內(nèi)蒙古赤峰市松山區(qū)高三第三次統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆內(nèi)蒙古赤峰市松山區(qū)高三第三次統(tǒng)一模擬考試數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．已知集合的所有非空真子集的元素之和等于12，則的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】D【分析】根據(jù)真子集的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)榧系乃蟹强照孀蛹癁椋?，所以有，故選：D2．若復(fù)數(shù)z滿足，則（

）A．B．是純虛數(shù)C．復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第三象限D(zhuǎn)．若復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在角α的終邊上，則【答案】D【分析】求出后，對(duì)選項(xiàng)逐一判斷【詳解】，則，對(duì)于A，，故A錯(cuò)誤，對(duì)于B，，不是純虛數(shù)，故B錯(cuò)誤，對(duì)于C，復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，點(diǎn)在角α的終邊上，則，故D正確故選：D3．下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在定義域內(nèi)遞增的是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】依次判斷每個(gè)函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到答案.【詳解】B中函數(shù)非奇非偶，D中函數(shù)是偶函數(shù)，C中函數(shù)是奇函數(shù)，但不在定義域內(nèi)遞增，只有A中函數(shù)符合題意：，，奇函數(shù).恒成立，故函數(shù)單調(diào)遞增.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性，意在考查學(xué)生對(duì)于函數(shù)性質(zhì)的靈活運(yùn)用.4．若x，y滿足約束條件，則的最小值為（

）A． B． C．0 D．2【答案】A【分析】由約束條件作出可行域，化目標(biāo)函數(shù)為直線方程的斜截式，數(shù)形結(jié)合得到最優(yōu)解，把最優(yōu)解的坐標(biāo)代入目標(biāo)函數(shù)得答案．【詳解】解：作出不等式組表示的可行域如圖，由，解得，即，由，得，數(shù)形結(jié)合可得直線經(jīng)過點(diǎn)時(shí)，取得最小值，且最小值為．故選：A．5．直線的傾斜角為，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】先由傾斜角和斜率的關(guān)系得到，再利用誘導(dǎo)公式和同角三角函數(shù)基本關(guān)系將原式變形為，代入計(jì)算即可.【詳解】解：由已知得，則.故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系及誘導(dǎo)公式，是基礎(chǔ)題.6．我國南宋著名數(shù)學(xué)家秦九韶提出了由三角形三邊求三角形面積的“三斜求積”公式，設(shè)的三個(gè)內(nèi)角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，面積為S，“三斜求積”公式表示為.在中，若，，則用“三斜求積”公式求得的面積為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)若，，得到ac和，代入求解即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，即，又，所以，所以，故選：C7．甲、乙兩名學(xué)生的六次數(shù)學(xué)測(cè)驗(yàn)成績(百分制)的莖葉圖如圖所示.①甲同學(xué)成績的中位數(shù)大于乙同學(xué)成績的中位數(shù)；②甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分高；③甲同學(xué)的平均分比乙同學(xué)的平均分低；④甲同學(xué)成績的方差小于乙同學(xué)成績的方差.以上說法正確的是（

）A．③④ B．①② C．②④ D．①③④【答案】A【解析】由莖葉圖中數(shù)據(jù)可求得中位數(shù)和平均數(shù),即可判斷①②③,再根據(jù)數(shù)據(jù)集中程度判斷④.【詳解】由莖葉圖可得甲同學(xué)成績的中位數(shù)為,乙同學(xué)成績的中位數(shù)為,故①錯(cuò)誤；,,則,故②錯(cuò)誤,③正確；顯然甲同學(xué)的成績更集中,即波動(dòng)性更小,所以方差更小,故④正確,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查由莖葉圖分析數(shù)據(jù)特征,考查由莖葉圖求中位數(shù)、平均數(shù).8．