初三數(shù)學(xué)相似三角形典例及練習(xí)答案

-.z初三數(shù)學(xué)相似三角形〔一〕相似三角形是初中幾何的一個(gè)重點(diǎn)，同時(shí)也是一個(gè)難點(diǎn)，本節(jié)復(fù)習(xí)的目標(biāo)是：1.理解線段的比、成比例線段的概念，會(huì)根據(jù)比例線段的有關(guān)概念和性質(zhì)求線段的長(zhǎng)或兩線段的比，了解黃金分割。2.會(huì)用平行線分線段成比例定理進(jìn)展有關(guān)的計(jì)算、證明，會(huì)分線段成比。3.能熟練應(yīng)用相似三角形的判定和性質(zhì)解答有關(guān)的計(jì)算與證明題。4.能熟練運(yùn)用相似三角形的有關(guān)概念解決實(shí)際問題本節(jié)的重點(diǎn)容是相似三角形的判定定理和性質(zhì)定理以及平行線分線段成比例定理。本節(jié)的難點(diǎn)容是利用判定定理證明兩個(gè)三角形相似以及相似三角形性質(zhì)的應(yīng)用。相似三角形是平面幾何的主要容之一，在中考試題中時(shí)常與四邊形、圓的知識(shí)相結(jié)合構(gòu)成高分值的綜合題，題型常以填空、選擇、簡(jiǎn)答或綜合出現(xiàn)，分值一般在10%左右，有時(shí)也單獨(dú)成題，形成創(chuàng)新與探索型試題；有利于培養(yǎng)學(xué)生的綜合素質(zhì)?！捕持匾R(shí)點(diǎn)介紹：1.比例線段的有關(guān)概念：b、d叫后項(xiàng)，d叫第四比例項(xiàng)，如果b=c，則b叫做a、d的比例中項(xiàng)。把線段AB分成兩條線段AC和BC，使AC2=AB·BC，叫做把線段AB黃金分割，C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)。2.比例性質(zhì)：3.平行線分線段成比例定理：①定理：三條平行線截兩條直線，所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，如圖：l1∥l2∥l3。②推論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕所得的對(duì)應(yīng)線段成比例。③定理：如果一條直線截三角形的兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕所得的對(duì)應(yīng)線段成比例，則這條直線平行于三角形的第三邊。4.相似三角形的判定：①兩角對(duì)應(yīng)相等，兩個(gè)三角形相似②兩邊對(duì)應(yīng)成比例且夾角相等，兩三角形相似③三邊對(duì)應(yīng)成比例，兩三角形相似④如果一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊與另一個(gè)直角三角形的斜邊和一條直角邊對(duì)應(yīng)成比例，則這兩個(gè)直角形相似⑤平行于三角形一邊的直線和其他兩邊〔或兩邊的延長(zhǎng)線〕相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似⑥直角三角形被斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形和原三角形相似5.相似三角形的性質(zhì)①相似三角形的對(duì)應(yīng)角相等②相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例③相似三角形對(duì)應(yīng)高的比、對(duì)應(yīng)中線的比和對(duì)應(yīng)角平分線的比都等于相似比④相似三角形周長(zhǎng)的比等于相似比⑤相似三角形面積的比等于相似比的平方【典型例題】例1.〔1〕在比例尺是1：8000000的?中國(guó)行政區(qū)?地圖上，量得A、B兩城市的距離是7.5厘米，則A、B兩城市的實(shí)際距離是__________千米?！?〕小芳的身高是1.6m，在*一時(shí)刻，她的影子長(zhǎng)2m，此刻測(cè)得*建筑物的影長(zhǎng)是18米，則此建筑物的高是_________米。解：這是兩道與比例有關(guān)的題目，都比較簡(jiǎn)單。〔1〕應(yīng)填600〔2〕應(yīng)填14.4。