哈爾濱某大學(xué)結(jié)構(gòu)力學(xué)I一零

四、多自由度體系的振動多自由度無阻尼自由振動振型的正交性多自由度的受迫振動桿系結(jié)構(gòu)有限元動力分析多自由度時程分析方法結(jié)論與討論雖然很多工程問題可以化為單自由度問題計算，但為了有足夠的分析精度，一些問題也必須作多自由度進行分析。在等效粘滯阻尼理論下，第二章討論了兩和多自由度體系的運動方程，理論上阻尼矩陣[C]=[Cij]，Cij表示j自由度單位速度引起的i自由度方向的阻尼力。但實際上Cij一般是確定不了的。目前多自由度問題分析先求無阻尼自由振動確定頻率、振型等動力特性，然后利用振型的正交性，在假定阻尼矩陣也正交條件下，將多自由度分析通過振型分解化為單自由度問題的組合來解決。再一次體現(xiàn)了，化未知問題為已知問題的研究方法和思想。對復(fù)雜荷載情況（象地震地面運動等離散荷載）要用時程分析方法或隨機振動理論來解決（第六章）。因此，首先介紹無阻尼自由振動。4.1多自由度無阻尼自由振動多自由度運動方程為無阻尼自由振動運動方程為設(shè)其解為{A}sint，代入運動方程可得(-2[M]+[K]){A}sint={0}為使系統(tǒng)有非零的振動解答，必須│-2[M]+[K]│=0（1）或者(-2[M]+[K]){A}={0}（2）上述兩式分別稱為頻率和特征方程。由式（1）展開可得雙n次方程，對一般建筑工程結(jié)構(gòu)，求解可得到n個實的不等的正根，它們即為系統(tǒng)的頻率。但一般更多是從式（2）出發(fā)。4.1多自由度無阻尼自由振動式（2）可改寫為

2[M]{A}=[K]{A}（3）數(shù)學(xué)上稱作廣義特征值問題。為了將其化為標(biāo)準(zhǔn)實對稱矩陣特征值問題，需作如下改造：設(shè)[M]=([M]1/2)T[M]1/2（4）[M]1/2{A}={X}則{A}=([M]1/2)-1{X}（5）代回式（3）得2([M]1/2)T{X}=[K]([M]1/2)-1{X}（6）方程兩邊再左乘[([M]1/2)T]-1，則2{X}=[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1{X}（7）記[([M]1/2)-1]T[K]([M]1/2)-1=[D]

（8）由于[K]是對稱矩陣，從式（8）可見[D]是對稱矩陣。將式（8）代入式（7）可得2{X}=[D]{X}（9）4.1多自由度無阻尼自由振動式2{X}=[D]{X}（9）就是實對稱矩陣標(biāo)準(zhǔn)特征值問題的方程，利用線性代數(shù)所介紹的特征值問題解法就可求得[D]矩陣的特征對[2，{X}]，再由式（5）可求得廣義特征問題的振型矩陣{A}。由數(shù)學(xué)可知，對建筑工程一般問題，從n階的特征方程（3）可求得n個特征對，也即有n個頻率i以及和i對應(yīng)的振型{A}i。按i從小到大排列可得結(jié)構(gòu)的頻譜，1和{A}1分別稱為第一頻率（基本頻率或基頻）、第一振型。其他依次稱第二、第三等等頻率、振型。有了任意n自由度問題自由振動解法、結(jié)論，兩自由度問題可以作為它的特例，按上述解法、思路進行分析。4.1多自由度無阻尼自由振動對兩自由度問題來說，根據(jù)具體問題運動方程可以用剛度法建立，也可以用柔度法建立。因此，教材上分別基于剛度法和柔度法進行了具體討論，給出了頻率、振型和剛度系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系以及和柔度系數(shù)、質(zhì)量的關(guān)系。這些公式能記住更好，但我認(rèn)為不記也沒關(guān)系，關(guān)鍵是記住如下一些基本概念。1）在無阻尼自由振動下-[M]{ü}=[K]{u}，也即慣性力和彈性恢復(fù)力平衡，且它們同相位。因此如果設(shè)振幅為{A}，式（3）也可通過列慣性力、恢復(fù)力的幅值方程得到。