人教版數(shù)學高一學案兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)

高中數(shù)學-打印版3.1.2兩角和與差的正弦、余弦、正切公式(二)學習目標1.能利用兩角和與差的正弦、余弦公式推導出兩角和與差的正切公式(難點).2.能利用兩角和與差的正切公式進行化簡、求值、證明(重點)．預習教材P128－131完成下面問題：知識點兩角和與差的正切公式tanα＋tanβT：tan(α＋β)＝1－tanαtanβ；(αβ)＋tanα－tanβT：tan(α－β)＝1＋tanαtanβ．(αβ)－【預習評價】π4(1)已知tanα＝3，則tan(α－)＝()A．2C．12B．－21D．－2tanα－tan4π3－1π412解析tan(α－)＝π＝＝．1＋3×11＋tanαtan4答案C(2)求值：1－tan75°1＋tan75°＝________．解析原式＝1tan45°＋tan45°－tan75°tan75°＝tan(45°－75°)＝tan(－30°)＝－33．答案－33題型一兩角和與差的正切公式的正用、逆用、變形用1312【例1】(1)若tanα＝，tan(α＋β)＝，則tanβ＝()1716A．B．5756C．D．最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版tanα＋β－tanα1解析tanβ＝tan＝答案A＝．1＋tanα＋βtanα7(2)1－3＋3tan75°tan75°＝________；解析原式＝1－tan60°tan75°＝tan135°＝－1．11tan60°＋tan75°tan60°＋75°＝答案－1(3)求值：tan23°＋tan37°＋解析∵tan23°＋tan37°＝tan60°(1－tan23°tan37°)，3tan23°tan37°＝________．∴原式＝3－3tan23°tan37°＋3tan23°tan37°＝3．答案3規(guī)律方法公式T(α±β)的逆用及變形應用的解題策略(1)“1”的代換：在T(α±β)中，如果分子中出現(xiàn)“1”常利用1＝tan4π來代換，以達到化簡求值的目的，如11－＋tantanαα＝tan－；1－tanα＝3tan＋．3tanα＋3ππα4α4(2)整體意識：若化簡的式子中出現(xiàn)了“tanα±tanβ”及“tanα·tanβ”兩個整體，?？紤]tan(α±β)的變形公式．(3)熟知變形：兩角和的正切公式的常見四種變形：①tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)；②1－tanαtanβ＝tanα＋tanβtanα＋β．【訓練1】求值：(1)1＋tan15°；(2)tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°．1－tan15°1＋tan15°tan45°＋tan15°解(1)＝1－tan15°1－tan15°tan45°＝tan(45°＋15°)＝tan60°＝3．最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版tanα＋tanβ(2)由tan(α＋β)＝1－tanαtanβ的變形tanα＋tanβ＝tan(α＋β)(1－tanαtanβ)得：tan10°＋tan35°＝tan45°(1－tan10°tan35°)＝1－tan10°tan35，所以tan10°＋tan35°＋tan10°tan35°＝1．題型二條件求值問題【例2】(1)設(shè)tanα，tanβ是方程x－3x＋2＝0的根，則tan(α＋β)的值為()2A．－3B．－1C．1D．3解析由題意知tanα＋tanβ＝3，tanα·tanβ＝2，tanα＋tanβ3所以tan(α＋β)＝答案A＝＝－3．1－tanα·tanβ1－212(2)已知sinα＝，α為第二象限的角，且tan(α＋β)＝－3，則tanβ的值為()A．－3B．33333C．－D．解析∵α為第二象限角，∴cosα<0，cosα＝－23，∴tanα＝－33．tanα＋β－tanαtanβ＝tan＝1＋tanα＋β·tanα33－3＋＝＝－33．331＋－3·－答案C規(guī)律方法給值求值問題的兩種變換(1)式子的變換：分析已知式子的結(jié)構(gòu)特點，結(jié)合兩角和與差的三角函數(shù)公式，通過變形，建立與待求式間的聯(lián)系以實現(xiàn)求值．最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版(2)角的變換：首先從已知角間的關(guān)系入手，分析已知角與待求角間的關(guān)系，如用α＝β－(β－α)，2α＝(α＋β)＋(α－β)等關(guān)系，把待求的三角函數(shù)與已知三角函數(shù)巧妙地建立等量關(guān)系，從而求值．