例2.如圖，DE∥BC，EF∥AB，則以下比例式錯(cuò)誤的選項(xiàng)是：____________分析：故應(yīng)選C。利用平行線分線段成比例定理及推論求解時(shí)，一定要分清誰(shuí)是截線、誰(shuí)是被截例3.如圖，在等邊△ABC中，P為BC上一點(diǎn)，D為AC上一點(diǎn)，且∠APD=60°，解：∵△ABC是等邊三角形∴∠C=∠B=60°又∵∠PDC=∠1+∠APD=∠1+60°∠APB=∠1+∠C=∠1+60°∴∠PDC=∠APB∴△PDC∽△APB設(shè)PC=*，則AB=BC=1+*∴AB=1+*=3。∴△ABC的邊長(zhǎng)為3。例4.如圖：四邊形ABEG、GEFH、HFCD都是邊長(zhǎng)為a的正方形，〔1〕求證：△AEF∽△CEA〔2〕求證：∠AFB+∠ACB=45°分析：因?yàn)椤鰽EF、△CEA有公共角∠AEF故要證明△AEF∽△CEA只需證明兩個(gè)三角形中，夾∠AEF、∠CEA的兩邊對(duì)應(yīng)成比例即可。證明：〔1〕∵四邊形ABEG、GEFH、HFCD是正方形∴AB=BE=EF=FC=a，∠ABE=90°又∵∠CEA=∠AEF∴△CEA∽△AEF〔2〕∵△AEF∽△CEA∴∠AFE=∠EAC∵四邊形ABEG是正方形∴AD∥BC，AG=GE，AG⊥GE∴∠ACB=∠CAD，∠EAG=45°∴∠AFB+∠ACB=∠EAC+∠CAD=∠EAG∴∠AFB+∠ACB=45°例5.：如圖，梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD交于點(diǎn)O，EF經(jīng)過點(diǎn)O且和兩底平行，交AB于E，交CD于F求證：OE=OF證明：∵AD∥EF∥BC∴OE=OF從本例的證明過程中，我們還可以得到以下重要的結(jié)論：這是梯形中的一個(gè)性質(zhì)，由此可知，在AD、BC、EF中，任何兩條線段的長(zhǎng)度，都可以求出第三條線段的長(zhǎng)度。例6.：如圖，△ABC中，AD⊥BC于D，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F分析：觀察AE、AF、AC、AB在圖中的位置不宜直接通過兩個(gè)三角形相似加以解決。因此可根據(jù)圖中直角三角形多，因而相似三角形多的特點(diǎn)，可設(shè)法尋求中間量進(jìn)展代證明：在△ABD和△ADE中，∵∠ADB=∠AED=90°∠BAD=∠DAE∴△ABD∽△ADE∴AD2=AE·AB同理：△ACD∽△ADF可得：AD2=AF·AC∴AE·AB=AF·AC例7.如圖，D為△ABC中BC邊上的一點(diǎn)，∠CAD=∠B，假設(shè)AD=6，AB=8，BD=7，求DC的長(zhǎng)。分析：此題的圖形是證明比例中項(xiàng)時(shí)經(jīng)常使用的“公邊共角〞的根本圖形，我們可以由根本圖形中得到的相似三角形，從而得到對(duì)應(yīng)邊成比例，從而構(gòu)造出關(guān)于所求線段的方程，使問題得以解決。解：在△ADC和△BAC中∵∠CAD=∠B，∠C=∠C∴△ADC∽△BAC又∵AD=6，AD=8，BD=7解得：DC=9例8.如圖，在矩形ABCD中，E是CD的中點(diǎn)，BE⊥AC于F，過F作FG∥AB交AE于G，求證：AG2=AF·FC證明：在矩形ABCD中，AD=BC，∠ADC=∠BCE=90°又∵E是CD的中點(diǎn)，∴DE=CE∴Rt△ADE≌Rt△BCE∴AE=BE∵FG∥AB∴AG=BF在Rt△ABC中，BF⊥AC于F∴Rt△BFC≌Rt△AFB∴BF2=AF·FC∴AG2=AF·FC例9.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，假設(shè)∠BCD的平分線CH⊥AB于點(diǎn)H，BH=3AH，且四邊形AHCD的面積為21，求△HBC的面積。分析：因?yàn)閱栴}涉及四邊形AHCD，所以可構(gòu)造相似三角形。把問題轉(zhuǎn)化為相似三角形的面積比而加以解決。解：延長(zhǎng)BA、CD交于點(diǎn)P∵CH⊥AB，CD平分∠BCD∴CB=CP，且BH=PH∵BH=3AH∴PA：AB=1：2∴PA：PB=1：3∵AD∥BC∴△PAD∽△PBC∴一、填空題1.，則__________2.