從某個(gè)角度觀察籃球(如圖1)，可以得到一個(gè)對(duì)稱的平面圖形，如圖2所示，籃球的外輪形為圓O，將籃球表面的粘合線看成坐標(biāo)軸和雙曲線，若坐標(biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，AB＝BC＝CD，則該雙曲線的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)出雙曲線方程，通過做標(biāo)準(zhǔn)品和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓的周長八等分，且AB＝BC＝CD，推出點(diǎn)在雙曲線上，然后求出離心率即可.【詳解】設(shè)雙曲線的方程為，則，因?yàn)锳B＝BC＝CD，所以，所以，因?yàn)樽鴺?biāo)軸和雙曲線與圓O的交點(diǎn)將圓O的周長八等分，所以在雙曲線上，代入可得，解得，所以雙曲線的離心率為.故選：D9．下列函數(shù)中，最小值為9的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】A選項(xiàng)化簡后得到最小值大于9，排除；B選項(xiàng)先通過平方關(guān)系進(jìn)行化簡，再通過基本不等式即可求得最小值；C、D選項(xiàng)取特殊值代入排除即可.【詳解】對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等，正確；對(duì)于C，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，錯(cuò)誤.故選：B.10．橢圓的左右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給出以下四個(gè)命題：①過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為8；②橢圓C上存在點(diǎn)P，使得；③橢圓C的離心率為；④P為橢圓一點(diǎn)，Q為圓上一點(diǎn)，則點(diǎn)P，Q的最大距離為3.則以下選項(xiàng)正確的是（

）A．①② B．①③ C．①②④ D．①②③④【答案】C【分析】①由的周長為4a求解判斷；②根據(jù)以原點(diǎn)為圓心以c為半徑的圓交y軸于短軸頂點(diǎn)的外部判斷；③根據(jù)橢圓方程判斷；④設(shè)，求得點(diǎn)P到圓心（0，0）的距離判斷.【詳解】由橢圓得，①過點(diǎn)的直線與橢圓C交于A，B兩點(diǎn)，則的周長為，故正確；②因?yàn)?，所以以原點(diǎn)為圓心以c為半徑的圓交y軸于短軸頂點(diǎn)的外部，所以存在點(diǎn)P，使得，即使得，故正確；③橢圓C的離心率為，故錯(cuò)誤；④因?yàn)镻為橢圓一點(diǎn)，設(shè)，則點(diǎn)P到圓心（0，0）的距離為，則其最大值為2，所以，故正確；故選：C11．已知函數(shù)，若，則有（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】確定函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)性質(zhì)比較的大小后可得結(jié)論．【詳解】是增函數(shù)，是減函數(shù)，因此在是增函數(shù)，且此時(shí)．在時(shí)是增函數(shù)，所以在定義域內(nèi)是增函數(shù)．，，，即，所以．故選：A．12．若干個(gè)正方體形狀的積木按下圖所示擺成塔型：上方正方體中下底面的四個(gè)頂點(diǎn)是下面相鄰正方體中上底面各邊的中點(diǎn)，最下面的正方體的棱長為1，平放于桌面上，如果所有正方體能直接看到的表面積超過8.8，則正方體的個(gè)數(shù)至少是（

）A．5 B．6 C．7 D．8【答案】B【分析】由題設(shè)知從下到上正方體棱長是公比為的等比數(shù)列，則寫出棱長通項(xiàng)公式，再求各正方體的表面積，應(yīng)用等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式求和，列不等式求n的最小值即可.【詳解】解：由題設(shè)，從下到上正方體棱長是公比為的等比數(shù)列，又最下面棱長，所以，則，…，，，所以所以，即，可得，又，故正方體至少是6個(gè).故選：B二、填空題13．鍋中煮有芝麻餡湯圓6個(gè)，花生餡湯圓5個(gè)，豆沙餡湯圓4個(gè)，這三種湯圓的外部特征完全相同.從中任意舀取4個(gè)湯圓，則每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為___________.（用分?jǐn)?shù)作答）【答案】【分析】直接分2個(gè)芝麻餡，1個(gè)花生餡，1個(gè)豆沙餡；1個(gè)芝麻餡，2個(gè)花生餡，1個(gè)豆沙餡以及1個(gè)芝麻餡，1個(gè)花生餡，2個(gè)豆沙餡依次計(jì)算即可.【詳解】每種湯圓都至少取到1個(gè)的包括2個(gè)芝麻餡，1個(gè)花生餡，1個(gè)豆沙餡；1個(gè)芝麻餡，2個(gè)花生餡，1個(gè)豆沙餡以及1個(gè)芝麻餡，1個(gè)花生餡，2個(gè)豆沙餡，故每種湯圓都至少取到1個(gè)的概率為.故答案為：.14．如圖，網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1，粗實(shí)線畫出的是某多面體的三視圖，則該多面體的外接球的表面積為___________.【答案】【分析】由三視圖還原幾何體，根據(jù)三棱錐的特征確定其外接球的球心，進(jìn)而求半徑，即可得外接球的表面積.