2n>24(n∈N)的過程中，由n＝k遞推到n＝k＋1時，以下說法正確的選項是()．A．增添了一項1k＋1211B．增添了兩項和2k＋12k＋1C．增添了B中的兩項，但又減少了一項1k＋1D．增添了A中的一項，但又減少了一項1k＋1分析當(dāng)n＝k時，不等式左側(cè)為1＋11＋＋＋，k1k＋22k當(dāng)n＝k＋1時，不等式左側(cè)為1＋1＋＋111k＋2k＋2k＋＋.32k＋12k＋2答案C8．命題P(n)知足：假定n＝k(k∈N*)建立，那么n＝k＋1建立，下邊說法正確的選項是()．A．P(6)建立(chénglì)那么P(5)建立B．P(6)建立那么P(4)建立C．P(4)建立那么P(6)建立D．對全部正整數(shù)n，P(n)都建立分析由題意知，P(4)建立，那么P(5)建立，假定P(5)建立，那么P(6)建立．因此P(4)建立，那么P(6)建立．答案C23n－1n*都建立，那么a、b、9．1＋2×3＋3×3＋4×3＋＋n×3＝3(na－b)＋c對全部n∈N的值是________．分析∵等式對全部n∈N*均建立，∴n＝1,2,3時等式建立，即：1＝3a－b＋c，1＋2×3＝322a－b＋，c1＋2×3＋3×32＝333a－b＋c，3a－3b＋c＝1，11整理得18a－9b＋c＝7，解得a＝2，b＝c＝4.81a－27b＋c＝34，11答案a＝2，b＝c＝4an*10．?dāng)?shù)列{an}中，a1＝2，an＋1＝3an＋1(n∈N)，挨次計算出a2，a3，a4后，概括、猜想得出an的表達式為________．分析1223242n2a＝2，a＝7，a＝13，a＝19，猜想a＝6－5.n2答案an＝6n－5n111111．求證：1＋2≤1＋2＋3＋＋2n≤2＋n.1證明(1)當(dāng)n＝1時，f(1)＝1＋2，原不等式建立；設(shè)n＝k(k∈N*)時，原不等式建立k1111即1＋2≤1＋2＋3＋＋2k≤2＋k建立，當(dāng)n＝k＋1時，111k111k(k＋1)＝f(k)＋2k＋1＋2k＋2＋＋2k＋1≥1＋2＋2k＋1＋2k＋2＋＋2k＋1>1＋2＋k1k＋11＋2＋2＝1＋2，f(k＋1)＝f(k)＋k1＋k111＋k＋1＋1＋＋11＋1＋＋2k＋1≤k＋1k＋22k＋1<＋k＋22＋222221f(k＋1)<2＋(k＋1)即n＝k＋1時，命題(mìngtí)建立．綜合(1)、(2)可得：原命題對n∈N*恒建立．12．(創(chuàng)新拓展)數(shù)列{an}知足Sn＝2n－an，n∈N*，先計算前4項后猜想an，并用數(shù)學(xué)概括法證明．證明當(dāng)n＝1時，S1＝2－a1，∴a1＝1，3n＝2時，S2＝a1＋a2＝4－a2，∴a2＝2，7n＝3時，S3＝a1＋a2＋a3＝6－a3，∴a3＝4，15n＝4時，S4＝a1＋a2＋a3＋a4＝8－a4，∴a4＝8.2n－1∴猜想an＝2n－1.用數(shù)學(xué)概括法證明：①當(dāng)n＝1時，a1＝1，猜想建立，2k－1②假定n＝k時猜想建立，即ak＝2k－1建立．那么，當(dāng)n＝k＋1時，Sk＋1＝2(k＋1)－ak＋1＝Sk＋ak＋1＝2k－ak＋ak＋1，∴2ak＋1＝2＋ak＝2k－12k＋1－12＋2k－1＝2k－1，2k＋1－1∴a＋1＝2k，即n＝k＋1時猜想(cā