假設(shè)三角形三邊之比為3：5：7，與它相似的三角形的最長(zhǎng)邊是21cm，則其余兩邊之和是__________cm3.如圖，△ABC中，D、E分別是AB、AC的中點(diǎn)，BC=6，則DE=__________；△ADE與△ABC的面積之比為：__________。4.線段a=4cm，b=9cm，則線段a、b的比例中項(xiàng)c為__________cm。5.在△ABC中，點(diǎn)D、E分別在邊AB、AC上，DE∥BC，如果AD=8，DB=6，EC=9，則AE=__________6.三個(gè)數(shù)1，2，，請(qǐng)你添上一個(gè)數(shù)，使它能構(gòu)成一個(gè)比例式，則這個(gè)數(shù)是__________7.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，EF∥BC，假設(shè)AD=12cm，BC=18cm，AE：EB=2：3，則EF=__________8.如圖，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，BD⊥CD，AD=6，BC=10，則梯形的面積為：__________二、選擇題1.如果兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比是3：4，則它們的對(duì)應(yīng)高的比是__________A.9：16 B.：2C.3：4 D.3：72.在比例尺為1：m的*市地圖上，規(guī)劃出長(zhǎng)a厘米，寬b厘米的矩形工業(yè)園區(qū)，該園區(qū)的實(shí)際面積是__________米2A.B.C.D.3.，如圖，DE∥BC，EF∥AB，則以下結(jié)論：②③④其中正確的比例式的個(gè)數(shù)是__________A.4個(gè)B.3個(gè)C.2個(gè)D.1個(gè)4.如圖，在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一點(diǎn)，AD=12，在AB上取一點(diǎn)E，使A、D、E三點(diǎn)為頂點(diǎn)組成的三角形與△ABC相似，則AE的長(zhǎng)是__________A.16 B.14 C.16或14 D.16或95.如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，D是BC的中點(diǎn)，AE⊥AD，交CB的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E，則以下結(jié)論正確的選項(xiàng)是__________A.△AED∽△ACB B.△AEB∽△ACDC.△BAE∽△ACE D.△AEC∽△DAC三、解答題：1.如圖，AD∥EG∥BC，AD=6，BC=9，AE：AB=2：3，求GF的長(zhǎng)。2.如圖，△ABC中，D是AB上一點(diǎn)，且AB=3AD，∠B=75°，∠CDB=60°，求證：△ABC∽△CBD。3.如圖，BE為△ABC的外接圓O的直徑，CD為△ABC的高，求證：AC·BC=BE·CD4.如圖，Rt△ABC中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于點(diǎn)D，過點(diǎn)C作CE⊥AD于E，CE的延長(zhǎng)線交AB于點(diǎn)F，過點(diǎn)E作EG∥BC交AB于點(diǎn)G，AE·AD=16，AB，〔1〕求證：CE=EF〔2〕求EG的長(zhǎng)[參考答案]一、填空題：1.19：13 2.24 3.3；1：44.65.126.只要是使得其中兩個(gè)數(shù)的比值等于另外兩個(gè)數(shù)的比值即可，如：等。7.14.4 8.二、選擇題：1.C 2.D3.B 4.D 5.C三、解答題：1.解：∵AD∥EG∥BC∴在△ABC中，有在△ABD中，有∵AE：AB=2：3∴BE：AB=1：3∴∵BC=9，AD=6∴EG=6，EF=2∴GF=EG－EF=42.解：過點(diǎn)B作BE⊥CD于點(diǎn)E，∵∠CDB=60°，∠CBD=75°∴∠DBE=30°，∠CBE=∠CBD－∠DBE=75°－30°=45°∴△CBE是等腰直角三角形?！逜B=3AD，設(shè)AD=k，則AB=3k，BD=2k∴DE=k，BE∴∴，∴∴△ABC∽△CBD3.連