2）當(dāng)基于柔度法時，位移由慣性力引起，柔度法特征方程同上理由（同相位），也可直接列幅值方程建立{A}=2[f][M]{A}（10）3）拿上具體問題后，關(guān)鍵是正確確定[M]、[K]或[f]，有了它們不管什麼結(jié)構(gòu)，由統(tǒng)一格式可寫出式（3）或式（10）。4.1多自由度無阻尼自由振動4）兩自由度問題n=2。展開特征方程將得到雙二次頻率方程，根據(jù)具體的剛、柔度系數(shù)和質(zhì)量，解此頻率方程即可得頻率1和2。5）將頻率1和2代回特征方程只能得到和某頻率對應(yīng)的位移比值（齊次方程只能得到比值），對它可以進行“規(guī)格化”,一般使最大值等于1，即可得振型。6）自由振動的通解可由各頻率的簡諧振動解答疊加得到，振幅、相位由質(zhì)量的初位移、初速度（n個自由度有2n個初始條件）來確定。綜上可見，有了[M]、[K]或[f]，剩余工作主要是數(shù)學(xué)運算了。但要達到熟練掌握，必須到SMCAI里多看一些例子、多做一些練習(xí)。限于學(xué)時這里不舉例了。4.2振型的正交性因為i2[M]{A}i=[K]{A}i、j2[M]{A}j=[K]{A}j前一式左乘{A}jT、后一式左乘{A}iT，再將兩式相減，由于質(zhì)量、剛度的對稱性，可得(i2-j2){A}jT[M]{A}i=0(11)由此可得{A}jT[M]{A}i=0(12)上式乘j2，考慮到j(luò)2[M]{A}j物理意義是第j振型對應(yīng)的慣性力幅值，因此式（12）表明第j振型對應(yīng)的慣性力在第i振型位移上不做功。從式（12）和特征方程立即可證{A}jT[K]{A}i=0(13)它表明第j振型對應(yīng)的彈性恢復(fù)力在第i振型位移上不做功。4.2振型的正交性式(12)和式(13)從數(shù)學(xué)上說，是不同振型對質(zhì)量、剛度加權(quán)正交。也即振型具有正交性。從第i振型幅值方程，立即可得i2{A}iT[M]{A}i={A}iT[K]{A}i(14)記Mi*={A}iT[M]{A}i(15)稱作第i振型廣義質(zhì)量，記Ki*={A}iT[K]{A}i(16)稱作第i振型廣義剛度。則i2=Ki*/Mi*(17)也即第i頻率的平方可象單自由度一樣，由廣義剛度和質(zhì)量來求。式(12)和(13)是最基本、最常用的正交關(guān)系。4.2振型的正交性因為i2[M]{A}i=[K]{A}i(a)兩邊同時左乘{A}jT[K][M]-1，則i2{A}jT[K][M]-1[M]{A}i==i2{A}jT[K]{A}i=i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=0

(b)式(a)兩邊同時左乘{A}jT[K][M]-1[K][M]-1，則可證i2{A}jT[K][M]-1[K]{A}i=i2{A}jT[K]([M]-1[K])2{A}i=0(c)按此思路繼續(xù)左乘,即可證明{A}jT[K]([M]-1[K])n{A}i=0(18)類似地，請自行證明{A}jT[M]([K]-1[M])n{A}i=0(19)式(18)和式(19)中n是正整數(shù)。它們還可合并為一個式子，請大家思考如何合并？這是更一般的正交關(guān)系。4.2振型的正交性式(12)和(13)[或式(18)和(19)]正交性在多自由度度分析中有極重要要的作用，應(yīng)該深刻理解。。利用正交性可作如如下工作：1）在正確確定[K]、[M]前提下，可用它校校核振型計算的正正確性。2）已知振型、[K]、[M]的條件下，可用它它求振型對應(yīng)的頻頻率。3）可用正交性將任意意位移分解成振型型的組合。例如有有位移{y}，可設(shè){y}=ci{A}i，ci為組合系數(shù)。等式式兩邊同時左乘{A}jT[M]，根據(jù)正交性則有{A}jT[M]{y}=cjMj*(d)由此可求出組合系系數(shù)cj，代回{y}=ci{A}i即可得按振型分解解的結(jié)果。4.2振型的正交性4）可將多自由度問問題化成單自由度度問題來解決。