熱傳導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法

熱傳導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解法第1頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六▲數(shù)值求解的基本思想及常用的數(shù)值求解方法▲有限差分法▲節(jié)點(diǎn)離散方程的建立——泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法與熱平衡法?！?jié)點(diǎn)離散方程(組)的求解1、直接求解;2、簡(jiǎn)接求解——高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法*▲非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的有關(guān)概念

主要內(nèi)容重點(diǎn)：用熱平衡法建立穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的離散方程，數(shù)值求解的高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法第2頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.1.1數(shù)值求解的基本思想(見(jiàn)P162)：

把原來(lái)在時(shí)間、空間坐標(biāo)系中連續(xù)的物理量的場(chǎng)，用有限個(gè)離散點(diǎn)上的值的集合來(lái)代替，通過(guò)求解按一定方法建立起來(lái)的關(guān)于這些值的代數(shù)方程（組），來(lái)獲得離散點(diǎn)上被求物理量的值（其集合稱為該物理量的數(shù)值解）

4-1導(dǎo)熱問(wèn)題數(shù)值求解的基本思想第3頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六常用的數(shù)值求解方法1、有限差分法*（finite-difference）

——對(duì)控制方程進(jìn)行離散(近似)2、有限元法（finite-element）

——對(duì)解進(jìn)行離散(近似)3、邊界元法（boundary-element）4、分子動(dòng)力學(xué)模擬（MD）第4頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4、解方程,并用節(jié)點(diǎn)的解的集合(離散值)來(lái)代替原物體內(nèi)的連續(xù)溫度分布

有限差分法：1、離散：將連續(xù)體用網(wǎng)格分割成有限單元體2、取節(jié)點(diǎn)：以單元體的中心點(diǎn)代表該單元體3、建立節(jié)點(diǎn)離散方程：對(duì)每一單元體按一定方法，將針對(duì)微元體得出的導(dǎo)熱微分方程簡(jiǎn)轉(zhuǎn)化成針對(duì)有限單元體的節(jié)點(diǎn)離散方程

(代數(shù)方程組)第5頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六基本概念：?jiǎn)卧w(控制容積)、網(wǎng)格線、節(jié)點(diǎn)、界面線、步長(zhǎng)第6頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.1.2用有限差分法求解導(dǎo)熱問(wèn)題的基本步驟是否收斂？是否建立控制方程及定解條件確定節(jié)點(diǎn)（區(qū)域離散化）建立節(jié)點(diǎn)物理量的代數(shù)方程(即離散方程)設(shè)立溫度場(chǎng)的迭代初值求解代數(shù)方程(組)解的分析改進(jìn)初場(chǎng)nmyNxMyt0h3,tfh2,tfh1,tfWHX適用于線性問(wèn)題m,n第7頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

4.2內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的建立方法較常用的兩種方法:——泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法與熱平衡法

建立內(nèi)節(jié)點(diǎn)離散方程的方法:1.泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法;2.熱平衡法(也稱為控制容積平衡法);3.多項(xiàng)式擬合法；

4.控制容積積分法。第8頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

4.2.1泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)法將函數(shù)t的一階導(dǎo)數(shù)及二階導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)(m,n)按泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，并取其一階近似，結(jié)果代入相應(yīng)的導(dǎo)熱微分方程，即可得出該節(jié)點(diǎn)的離散方程。(詳略)節(jié)點(diǎn)(m,n)的離散方程:當(dāng)時(shí):第9頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

4.2.2熱平衡法*

基本思想：對(duì)每個(gè)有限大小的單元體(m,n)應(yīng)用能量守恒定律，從而獲得溫度場(chǎng)的代數(shù)方程組,它從基本物理現(xiàn)象和基本定律出發(fā),不必事先建立控制方程，依據(jù)能量守恒和Fourier導(dǎo)熱定律即可得出節(jié)點(diǎn)的離散方程。能量守恒：流入控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)熱源生成熱＝流出控制體的總熱流量＋控制體內(nèi)能的增量注意：上面的公式對(duì)內(nèi)部節(jié)點(diǎn)和邊界節(jié)點(diǎn)均適用第10頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

0△x△y

123

4Φ下Φ上垂直于屏幕方向取單位尺度：即△z=1(1)元體(m,n)的能量守恒方程為：

Φ上+Φ下+Φ左+Φ右+

Φ源=0(e)

如圖,以元體(m,n)為研究對(duì)象(f)(g)(h)(i)(j)第11頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)將式(f)、(g)、(h)、(i)、(j)代入能量方程式(e)，得：△x=△y，且無(wú)內(nèi)熱源時(shí)，有即：推廣一維問(wèn)題三維問(wèn)題第12頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六結(jié)論：所求節(jié)點(diǎn)的溫度前的系數(shù)一定等于其他所有相鄰節(jié)點(diǎn)溫度前的系數(shù)之和。但這里不包括熱流(或熱流密度)前的系數(shù)。這一結(jié)論也適用于邊界節(jié)點(diǎn)。第13頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.3.1邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立----用熱平衡法1、平直邊界節(jié)點(diǎn)△y△xmn2(m,n+1)