【詳解】由三視圖可得如下幾何體：，且△、△、△、△均為直角三角形，所以多面體的外接球的球心為中點(diǎn)，而，則外接球半徑為，表面積為.故答案為：15．如圖，某中學(xué)校園中央有一座鐘樓，某學(xué)生為了測(cè)量鐘樓高AB，該學(xué)生先在鐘樓的正西方點(diǎn)C處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為45°，然后從點(diǎn)C處沿南偏東30°方向前進(jìn)60到達(dá)點(diǎn)D處，在D處測(cè)得鐘樓頂部的仰角為30°，則鐘樓AB的高度是___________.【答案】30【分析】先用AB表示出BD和BC，再結(jié)合余弦定理即可求解.【詳解】由題意知：，設(shè)，則，，即，解得或（舍去）.故答案為：30.16．?dāng)?shù)學(xué)美的表現(xiàn)形式不同于自然美或藝術(shù)美那樣直觀，它蘊(yùn)藏于抽象的概念、公式、符號(hào)、推理論證、思維方法等之中，是一種科學(xué)的真實(shí)美．平面直角坐標(biāo)系中，曲線就是一條形狀優(yōu)美的曲線，對(duì)于此曲線，給出如下結(jié)論：①曲線圍成的圖形的面積是；②曲線上的任意兩點(diǎn)間的距離不超過；③若是曲線上任意一點(diǎn)，則的最小值是．其中正確的有_____________（填上所有正確結(jié)論的序號(hào)）．【答案】①③【分析】作出曲線的圖象，可判斷①的正誤；過原點(diǎn)且連接兩個(gè)半圓圓心的直線交曲線于、兩點(diǎn)，求出，可判斷②；求出點(diǎn)到直線的最小距離，可判斷③的正誤.【詳解】對(duì)于曲線，在曲線上任取一點(diǎn)，則該點(diǎn)關(guān)于軸的對(duì)稱點(diǎn)為，因?yàn)椋袋c(diǎn)在曲線上，所以，曲線關(guān)于軸對(duì)稱，同理可知，曲線關(guān)于軸、原點(diǎn)對(duì)稱，當(dāng)，時(shí)，曲線的方程為，即，作出曲線的圖象如下圖所示：由圖可知，曲線圍成的區(qū)域是四個(gè)半徑為的半圓和一個(gè)邊長為的正方形，故曲線圍成的圖形的面積是，①對(duì)；過原點(diǎn)且連接兩個(gè)半圓圓心、的直線交曲線于、兩點(diǎn)，如下圖所示：則，，所以，，②錯(cuò)；點(diǎn)到直線的距離為，則，由圖可知，過曲線在第一象限內(nèi)的半圓的圓心作直線的垂線，垂足為點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)為線段與曲線在第一象限內(nèi)的半圓的交點(diǎn)時(shí)，取最小值，點(diǎn)到直線的距離為，所以，，因此，的最小值為，③對(duì).故答案為：①③.三、解答題17．已知數(shù)列滿足，且.(1)記，寫出，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；(2)求的前20項(xiàng)和.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)遞推關(guān)系求得，判斷出數(shù)列是等差數(shù)列，由此求得，也即的通項(xiàng)公式.（2）利用分組求和法求得的前20項(xiàng)和.【詳解】(1)依題意：數(shù)列滿足，且.所以；；，所以.由，兩式相加得，所以數(shù)列，也即數(shù)列是首項(xiàng)為，公差為的等差數(shù)列，所以.(2)數(shù)列的前項(xiàng)和為，也即，由于，所以，所以的前20項(xiàng)和為.18．兩會(huì)期間國家對(duì)學(xué)生學(xué)業(yè)與未來發(fā)展以及身體素質(zhì)的重要性的闡述引起了全社會(huì)的共鳴.某中學(xué)體育組對(duì)高三的800名男生做了單次引體向上的測(cè)試，得到了如圖所示的頻率分布直方圖（引體向上個(gè)數(shù)只記整數(shù)）.體育組為進(jìn)一步了解情況，組織了兩個(gè)研究小組.(1)第一小組決定從單次完成1-15個(gè)引體向上的男生中，按照分層抽樣抽取22人進(jìn)行全面的體能測(cè)試.①在單次完成6-10個(gè)引體向上的所有男生中，男生甲被抽到的概率是多少？②該小組又從這22人中抽取3人進(jìn)行個(gè)別訪談，記抽到“單次完成引體向上1-5個(gè)”的人數(shù)為隨機(jī)變量X，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望；(2)第二小組從學(xué)校學(xué)生的成績與體育鍛煉相關(guān)性角度進(jìn)行研究，得到了這800人的學(xué)業(yè)成績與體育成績之間的列聯(lián)表.學(xué)業(yè)優(yōu)秀學(xué)業(yè)不優(yōu)秀總計(jì)體育成績不優(yōu)秀200400600體育成績優(yōu)秀100100200總計(jì)300500800請(qǐng)你根據(jù)列聯(lián)表判斷是否有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān)？參考公式：獨(dú)立性檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，其中.下面的臨界值表供參考：【答案】(1)①；②分布列答案見解析，數(shù)學(xué)期望：(2)有99.