實實際上，只要設(shè){u(t)}=yi(t){A}i，代入運動方程可得得[M]?i(t){A}i+[K]yi(t){A}i={0}(e)方程兩邊同時左乘乘{A}jT，根據(jù)正交性則有Mj*?j(t)+Kj*yi(t)=0(20)從式(20)可得(根據(jù)單自由度自由由振動結(jié)果)yi(t)=aisin(it+ci)(f)代回多自由度所假假設(shè)的解，即可得得{u(t)}=aisin(it+ci){A}i(21)5）式(21)中的待定常數(shù)ai、ci可由初始條件確定定。如何確定請自自行考慮。6）正交性還是受迫迫振動分析的基礎(chǔ)礎(chǔ)。4.3多自由度的受迫振振動4.3.1多自由度受迫振動動的振型分解法多自由度任意荷載載下運動方程為象上節(jié)4）一樣，設(shè){u}=yi(t){A}i，也即位移分解成各各振型的組合，組組合系數(shù)yi(t)稱廣義坐標(biāo)。則[M]?i(t){A}i+[C]yi(t){A}i+[K]yi(t){A}i={P(t)}(a)如果阻尼矩陣對振振型不正交，也即即{A}jT[C]{A}i0(b)則式(a)將是聯(lián)列的微分方方程組，求解將是是很困難的。為此此，通常引入正交交阻尼假設(shè)，也稱稱Rayleigh(瑞利)比例阻尼如下[C]=0[M]+1[K](22)也即認(rèn)為阻尼和系系統(tǒng)質(zhì)量、剛度成成正比，0比1可用振型正交性由由阻尼比i，j和頻率i，j確定(作業(yè))。4.3多自由度的受迫振振動在正交阻尼假設(shè)下下，{A}iT[C]{A}i=Ci*(23)式(a)兩邊同時左乘{A}iT，則可得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)={A}iT{P(t)}(24)其中Mi*、Ci*、Ki*分別稱為第i振型廣義質(zhì)量、廣義阻阻尼、廣義剛度。再記第i振型廣義荷載為{A}iT[P(t)]=Pi*(t)(25)則式(24)是廣義坐坐標(biāo)yi(t)的單自由由度方程程Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=Pi*(t)(26)利用Duhamel積分可求求出式(26)的解答為為代回{u}=yi(t){A}i，即可得多多自由度度受迫振振動解答答。脈響函數(shù)自由振動4.3多自由度度的受迫迫振動如果[P(t)]=[P]f(t)(27)則Pi*(t)={A}iT[P]f(t)=Pi*f(t)(c)記i={A}iT[P]/Mi*=Pi*/Mi*(28)稱為第i振型的振型參與與系數(shù)。則可得得Mi*?i(t)+Ci*yi(t)+Ki*yi(t)=iMi*f(t)(29)或?i(t)+2iiyi(t)+i2yi(t)=if(t)(30)在零初始始條件下下，廣義義坐標(biāo)為為代回{u}=yi(t){A}i，即可得{u}=ii(t){A}i。i(t)稱為第i振型的廣義位移移。(31)(32)4.3多自由度度的受迫迫振動4.3.2簡諧荷載載下的受受迫振動動反應(yīng)設(shè)動荷載載（轉(zhuǎn)動動機器引引起）為為{P(t)}={P}sint(33)則由式(28)可求得各各振型的的振型參參與系數(shù)數(shù)i，當(dāng)只討論論穩(wěn)態(tài)振振動，并并且認(rèn)為為i=i,d(忽略阻尼尼對頻率率的影響響)時，根據(jù)據(jù)單自由由度所得得結(jié)果，，廣義位位移為i(t)=isin(it-i)/i2(34)式(34)中i為第i振型動力力系數(shù)i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2(35)其中i為第i振型頻率率比(i=/i)，i為第i振型相位位角tgi=2i/i(1-i2)(36)將式(34)代回{u}=ii(t){A}i，得{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)無阻尼情情況自然然可以當(dāng)當(dāng)作有阻阻尼情況況的特例例，在上上述結(jié)果果中令i=0得到。