河南省2023年高三下學(xué)期理數(shù)學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測試卷【含答案】

高三下學(xué)期理數(shù)學(xué)業(yè)質(zhì)量聯(lián)合檢測試卷一、單選題1．已知全集，集合，，則（）A． B． C． D．2．設(shè)復(fù)數(shù)滿足.若，則實數(shù)（）A．2或 B．或C．或 D．1或3．記公差不為0的等差數(shù)列的前項和為.若成等比數(shù)列，，則（）A．17 B．19 C．21 D．234．已知向量的夾角為，且是函數(shù)的兩個零點.若，則（）A．3 B．4 C．5 D．65．盒子中裝有10個大小相同的球，其中有6個紅球，4個黑球.隨機(jī)取出4個球，則至少有1個黑球的概率為（）A． B． C． D．6．已知拋物線的焦點為，過點的直線交于兩點，當(dāng)與圓相切時，的中點到的準(zhǔn)線的距離為（）A． B． C． D．7．已知表示不超過實數(shù)的最大整數(shù).執(zhí)行如圖所示的程序框圖，則輸出的（）A． B． C． D．8．已知函數(shù).若，且在區(qū)間上單調(diào)，則（）A． B．或4 C．4 D．或9．已知正方體的棱長為1，點在線段上，有下列四個結(jié)論：①；②點到平面的距離為；③二面角的余弦值為；④若四面體的所有頂點均在球的球面上，則球的體積為.其中所有正確結(jié)論的個數(shù)是（）A．1 B．2 C．3 D．410．已知函數(shù)若的圖象上至少有兩對點關(guān)于軸對稱，則實數(shù)的取值范圍是（）A． B． C． D．11．已知雙曲線的左?右焦點分別為，左頂點為為坐標(biāo)原點，以為直徑的圓與的漸近線在第一象限交于點.若的內(nèi)切圓半徑為，則的離心率為（）A． B． C． D．12．已知函數(shù)及其導(dǎo)函數(shù)的定義域均為，記.若的圖象關(guān)于點中心對稱，為偶函數(shù)，且，則（）A．670 B．672 C．674 D．676二、填空題13．已知圓.若圓心到直線的距離為1，則直線的方程為.（寫一個即可）.14．已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，且，則曲線在點處的切線方程為.15．記正項數(shù)列的前項和為，且滿足.若不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是.16．某數(shù)學(xué)興趣小組的學(xué)生開展數(shù)學(xué)活動，將圖①所示的三塊直角三角板進(jìn)行拼接?旋轉(zhuǎn)等變化，進(jìn)而研究體積與角的問題，其中，，直角三角板與始終全等（假設(shè)直角三角板與的另兩邊的大小可變化）.現(xiàn)將直角三角板與放在平面內(nèi)拼接，直角三角板的直角邊也放在平面內(nèi)，并使與重合，將直角三角板繞著旋轉(zhuǎn)，使點在平面內(nèi)的射影始終與點重合于點，如圖②，則當(dāng)四棱錐的體積最大時，直角三角板的內(nèi)角的余弦值為.三、解答題17．記的內(nèi)角的對邊分別為，已知.（1）證明：；（2）若，求的面積.18．某學(xué)校組織學(xué)生觀看了“天宮課堂”第二課的直播后，極大地激發(fā)了學(xué)生學(xué)習(xí)科學(xué)知識的興趣，提高了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，特別是對實驗操作的研究與探究.現(xiàn)有某化學(xué)興趣小組的同學(xué)在老師的指導(dǎo)下，開展了某項化學(xué)實驗操作，為了解實驗效度與實驗中原料的消耗量（單位：）的關(guān)系，該校實驗員隨機(jī)選取了10個小組的實驗數(shù)據(jù)如下表.小組編號12345678910總計實驗效度6原料的消耗量15并計算得.附：相關(guān)系數(shù)（1）求這10個小組的實驗效度與實驗中原料的消耗量的平均值；（2）求這10個小組的實驗效度與實驗中原料的消耗量的相關(guān)系數(shù)（精確到）；（3）經(jīng)該校實驗員統(tǒng)計，以往一個學(xué)年各種實驗中需用到原料的實驗有200次左右.假設(shè)在一定的范圍內(nèi)，每次實驗中原料的消耗量與實驗效度近似成正比，其比例系數(shù)可近似為樣本中相應(yīng)的平均值的比值.根據(jù)要求，實驗效度平均值需達(dá)到.