sinα＋cosα＝3，tan(α－β)＝2，則【訓練2】已知sinα－cosαtan(β－2α)＝________．解析由條件知sinα＋cosαtanα＋1＝3，則tanα＝2，＝sinα－cosαtanα－1tanβ－α－tanα因為tan(α－β)＝2，所以tan(β－α)＝－2，故tan(β－2α)＝tan＝1＋tanβ－αtanα＝－2－2431＋－2×2＝．答案43題型三給值求角問題13【例3】(1)在△ABC中，tanA＝，tanB＝－2，則角C＝________；131－2tanA＋tanB解析tan(A＋B)＝1－tanAtanB＝＝－1，1－×－233π4π4∵A＋B∈(0，π)，∴A＋B＝，∴C＝π－(A＋B)＝．答案π4(2)若α，β均為鈍角，且(1－tanα)(1－tanβ)＝2，求α＋β．解∵(1－tanα)(1－tanβ)＝2，∴1－(tanα＋tanβ)＋tanαtanβ＝2，∴tanα＋tanβ＝tanαtanβ－1，∴1t－antαan＋αttananββ＝－1.∴tan(α＋β)＝－1．π∵α，β∈，，∴α＋β∈(π，2π)．π27π∴α＋β＝．4最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版規(guī)律方法利用公式T(α±β)求角的步驟(1)求值：根據(jù)題設(shè)條件求角的某一三角函數(shù)值．(2)討論角的范圍：必要時還需根據(jù)已知三角函數(shù)值縮小角的范圍；(3)求角：借助角的范圍及角的三角函數(shù)值求角．【訓練3】已知α為銳角，且tan(α＋β)＝3，tan(α－β)＝2，則角α等于()π8π4A．B．38πD．2C．πtanα＋β＋tanα－β3＋2解析∵tan2α＝tan＝＝＝－1，1－tanα＋β·tanα－β1－3×2π4π182∴2α＝－＋kπ(k∈Z)，∴α＝－＋kπ(k∈Z)．ππ3π又∵α為銳角，∴α＝－＝288．答案C課堂達標1－tan21°1．與1＋tan21°相等的是()A．tan66°C．tan42°B．tan24°D．tan21°解析原式＝1＋tan45°tan21°tan45°－tan21°＝tan(45°－21°)＝tan24°．答案B2．已知A＋B＝45°，則A．1C．－(1＋tanA)(1＋tanB)的值為()B．2D．不確定2解析(1＋tanA)(1＋tanB)＝1＋(tanA＋tanB)＋tanAtanB＝1＋tan(A＋B)(1－tanAtanB)＋tanAtanB＝1＋1－tanAtanB＋tanAtanB＝2．最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版答案Bβ1α13α＋β23．已知tanα－＝，tanβ－＝－，則tan＝________．22211231－12×－－α＋β1＝．解析tan2＝tan＝1731答案713554．已知A，B都是銳角，且tanA＝，sinB＝，則A＋B＝____．解析∵B為銳角，sinB＝55，∴cosB＝255，∴tanB＝，1211＋tanA＋tanB32∴tan(A＋B)＝1－tanAtanB＝11＝1．1－×32π4∵0<A＋B<π，∴A＋B＝．π答案4tan18°＋tan42°＋tan120°5．求的值．tan18°tan42°tan60°解∵tan18°＋tan42°＋tan120°＝tan60°(1－tan18°tan42°)＋tan120°＝－tan60°tan18°tan42°，∴原式＝－1．課堂小結(jié)1．公式T(α±β)的適用范圍π的定義可知α，β，α＋β(或α－β)的終邊不能落在y軸上，即不為kπ＋(k∈2由正切函數(shù)Z)．2．公式T(α±β)的逆用一方面要熟記公式的結(jié)構(gòu)，另一方面要注意常值代換．如tanπ4＝1，tan6π＝，3tan3π＝33等．要特別注意tan(4π＋α)＝，1＋tanα1－tanα最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版tan(π4－α)＝．1－tanα1＋tanα3．公式T的變形應用(α±β)只要見到tanα±tanβ，tanαtanβ時，要有靈活應用公式T(α±β)的意識，就不難想到解題思路．基礎(chǔ)過關(guān)1．已知α，β為任意角，則下列等式：①sin(α＋β)＝sinαcosβ＋cosαsinβ；②cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ；π③cos＋α＝－sinα；2tanα－tanβ④tan(α－β)＝1＋tanαtanβ．