4.3多自由度度的受迫迫振動4.3.3簡諧荷載載受迫振振動反應(yīng)應(yīng)分析步步驟當(dāng)動荷載載為{P}sint[或{P}cost]時，多自自由度系系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)態(tài)反應(yīng)分分析，可可按如下下步驟進進行1）確定系系統(tǒng)質(zhì)量量[M]、剛度[K]（或柔度[f]）矩陣。2）求無阻阻尼自由由振動的的振型{A}i、頻率i。3）用阻尼比比1,2和頻率1,2求瑞利阻阻尼的0和1。4）求i振型振型型參與系系數(shù)i={A}iT[P]/{A}iT[M]{A}i。5）求i振型阻尼尼比i=1/2(0/i+1i)6）求i振型動動力系系數(shù)i=[(1-i2)2+4i2i2]-1/2。7）求i振型相相位角角i=arctg[2i/i(1-i2)]。8）求i振型廣廣義位位移i(t)=isin(it-i)/i2。9）將各振振型廣廣義位位移代代回{u}=ii(t){A}i，則得最最終結(jié)結(jié)果{u(t)}=[iisin(it-i)/i2]{A}i(37)4.4桿系結(jié)結(jié)構(gòu)有有限元元動力力分析析4.4.1基本原原理對動力力問題題，設(shè)設(shè)單元元位移移場仍仍表示示成[d]=[N][d]e，只是現(xiàn)現(xiàn)在[d]=[d(x,t)]，[d]e=[d(t)]。設(shè)桿單單元的的密度度為，將微段段慣性性力-[a]Adx作為體積積力，，則這一一單元元荷載載的總總虛功功為(38)引入單單元一一致質(zhì)質(zhì)量矩矩陣[m]e(39)4.4桿系結(jié)結(jié)構(gòu)有有限元元動力力分析析由式(39)代入形形函數(shù)數(shù)并積積分，，對質(zhì)質(zhì)量均均勻分分布的的平面面彎曲曲單元元，其其單元元一致致質(zhì)量量矩陣陣[m]e為(40)作業(yè)：：試求求拉壓壓桿單單元的的一致致質(zhì)量量矩陣陣[k]。4.4桿系結(jié)結(jié)構(gòu)有有限元元動力力分析析當(dāng)在無無阻尼尼情況況下，，用虛虛位移移原理理進行行單元元分析析可得得單元元剛度度方程程（注意意：現(xiàn)現(xiàn)在的的分析析是對對單元元局部部坐標(biāo)標(biāo)系的的）由此““單元元剛度度方程程”出出發(fā)，，經(jīng)坐標(biāo)標(biāo)轉(zhuǎn)換換、整整體集集裝（（定位向向量““對號號入座座”））后，可得有限元元所建建立的的運動動方程程(41)(42)如果要要考慮慮阻尼尼，則則可利利用瑞瑞利阻阻尼，，由結(jié)結(jié)構(gòu)一一致質(zhì)質(zhì)量矩矩陣[M]和結(jié)構(gòu)構(gòu)剛度度矩陣陣[K]來建立立結(jié)構(gòu)構(gòu)阻尼尼矩陣陣[C]。4.4桿系結(jié)結(jié)構(gòu)有有限元元動力力分析析4.4.2幾點說說明1）以單單元上上無荷荷載作作用，，僅產(chǎn)產(chǎn)生單單位位位移的的形函函數(shù)作作為單單元位位移場場，這這是常常用的的一種種近似似處理理。2）結(jié)構(gòu)構(gòu)一致致質(zhì)量量矩陣陣和結(jié)結(jié)構(gòu)剛剛度矩矩陣非非零元元素分分布一一樣。。3）Clough教授曾曾經(jīng)指指出，，對于于框架架結(jié)構(gòu)構(gòu)，將將桿件件一半半質(zhì)量量集中中在桿桿端，，用集集中質(zhì)質(zhì)量法法計算算不僅僅在處處理后后可減減少未未知數(shù)數(shù)個數(shù)數(shù)（自自由度度），，而且且往往往精度度更好好。4）當(dāng)當(dāng)采用用集中中質(zhì)量量法時時，[M]中相應(yīng)應(yīng)轉(zhuǎn)動動自由由度的的對角角線元元素（（轉(zhuǎn)動動慣量量）為為零，，假設(shè)設(shè)位移移編碼碼將轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)動自自由度度集中中在最最后編編，則則無阻阻尼運運動方方程分分塊形形式為為[M1][ü]+[K11][u]+[K12][]=[R1][K21][u]+[K22][]=[R2]由此消去[]，可得只有有線位移自由由度的方程。。