請根據(jù)上述數(shù)據(jù)信息，估計該校本學(xué)年原料的消耗量.19．如圖，在四棱錐中，底面是直角梯形，為等邊三角形，分別為棱的中點.（1）棱上是否存在一點，使得平面？若存在，求出的值；若不存在，說明理由；（2）若，當(dāng)二面角為時，證明：直線與平面所成角的正弦值小于.20．已知橢圓的左焦點為，點在上，的最大值為，且當(dāng)垂直于長軸時，.（1）求的方程；（2）已知點為坐標(biāo)原點，與平行的直線交于兩點，且直線，分別與軸的正半軸交于兩點，試探究是否為定值.若是，求出該定值；若不是，說明理由.21．已知函數(shù).（1）證明：恰有一個零點；（2）設(shè)函數(shù).若至少存在兩個極值點，求實數(shù)的取值范圍.22．在直角坐標(biāo)系中，直線的參數(shù)方程為（為參數(shù)，）.以坐標(biāo)原點為極點，軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.（1）寫出直線的普通方程和曲線的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線上有且只有一個點到直線的距離為，求實數(shù)的值.23．已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求不等式的解集；（2）當(dāng)時，若函數(shù)的圖象恒在圖象的上方，證明：.

1．C2．B3．A4．A5．C6．D7．C8．B9．B10．C11．A12．D13．（答案不唯一，符合題意即可）14．15．16．17．（1）證明：由，得，即，所以由正弦定理及余弦定理，得，化簡得.（2）解：由余弦定理，得，所以，即①.又由①知②聯(lián)立①②，得，所以，即的面積為.18．（1）解：由題意得這10個小組的實驗效度的平均值為，這10個小組實驗中原料的消耗量的平均值為.（2）解：相關(guān)系數(shù).（3）解：設(shè)該校本學(xué)年原料的消耗量為，則由題可知，所以估計該校本學(xué)年原料的消耗量為.19．（1）解：當(dāng)點為的中點時，平面，此時如圖，取的中點，連接.因為為的中點，所以.又平面平面，所以平面.（2）證明：如圖，連接.由條件可知.又，所以.因為為等邊三角形，為的中點，所以.故為二面角的平面角，所以.又平面，所以平面.又平面，所以平面平面.在平面內(nèi)，過點作，交于點，則平面，所以兩兩垂直.以為坐標(biāo)原點，所在直線分別為，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.設(shè)，則，，所以.設(shè)平面的法向量為，則，解得，令，得，則平面的一個法向量為.設(shè)直線與平面所成的角為，則故直線與平面所成角的正弦值小于.20．（1）解：的最大值為，當(dāng)垂直于長軸時，將代入橢圓可得，則，所以，解得所以的方程為（2）解：為定值.由題可知直線的斜率為，且直線，分別與軸的正半軸交于兩點，故設(shè)直線的方程為.聯(lián)立得，則，解得，則，所以，直線的方程為，令，得，即，所以，同理可得.故，所以為定值2.21．（1）證明：令，得.又，所以.令，則，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增.又，所以存在唯一的，使得，即在區(qū)間內(nèi)恰有一個零點，故函數(shù)恰有一個零點.（2）解：由題意知，所以.因為函數(shù)至少存在兩個極值點，所以方程至少有兩個不等實根.令，則.令，則，所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以當(dāng)時，，即0，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，此時單調(diào)遞減，且當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.要使在區(qū)間內(nèi)至少有兩個不等實根，則函數(shù)的圖象與直線在區(qū)間上至少有兩個交點.作出函數(shù)的圖象，如圖所示，則，解得.此時，在區(qū)間和區(qū)間內(nèi)各有一個零點，分別設(shè)為，則當(dāng)或時，；當(dāng)時，，故為的極小值點，為的極大值點，符合題意.故實數(shù)的取值范圍是.22．（1）解：由（為參數(shù)，）消去，得，所以直線的普通方程為.由，得.將代入，得，即，所以曲線的直角坐標(biāo)方程為.（2）解：由（1）知曲線是圓，