其中恒成立的等式有()A．2個C．4個B．3個D．1個解析①②③恒成立．答案Bπ2．若tan＋α＝2，則tanα的值為()41313A．B．－2323C．D．－解析tan(α＋)＝11－＋tantanαα＝2，π41解得tanα＝．3答案A3．A，B，C是△ABC的三個內(nèi)角，且tanA，tanB是方程3x2－5x＋1＝0的兩個實數(shù)根，則△ABC是()A．鈍角三角形C．直角三角形B．銳角三角形D．無法確定5313解析∵tanA＋tanB＝，tanA·tanB＝，最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版5252∴tan(A＋B)＝，∴tanC＝－tan(A＋B)＝－，∴C為鈍角．答案A2π14．設(shè)tan(α＋β)＝，tan(β－)＝，則tan(α＋)＝________．44π5421－＝．21221＋×54π4543解析tan(α＋)＝tan＝3答案22sinα＋β5．如果tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0兩根，則＝________．cosα－βsinα＋βsinαcosβ＋cosαsinβ解析＝cosα－βcosαcosβ＋sinαsinβtanα＋tanβ332＝＝＝－．1＋tanαtanβ1＋－33答案－26．已知tanα，tanβ是方程x2－3x－3＝0的兩根，試求sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)的值．tanα＋tanβ＝3，解由已知有tanα·tanβ＝－3.tanα＋tanβ334∴tan(α＋β)＝＝＝．1－tanαtanβ1－－3∴sin2(α＋β)－3sin(α＋β)cos(α＋β)－3cos2(α＋β)＝sin2α＋β－3sinα＋βcosα＋β－3cos2α＋βsinα＋β＋cosα＋β22＝tan2α＋β－3tanα＋β－3tanα＋β＋122－3×43－334＝＝－3．32＋14最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版ππππx＋33x＋4＝0的兩根，且－<α<，－<β<，求7．已知tanα，tanβ是方程2α＋β2222的值．解由根與系數(shù)的關(guān)系得tanα＋tanβ＝－33，tanα·tanβ＝4，∴tanα<0，tanβ<0，tanα＋tanβ－33＝3，∴tan(α＋β)＝＝1－tanαtanβ1－4ππππ又－<α<，－<β<，且tanα<0，tanβ<0．2222∴－π2<α<0，－<β<0，π22π∴－π<α＋β<0，∴α＋β＝－．3能力提升8．在△ABC中，tanA＋tanB＋tanC＝33，tan2B＝tanA·tanC，則∠B等于()A．30°C．120°B．45°D．60°解析由公式變形得：tanA＋tanB＝tan(A＋B)(1－tanAtanB)＝tan(180°－C)(1－tanAtanB)＝－tanC(1－tanAtanB)＝－tanC＋tanAtanBtanC．∴tanA＋tanB＋tanC＝－tanC＋tanAtanBtanC＋tanC＝tanAtanBtanC＝33．∵tan2B＝tanAtanC，∴tan3B＝33．∴tanB＝3，B＝60°．答案D最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版9．已知tanα＝lg10a，tanβ＝lg，且α＋β＝，π41則實數(shù)a的值為()a110A．1B．110C．1或D．1或10解析∵α＋β＝4π，tanα＋tanβ∴tan(α＋β)＝1－tanαtanβ＝1，tanα＋tanβ＝1－tanαtanβ，即lg10a＋lg1a＝1－lg10a·lg，1a11＝1－lg10a·lg，a∴l(xiāng)g10a·lga1＝0．1∴l(xiāng)g10a＝0或lg＝0．a(chǎn)1得a＝或a＝1．10答案Cπ12sinαcosα＋cos210．已知tan＋α＝2，則α的值為________．4＋α＝，∴11－＋tantanαα＝2，解得tanα＝．π13解析∵tan24sin2α＋cos2α12sinαcosα＋cos2α＝2sinαcosα＋cos2α∴19＋123＋1tan2α＋123＝＝＝．2tanα＋1答案23cosα－sinαα，β均為銳角，且tanβ＝，則tan(α＋β)＝________．cosα＋sinα11．已知解析∵tanβ＝cosα－sinα1－tanα．＝cosα＋sinα1＋tanα最新版高中數(shù)學高中數(shù)學-打印版∴tanβ＋tanαtanβ＝1－tanα．∴tanα＋tanβ＋tanαtanβ＝1．∴tan