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān)【分析】（1）①先按照分層抽樣求出1-5個(gè)、6-10個(gè)、11-15個(gè)分別抽取的人數(shù)，再由古典概型計(jì)算甲被抽中的概率即可；②直接計(jì)算X為0?1?2，3的概率，列出分布列計(jì)算期望即可；（2）直接計(jì)算進(jìn)行判斷即可.【詳解】(1)①單次完成1-5個(gè)引體向上的人有人單次完成6-10個(gè)引體向上的人有人單次完成11-15個(gè)引體向上的人有人單次完成1-15個(gè)的引體向上的男生共440人，按照分層抽樣抽取22人，設(shè)分別抽取人，則有.所以，，即從1-5中選4人，6-10個(gè)中選6人，11-15個(gè)中選12人，又因?yàn)閱未瓮瓿?-10個(gè)引體向上的人共有120人，記“單次完成6-10個(gè)引體向上的學(xué)生中甲同學(xué)被抽中”為事件A，則②X的所有可能取值有0?1?2、3，，，所以X的分布列如下：X0123P所以(2)因?yàn)樗杂?9.5%的把握認(rèn)為體育鍛煉與學(xué)業(yè)成績有關(guān).19．如圖，在四棱錐中，底面ABCD，，，，.(1)試在棱PC上找一點(diǎn)E滿足：；(2)若F為棱PC上一點(diǎn)，滿足，求二面角的余弦值.【答案】(1)E為棱PC的中點(diǎn)(2)【分析】（1）建立空間直角坐標(biāo)系，待定系數(shù)法表示出點(diǎn)坐標(biāo)，由空間向量求解（2）由垂直關(guān)系解出點(diǎn)坐標(biāo)，再由空間向量求解【詳解】(1)∵，，，∴，，如圖，以A為原點(diǎn)，所在直線分別為建立空間直角坐標(biāo)系，可得，，，，設(shè)點(diǎn)E為棱PC上的點(diǎn)，且.向量，，且∴，，∴∴，，若故.∴，∴即∴E為棱PC的中點(diǎn).(2)，，，由點(diǎn)F在棱PC上，設(shè)，故，由，得,，解得，即.設(shè)為平面ABF的法向量，則，即，不妨令，可得為平面ABF的一個(gè)法向量.取平面PAB的法向量，則.易知，二面角是銳角，∴其余弦值為.20．已知拋物線的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，過點(diǎn)的直線l與拋物線C有兩個(gè)不同的交點(diǎn)A，B，點(diǎn)（其中）在拋物線C上，且直線PA交y軸于M，直線PB交y軸于N.(1)求直線l斜率的取值范圍；(2)設(shè)O為原點(diǎn)，若，，求證：為定值.【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）先通過準(zhǔn)線過點(diǎn)求出拋物線方程，設(shè)出直線聯(lián)立拋物線，利用以及直線PA，PB與y軸有交點(diǎn)解出斜率的范圍即可；（2）表示出直線PA，PB的方程，令求出坐標(biāo)，由，表示出，即可求解.【詳解】(1)因?yàn)閽佄锞€的準(zhǔn)線經(jīng)過點(diǎn)，所以，即，故拋物線C的方程為.由題意知，直線l的斜率存在且不為0.設(shè)直線l的方程為.由得.依題意，解得且.又點(diǎn)（其中）在拋物線C上，∴又PA，PB與y軸相交，故直線l不過點(diǎn).從而.所以直線l斜率的取值范圍是.(2)設(shè)，.由（1）知，.直線PA的方程為.令，得點(diǎn)M的縱坐標(biāo)為.∴同理得點(diǎn)N的縱坐標(biāo)為.由，，得，.所以.所以為定值.21．已知函數(shù)，（1）證明：當(dāng)時(shí)，；（2）試討論函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【答案】（1）證明見解析；（2）答案見解析.【分析】（1）對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，求其單調(diào)性和最值，進(jìn)而可證明；（2）分，，，討論，研究函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù).【詳解】（1）證明：，，

令，，，，在上是增函數(shù)，且，在上是增函數(shù)，且；（2），，①，，，是函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)，②，令，則，因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，，當(dāng)或時(shí)取等號(hào)，故是函數(shù)在上的唯一零點(diǎn)；③，，設(shè)，則在上遞增，而所以，在上遞增，，是唯一零點(diǎn)；④，，在上遞增，而，使，當(dāng)時(shí)，遞減，，遞增，，而，在上有唯一零點(diǎn)，又也是一個(gè)零點(diǎn)，在上有2個(gè)零點(diǎn)；綜上，當(dāng)時(shí)，在上有1個(gè)零點(diǎn);當(dāng)時(shí)，在上有2個(gè)零點(diǎn).22．在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1：(α為參數(shù))．以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2：ρ2＝4ρcosθ－3.（1）求C1的普通方程和C2的直角坐標(biāo)方程；（2）若曲線C1與C2交于A，B兩點(diǎn)，A，B的中點(diǎn)為M，點(diǎn)P(0，－1)，求|PM|·|AB|的值．【答案】（1）曲線:；曲線：；（2）3．【解析】