高斯白噪聲平穩(wěn)過程過線性系統(tǒng)

高斯白噪聲平穩(wěn)過程過線性系統(tǒng)1第一頁，共二十八頁，2022年，8月28日高斯白噪聲的性質(zhì):設(shè)n（t）為高斯白噪聲1、自相關(guān)函數(shù)：可見，n(t)只在時(shí)才相關(guān)，它在任意兩個時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是互不相關(guān)的2、數(shù)學(xué)期望：E[n（t）]=03、對高斯隨機(jī)過程，不相關(guān)和獨(dú)立等價(jià)高斯白噪聲2第二頁，共二十八頁，2022年，8月28日理想白噪聲的功率譜密度和自相關(guān)函數(shù)高斯白噪聲3第三頁，共二十八頁，2022年，8月28日4、重要的結(jié)論：白噪聲的平均功率等于噪聲的方差（噪聲均值為零）噪聲的方差是個非常有用的結(jié)果，在通信理論分析中，常常通過求其自相關(guān)函數(shù)或方差來計(jì)算噪聲的功率。

高斯白噪聲第四頁，共二十八頁，2022年，8月28日5、若φ（t）為確定信號，令則X為高斯隨機(jī)變量，且數(shù)學(xué)期望=0，方差6、若為確定信號，則X1和X2均為期望為0的高斯隨機(jī)過程若則X1和X2不相關(guān)且獨(dú)立。

高斯白噪聲5第五頁，共二十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)設(shè):X(t)為平穩(wěn)隨機(jī)過程,線性系統(tǒng)的單位沖激響應(yīng)為h(t)，X(t)通過線性系統(tǒng)后的輸出為Y（t）。下面,我們研究一下Y（t）的特性：X（t）Y（t）=X（t）*h（t）h（t）第六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)7第七頁，共二十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)8第八頁，共二十八頁，2022年，8月28日

Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)9第九頁，共二十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)10第十頁，共二十八頁，2022年，8月28日

Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)11第十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)12第十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日由維納-辛欣定理，對上式左右兩端作付氏變換：經(jīng)過系統(tǒng)(傳輸函數(shù)是H(ω))后,X(t)的幅度和相位發(fā)生變化,這里我們只考慮功率,所以不必關(guān)心相位,只看幅度即可.若一個信號經(jīng)過系統(tǒng)后幅度被放大兩倍,則其輸出功率就是輸入功率的四倍.平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)13第十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日

Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)14第十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)所以，X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)為：X(t)和Y(t)的互功率譜密度為：15第十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日例：測量一個線性網(wǎng)絡(luò)的單位沖激響應(yīng)h（）將白噪聲記為X（t），其功率譜密度為則平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)h（t）×Ｘ（ｔ）Ｙ（ｔ）16第十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日

Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)17第十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日幾個結(jié)論：１、若Ｘ（ｔ）是正態(tài)隨機(jī)過程，則Ｙ（ｔ）也是正態(tài)隨機(jī)過程。２、若Ｘ（ｔ）的帶寬遠(yuǎn)大于系統(tǒng)帶寬，則Ｙ（ｔ）的概率密度趨于正態(tài)分布。例如：白噪聲通過一個帶寬有限的帶通系統(tǒng)，輸出為正態(tài)分布的隨機(jī)過程求誤碼率的問題：輸入是有用信號（+-1V）疊加高斯白噪聲，功率譜密度為N0/2，經(jīng)過一個帶寬為B的濾波器，求錯判概率平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)18第十八頁，共二十八頁，2022年，8月28日小結(jié)：

Y(t)的均值(統(tǒng)計(jì)平均)

Y(t)的自相關(guān)函數(shù)

Y(t)的功率譜密度

X(t)和Y(t)的互相關(guān)函數(shù)與互功率譜密度

Y(t)的概率密度平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)19第十九頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題1雙邊功率譜密度為N0/2的白噪聲經(jīng)過傳遞函數(shù)為H（f）的濾波器后成為X（t）。若求X（t）的功率譜密度及功率平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)20第二十頁，共二十八頁，2022年，8月28日解：X（t）的功率譜密度為X(t)的功率為：平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)21第二十一頁，共二十八頁，2022年，8月28日例題2已知平穩(wěn)白高斯噪聲的功率譜密度為N0/2,此噪聲經(jīng)過一個沖激響應(yīng)為h(t)的線性系統(tǒng)成為x(t),若已知h(t)的能量為Eh,求x(t)的功率。解：設(shè)h(t)的付氏變換為H（f）則22第二十二頁，共二十八頁，2022年，8月28日

隨機(jī)過程通過以fc為中心頻率的窄帶系統(tǒng)的輸出，即是窄帶過程。所謂窄帶系統(tǒng)，是指其通帶寬度Δf<<fc，且fc遠(yuǎn)離零頻率的系統(tǒng)。實(shí)際中，大多數(shù)通信系統(tǒng)都是窄帶型的，通過窄帶系統(tǒng)的信號或噪聲必是窄帶的，如果這時(shí)的信號或噪聲又是隨機(jī)的，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如用示波器觀察一個實(shí)現(xiàn)的波形，它是一個頻率近似為fc，包絡(luò)和相位隨機(jī)緩變的正弦波。窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程第二十三頁，共二十八頁，2022年，8月28日窄帶過程的頻譜和波形示意窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程第二十四頁，共二十八頁，2022年，8月28日1、窄帶隨機(jī)過程X(t)的功率譜密度:2、窄帶隨機(jī)過程X(t)的表示式：

窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程25第二十五頁，共二十八頁，2022年，8月28日窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程26第二十六頁，共二十八頁，2022年，8月28日窄帶平穩(wěn)隨機(jī)過程27第二十七頁，共二十八頁，2022年，8月28日