高中數(shù)學微積分基本定理

高中數(shù)學微積分基本定理第1頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四【課標要求】1．了解微積分基本定理的內容與含義．2．會利用微積分基本定理求函數(shù)的定積分．【核心掃描】1．用微積分基本定理求函數(shù)的定積分是本課的重點．2．對微積分基本定理的考查常以選擇、填空題的形式出現(xiàn)．第2頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四自學導引1．微積分基本定理連續(xù)

f(x)

F(b)－F(a)

F(b)－F(a)

第3頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四想一想：導數(shù)與定積分有怎樣的聯(lián)系？

提示導數(shù)與定積分都是定積分學中兩個最基本、最重要的概念，運用它們之間的聯(lián)系，我們可以找出求定積分的方法，求導數(shù)與定積分是互為逆運算．第4頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2．定積分和曲邊梯形面積的關系 設曲邊梯形在x軸上方的面積為S上，x軸下方的面積為S下，則

(1)當曲邊梯形的面積在x軸上方時，如圖(1)， 則圖(1)圖(2)第5頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四圖(3)－S下

S上－S下

0

第6頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四想一想：在上面圖(1)、圖(2)、圖(3)中的三個圖形陰影部分的面積分別怎樣表示？ 提示根據(jù)定積分與曲邊梯形的面積的關系知：

第7頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四名師點睛1．微積分基本定理的理解

(1)微積分基本定理揭示了導數(shù)與定積分之間的聯(lián)系，同時它也提供了計算定積分的一種有效方法．

(2)根據(jù)定積分的定義求定積分往往比較困難，而利用微積分基本定理求定積分比較方便．第8頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四(3)設f(x)是定義在區(qū)間I上的一個函數(shù)，如果存在函數(shù)F(x)，在區(qū)間I上的任意一點x處都有F′(x)＝f(x)，那么F(x)叫做函數(shù)f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)．根據(jù)定義，求函數(shù)f(x)的原函數(shù)，就是要求一個函數(shù)F(x)，使它的導數(shù)F′(x)等于f(x)．由于[F(x)＋c]′＝F′(x)＝f(x)，所以F(x)＋c也是f(x)的原函數(shù)，其中c為常數(shù)．(4)利用微積分基本定理求定積分的關鍵是找出滿足F′(x)＝f(x)的函數(shù)F(x)，通常，我們可以運用基本初等函數(shù)的求導公式和導數(shù)的四則運算法則從反方向上求出F(x)．第9頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四2．被積函數(shù)為分段函數(shù)或絕對值函數(shù)時的正確處理方式 分段函數(shù)和絕對值函數(shù)積分時要分段去積和去掉絕對值符號去積．處理這類積分一定要弄清分段臨界點，同時對于定積分的性質，必須熟記在心．第10頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第11頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四題型一求簡單函數(shù)的定積分【例1】

計算下列定積分

[思路探索]

解答本題可先求被積函數(shù)的原函數(shù)；然后利用微積分基本定理求解．第12頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第13頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第14頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

(1)用微積分基本定理求定積分的步驟：①求f(x)的一個原函數(shù)F(x)；②計算F(b)－F(a)．(2)注意事項：①有時需先化簡，再求積分；②f(x)的原函數(shù)有無窮多個，如F(x)＋c，計算時，一般只寫一個最簡單的，不再加任意常數(shù)c.第15頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四【變式1】

求下列定積分：第16頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第17頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第18頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第19頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

求較復雜函數(shù)的定積分的方法：(1)掌握基本初等函數(shù)的導數(shù)以及導數(shù)的運算法則，正確求解被積函數(shù)的原函數(shù)，當原函數(shù)不易求時，可將被積函數(shù)適當變形后求解，具體方法是能化簡的化簡，不能化簡的變?yōu)閮绾瘮?shù)、正、余函數(shù)、指數(shù)、對數(shù)函數(shù)與常數(shù)的和與差．(2)精確定位積分區(qū)間，分清積分下限與積分上限．第20頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第21頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第22頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第23頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第24頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四

定積分的應用體現(xiàn)了積分與函數(shù)的內在聯(lián)系，可以通過積分構造新的函數(shù)，進而對這一函數(shù)進行性質、最值等方面的考查，解題過程中注意體會轉化思想的應用．第25頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第26頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第27頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第28頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第29頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四【題后反思】(1)求分段函數(shù)的定積分時，可利用積分性質將其表示為幾段積分和的形式；(2)帶絕對值的解析式，先根據(jù)絕對值的意義找到分界點，去掉絕對值號，化為分段函數(shù)；(3)含有字母參數(shù)的絕對值問題要注意分類討論．第30頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第31頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第32頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第33頁，共35頁，2023年，2月20日，星期四第34頁，共35頁