1(m-1,n)3(m,n-1)0(m,n)qwΦ1Φ2Φ34.3邊界節(jié)點(diǎn)離散方程的建立及代數(shù)方程的求解

Φw=△yqw

Φ源=(△x△y/2)Φ0能量守恒方程為：

Φ1+Φ2+Φ3+Φw+Φ源=0第14頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將各量代入能量守恒方程，并經(jīng)化簡(jiǎn)，即可得節(jié)點(diǎn)“0”的離散方程.△x=△y時(shí)，有：第15頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2、外部角點(diǎn)：3、內(nèi)部角點(diǎn)：m,nm-1,nm,n-1qw能量平衡方程：Φ1+Φ2+Φw=0Φ1Φ2結(jié)果為式(4-5a,b)結(jié)果為式(4-6a,b)

能量平衡方程：Φ1+Φ2+Φ3+Φ4+Φw=0m,nm,n-1m-1,nm,n+1m+1,nqwΦ4Φ1Φ2Φ3△x△x△y△y第16頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六邊界熱流密度qw的幾種情況：

(1)絕熱邊界：qw=0(2)qw為有限值（熱流傳入計(jì)算區(qū)域時(shí)為正）

(3)對(duì)流邊界：qw=h（tf-tm,n）

(4)輻射邊界條件：相應(yīng)于前三種邊界條件的結(jié)果見(jiàn)式(4-7)—(4-9)第17頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.3.2處理不規(guī)則區(qū)域的階梯型逼近法當(dāng)計(jì)算區(qū)域中出現(xiàn)曲線或傾斜邊界時(shí),常用階梯型折線來(lái)模擬真實(shí)邊界第18頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

4.3.3代數(shù)方程的求解方法---迭代法雅可比迭代法(簡(jiǎn)單迭代);

高斯—賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法*;

超松弛迭代法;

塊迭代；交替方向迭代等直接用代入法、矩陣求逆、高斯消元法及其改進(jìn)和變形方法,通過(guò)有限次運(yùn)算獲得代數(shù)方程精確解(該法求解過(guò)程較繁雜,只適用于求解方程個(gè)數(shù)較少的問(wèn)題)線性方程組的兩類求解方法：直接求解簡(jiǎn)接求解——迭代法第19頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.高斯-賽德?tīng)?Gauss-Seidel)迭代法迭代原則基本求解步驟迭代過(guò)程已經(jīng)收斂的判據(jù)

(即控制過(guò)程終止的方法)迭代過(guò)程能否收斂的判據(jù)

(獲得收斂解的條件)第20頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.迭代原則：

先估計(jì)（或假定）變量的初始值，在以后依次求解過(guò)程中，不斷采用最新的當(dāng)前值來(lái)更新變量的估計(jì)值。(1)先將原方程組改寫(xiě)成t1,t2,t3,…的顯式方程(迭代方程);(2)假設(shè)迭代初場(chǎng)ti(0);由迭代方程逐一計(jì)算,得各變量的第一次改進(jìn)值ti(1);(3)以改進(jìn)值更新變量初值，重復(fù)上述計(jì)算；……2.基本求解步驟(4)達(dá)到收斂要求后,過(guò)程終止.第21頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：三元一次方程組的求解

a11t1+a12t2+a13t3=b1a21t1+a22t2+a23t3=b2(a)a31t1+a32t2+a33t3=b3

t1=(b1-a12t2-a13t3)/a11t2=(b2-a21t1-a23t3)/a22(b)t3=(b3-a31t1-a32t2)/a33顯式化即迭代公式為:第22頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六其中，ε’

=10-3～10-6

3.迭代過(guò)程已經(jīng)收斂的判據(jù)

(即控制過(guò)程終止的方法)：max︱ti(k)-tik+1)︱≤ε,

(適用于計(jì)算區(qū)域中有接近于零的t時(shí))第23頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

t1=(29-2t2-t3)/8t2=(32-t1-2t3)/5(2)t3=(28-2t1-t2)/4例4-1用高斯迭代法求解下例方程組：

8t1+2t2+t3=29t1+5t2+2t3=32(1)2t1+t2+4t3=28解:(1)將方程組顯式化,寫(xiě)出迭代方程(2)假設(shè)t1、t2的初始值(一般可假設(shè)為零)，然后按前述基本步驟逐次進(jìn)行計(jì)算，迭代結(jié)果一般列表表示。(ε≤0.01)第24頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六迭代結(jié)果

節(jié)點(diǎn)迭代次數(shù)

t1(℃)

t2(℃)

t3(℃)

0

0

0

0

13.6255.6753.769

21.735(-1.89)4.545(-1.13)4.996(1.227)

31.864(0.129)4.029(-0.516)5.061(0.065)

41.985(0.121)3.979(-0.05)5.013(-0.048)

52.004(0.019)3.994(0.015)5.000(-0.013)

62.002(0.002)4.000(0.006)5.000(0.000)