4.4桿系結(jié)構(gòu)有限限元動力分析析4.4.2幾點說明5）如果分析時時用集中質(zhì)量量法且不考慮慮軸向變形，，則集裝后最最終質(zhì)量矩陣陣是每層質(zhì)量量對角排列的的形式。這是是目前桿系模模型的常用計計算方案。6）對于上述桿桿系模型的計計算程序，質(zhì)質(zhì)量矩陣很簡簡單。但是集集裝形成剛度度矩陣時，要做4）中所述的““靜力縮聚””。當(dāng)[R2]=[0]時，[K1]=[K11]-[K12][K22]-1[K21]，運動方程為[M1][ü]+[K1][u]=[R1](43)自由度數(shù)等于于框架的層數(shù)數(shù)。7）本節(jié)基本原原理是對桿系系結(jié)構(gòu)進行說說明的，象計計算結(jié)構(gòu)力學(xué)學(xué)力里一樣，，思路、方法法也可用于其其他位移有限限元動力分析析。8）程序Vibra可用來計算桿桿系結(jié)構(gòu)的自自振特性等等等，請大家使使用。4.5多自由度時程程分析方法4.5.1多自由度的線線加速度法在3.3節(jié)介紹了單自自由度線加速速度法，從運運動方程的相相似性mü+cú+ku=P(t)[M]{ü}+[C]{ú}+[K]{u}={P(t)}顯然在[0,t]時間間隔內(nèi)假假設(shè)加速度線線性變化,則將3.3節(jié)m,c,k,P換成[M]、[C]、[K]、{P(t)}，即可得到多自自由度線加速速度法的等效效剛度和等效效荷載。數(shù)值積分能做做線性、非線線性時程分析析，對非正交交阻尼矩陣也也能求解。重重要、高層結(jié)結(jié)構(gòu)要用時程程分析。4.5.2多自由度的Wilson-法線加速度法要要求t小于系統(tǒng)最最短周期的的1/10，當(dāng)自由度度很多時頻頻率將很高高周期很短短，這一要要求使計算算很費時間間。而且進進一步數(shù)學(xué)學(xué)分析表明明它是條件件穩(wěn)定的。。4.5多自由度時時程分析方方法Wilson提出，假設(shè)設(shè)[0,t]加速度線性性變化,仿線加速度度法進行推推導(dǎo),可得[K]*=a0[M]+a1[C]+[K](44){P(t+t)}*={P(t)}+({P(t+t)}-{P(t)})++[M](a0{u(t)}+a2{ú(t)}+2{ü(t)})++[C](a1{u(t)}+2{ú(t)}+a3{ü(t)})(45)[K]*{u(t+t)}={P(t+t)}*(46)由式(46)可解出{u(t+t)}，進一步可以以求的t+t時刻的狀態(tài)態(tài)向量。4.5.3Wilson-法的步驟1）形成系統(tǒng)統(tǒng)[M]、[C]、[K]；2）確定初始狀狀態(tài)向量{u(0)}、{ú(0)}、{ü(0)}；3）確定(一般為1.4)和t;按以下公式式計算常數(shù)數(shù)4.5多自由度時時程分析方方法a0=6/(t)2;a1=3/(t);a2=2a1;a3=t/2;a4=a0/;a5=-a2/;a6=1-3/;a7=t/2;a8=t2/6(47)4）按式(44)計算等效剛剛度；5）對等效剛剛度進行LDLT分解，獲得得D和L；6）按式(45)計算等效荷荷載；7）用線性方方程組的LDLT法解{u(t+t)}；8）按以下公式式計算t+t時刻的狀態(tài)態(tài)向量{ü(t+t)}=a4({u(t+t)}-{u(t)})+a5{ú(t)}+a6{ü(t)}{ú(t+t)}={ú(t)}+a7({ü(t+t)}+{ü(t)})(48){u(t+t)}={u(t)}+t{ú(t)}+a8({ü(t+t)}+2{ü(t)})9）按6）~8）逐步計算，求求整個時程的反反應(yīng)。4.5.4Wilson-法的幾點說明1）這是無條件穩(wěn)穩(wěn)定的算法；4.5多自由度時程分分析方法2）用這