最后結(jié)果2.0024.0005.000

t1=(29-2t2-t3)/8t2=(32-t1-2t3)/5(2)t3=(28-2t1-t2)/4第25頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例4-2：如圖所示方形物體網(wǎng)格，用Gauss-Seidel迭代法求網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)1、2、3、4的溫度。解：(1)列節(jié)點(diǎn)離散方程各節(jié)點(diǎn)均為內(nèi)節(jié)，故可直接用P102式(b):1234t=100℃t=100℃t=100℃t=500℃第26頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六（2）迭代結(jié)果迭代次數(shù)

t1/℃

t2/℃

t3/℃

t4/℃

0123456

300275259.38252.35250.59250.15250.04

300268.75254.69251.18250.30250.07250.02

200168.75154.69151.18150.30150.07150.02

200159.38152.35150.59150.15150.04150.01第27頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

對(duì)于常物性導(dǎo)熱問(wèn)題所組成的差分方程組，迭代公式的選擇應(yīng)使每一個(gè)迭代變量的系數(shù)總是大于或等于該式中其他變量系數(shù)絕對(duì)值的代數(shù)和——主對(duì)角線占優(yōu)4.迭代過(guò)程能否收斂的判據(jù)(即獲得收斂解的條件)該條件可表示為：

t1=(b1-a12t2-a13t3)/a11t2=(b2-a21t1-a23t3)/a22(b)t3=(b3-a31t1-a32t2)/a33例：對(duì)于前述式(a)或式(b):a11t1+a12t2+a13t3=b1a21t1+a22t2+a23t3=b2(a)a31t1+a32t2+a33t3=b3第28頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六迭代結(jié)果發(fā)散_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t\次數(shù)012345_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t1

03252287221435522336162______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t2

0-36-396-3996-39996-399996______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

t3

0-155-3355-61755-1068075-17889275_______________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________________

例4-1的另一解法:t1=32-5t2-2t3t2=28-2t1-4t3(

3)

t3=29-8t1-2t28t1+2t2+t3=29t1+5t2+2t3=32(1)2t1+t2+4t3=28顯式化第29頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六作業(yè)：P186，題3(要求ε≤0.1℃）P188，題4-9（節(jié)點(diǎn)2、9,有內(nèi)熱源）方程應(yīng)化成最簡(jiǎn)形式題4-10（按肋端對(duì)流邊界條件求解)(要求:寫(xiě)出節(jié)點(diǎn)離散方程的推導(dǎo)過(guò)程,及最后的迭代方程;

且ε≤0.1℃）第30頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

4-3非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的數(shù)值解非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱與穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題的主要差別：≠0本節(jié)主要介紹：非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)的離散（三種差分格式）

——向前差分、向后差分與中心差分差分方程的兩種格式

——顯式差分格式與隱式差分格式顯式格式的穩(wěn)定性問(wèn)題第31頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六一、非穩(wěn)態(tài)項(xiàng)離散的三種差分格式

——向前差分、向后差分與中心差分△τn,i+1n.,in+1,in-1,in,i-1△xn=1nNi=1iIX△τ：時(shí)間步長(zhǎng)△x：幾何步長(zhǎng)以一維非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱問(wèn)題為例：第32頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1、向前差分：2、向后差分:3、中心差分:(4-11)(4-12)(4-13)第33頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(1)顯式差分格式——擴(kuò)散項(xiàng)用i時(shí)層的值表示：——內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程（顯式）優(yōu)點(diǎn)：計(jì)算工作量小(不必解聯(lián)立方程,可直接求解)缺點(diǎn)：對(duì)時(shí)間步長(zhǎng)及空間步長(zhǎng)有一定限制(穩(wěn)定性條件)二.差分方程(4-14a)改寫(xiě)為：(4-14b)第34頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六(2)隱式差分格式——擴(kuò)散項(xiàng)用i+1時(shí)層的值表示：——內(nèi)節(jié)點(diǎn)差分方程（隱式）優(yōu)點(diǎn)：對(duì)步長(zhǎng)無(wú)限制，所得的解穩(wěn)定缺點(diǎn)：計(jì)算工作量大——

不能根據(jù)i時(shí)層各節(jié)點(diǎn)的溫度直接由方程求出(i+1)時(shí)層上各內(nèi)點(diǎn)的溫度值tn(i+1)，而必須求解(i+1)時(shí)層的一個(gè)聯(lián)立方程。(4-15)第35頁(yè)，共48頁(yè)，2023年，2月20日，星期六三、步長(zhǎng)△x、△τ對(duì)顯式格式穩(wěn)定性的影響

——穩(wěn)定性限制條件(1)穩(wěn)定性限制的物理意義

i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越高，則其相繼時(shí)刻的溫度也較高；反之,i時(shí)刻點(diǎn)n的溫度越低,則其相繼時(shí)刻的溫度也較低。(2)穩(wěn)定性限制條件相應(yīng)節(jié)點(diǎn)的顯式差分方程中,項(xiàng)前的系數(shù)大于等于零例題4-3：大平板對(duì)稱冷卻第36頁(yè)，共48頁(yè)，202